高等数学上习题五5.docx

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高等数学上习题五5

习题五

1．求下列各曲线所围图形的面积：

（1）与x2+y2=8（两部分都要计算）；

解：

如图D1=D2

解方程组得交点A（2，2）

（1）

∴,

．

（2）与直线y=x及x=2；

解：

.

（2）

（3）y=ex，y=e-x与直线x=1；

解：

．

（3）

（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．（b>a>0）；

解：

．

（4）

（5）抛物线y=x2和y=-x2+2；

解：

解方程组得交点（1，1），（-1，1）

．

（5）

（6）y=sinx，y=cosx及直线；

解：

．

（6）

（7）抛物线y=-x2+4x-3及其在（0，-3）和（3，0）处的切线；

解：

y′=-2x+4．　∴y′（0）=4，y′（3）=-2．

∵抛物线在点（0，-3）处切线方程是y=4x-3

在（3，0）处的切线是y=-2x+6

两切线交点是（，3）．故所求面积为

（7）

（8）摆线x=a（t-sint），y=a（1-cost）的一拱（0£t£2p）与x轴；

解：

当t=0时，x=0,当t=2p时，x=2pa．

所以

（8）

（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；

解：

．

（9）

（10）ρ=2acosφ；

解：

．

（10）

2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：

（1）r=a（1+cosθ）及r=2acosθ;

解：

由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

（11）

（2）及．

解：

如图12，解方程组

得cosθ=0或,

即或．

（12）

．

3．已知曲线f（x）=x-x2与g（x）=ax围成的图形面积等于，求常数a．

解：

如图13，解方程组得交点坐标为（0，0），（1-a，a（1-a））

∴

依题意得

得a=-2．

（13）

4．求下列旋转体的体积：

（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

解：

求两曲线交点得（0，0），（1，1）

．（14）

（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

解：

见图14，

．

（2）星形线绕x轴旋转；

解：

见图15，该曲线的参数方程是：

，

由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

（15）

5．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：

如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：

E（a，h），D（A，0），于是得到ED所在的直线方程为：

（16）

对于任意的y∈[0，h]，过点（0，y）且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：

，同理可得该椭圆的另一半轴为：

．

故该椭圆面积为

从而立体的体积为

.

6．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.

（17）

解：

以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：

x2+y2=R2．

过区间[-R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为（x，y），则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

从而该立体的体积为

．

7．求下列曲线段的弧长：

（1），0≤x≤2；

解：

见图18，2yy′=2．

∴．从而

（18）

（2）y=lnx，；

解：

．

（3）；

解：

=4.

8．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求

（1）星形线所围面积；

（2）绕x轴旋转所得旋转体的体积；

（3）星形线的全长．

解：

（1）

．

（2）

（3）xt′=-3acos2tsint

yt′=3asin2tcost

xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，

．

9．求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．

解：

．

10．求半径为R，高为h的球冠的表面积．

解：

=2Rh．

11．求曲线段y=x3（0x1）绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．

解：

．

12．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？

解：

如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx

（19）

设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为

dw=x·60gdx=60gxdx．

于是将水全部抽出所作功为

．

13．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．

解：

如图20，建立坐标系，直线AB的方程为

．

压力元素为

所求压力为

=1467（吨）=14388（KN）

14．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？

解：

如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为

（x－R）2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。

取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。

因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为

（21）

所求的功为

15．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。

解：

如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素

（图22）

则

则

故所求引力的大小为，方向自N点指向圆弧的中点。

16．求下列函数在[－a，a]上的平均值：

;

解：

（2）f（x）=x2

解：

17．求正弦交流电i=I0sinωt经过半波整流后得到电流

的平均值和有效值。

解：

有效值

故有效值为.

18．已知电压u（t）=3sin2t，求

（1）u（t）在上的平均值；

解：

（2）电压的均方根值.

解：

均方根公式为

故

19．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为

C′（x）=x2－14x+111，R′（x）=100－2x．

试求最大利润．

解：

设利润函数L（x）．

则L（x）=R（x）－C（x）－50

由于L′（x）=R′（x）－C（x）=（100－2x）－（x2－14x+111）=－x2+12x－11

令L′（x）=0得x=1，x=11．

又当x=1时，L″（x）=－2x+12>0．当x=11时L″（x）<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为

L（11）=

20．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x（百台）的边际成本为C′（x）（万元/百台），边际收入为R′（x）=7－2x（万元/百台）．

（1）求生产量为多少时总利润最大？

（2）在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？

解：

（1）当C′（x）=R′（x）时总利润最大．

即2=7－2x，x=5/2（百台）

（2）L′（x）=R′（x）－C′（x）=5－2x．

在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为

ΔL（x）=．

即此时总利润减少1万元.

21．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．

解：

投资20年中总收入的现值为

纯收入现值为

R=y－800=2528.4－800=1728.4（万元）

收回投资，即为总收入的现值等于投资,故有

22．某父母打算连续存钱为孩子攒学费，设建行连续复利为5%（每年），若打算10年后攒够5万元，问每年应以均匀流方式存入多少钱？

解：

设每年以均匀流方式存入x万元，则

5=

即5=20x（e0.5-1）

≈0.385386万元=3853.86元．