小学五年级奥数完整教案文档格式.docx

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=6.15

四、计算：

9.9×

9.9＋1.99

算式中的9.9×

9.9两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍，积不变，即这个乘法可变为99×

0.99+1.99可以分成0.99＋1的和，这样变化以后，计算比较简便。

9.9×

=99×

0.99＋0.99＋1

=（99＋1）×

0.99＋1

=100

五、计算：

2.437×

36.54＋243.7×

0.6346

虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可以运用乘法分配律进行简算了。

2.437×

=2.437×

36.54＋2.437×

63.46

（36.54＋63.46）

=243.7

六、计算：

1.1×

1.2×

1.3×

1.4×

1.5

算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。

平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11和13这三个数连乘的积是1001，而一个三位数乘1001，只要把这个三位数连续写两遍就是它们的积，例如

578×

1001=578578，这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。

1.1×

1.5

=1.1×

0.7×

2×

=1.001×

3.6

=3.6036

练习

1．5.467＋3.814＋7.533＋4.186

2．6.25×

1.25×

6.4

3．3.997＋19.96＋1.9998＋199.7

4．0.1＋0.3＋…＋0.9＋0.11＋0.13＋0.15＋…＋0.97＋0.99

5．199.9×

19.98－199.8×

19.97

6．23.75×

3.987＋6.013×

92.07＋6.832×

39.87

7．20042005×

20052004－20042004×

20052005

8．（1＋0.12＋0.23）×

（0.12＋0.23＋0.34）－（1＋0.12＋0.23＋0.34）×

（0.12＋0.23）

9．6.734－1.536＋3.266－4.464

10．0.8÷

0.125

11．89.1＋90.3＋88.6＋92.1＋88.9＋90.8

12．4.83×

0.59＋0.41×

1.59－0.324×

5.9

13．37.5×

21.5×

0.112＋35.5×

12.5×

0.112

14．9999×

2222+3333×

3334

15．1989×

1999-1988×

2000

奥数第二讲数的整除

如果整数a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：

（1）能被2整除的数的特征：

如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2）能被3（或9）整除的数的特征：

如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3）能被4（或25）整除的数的特征：

如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4）能被5整除的数的特征：

如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5）能被6整除的数的特征：

如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6）能被7（或11或13）整除的数的特征：

一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7）能被8（或125）整除的数的特征：

如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8）能被11整除的数的特征：

如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

一、例题与方法指导

例1、下列各数哪些能被7整除？

哪些能被13整除？

（数的整除特征）

　　88205，167128，250894，396500，

　　675696，796842，805532，75778885。

例2、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

思路导航：

一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

230560或238568

又230560

88=2620

238568

88=2711

所以,本题的答案是2620或2711.

例3、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.

因为36=9

4,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:

这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.

所以,这个数的个位上的数最小是0.

例4、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字（方框）,已

991个991个

知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.

33…3□44…4

=33…3

10993+3□4

10990+44…4

990个990个

因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

990个990个

3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.

例5、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.

三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有

当和为33时,三个数是10,11,12；

当和为66时,三个数是21,22,23；

当和为99时,三个数是32,33,34.

所以，答案为10,11,12或21,22,23或32,33,34。

[注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：

设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则

n+（n+1）+（n+2）

=3n+3

=3（n+1）

所以，

能被3整除.

二、巩固训练

1.有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.

2.一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.

3.任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.

4.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.

1.118

符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,如果十位数不变,则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有:

39、79.

所以,所求的和是39+79=118.

2．195

因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15

15=225>

200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数,但11不可能符合条件,因为对于小于200的自然数凡11的倍数,具有隔位数字之和相等的特点,个位百位若是奇数,十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13

13=169不合要求,13

15=195适合要求.所以,答案应是195.

3.9

根据题意,两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.

因为3456=384

9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除,根据能被9整除的数的特征,可知其积的各位数字之和A也能被9整除,所以A有以下八种可能取值:

9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9,B的各位数字之和C也总是9.

4.9

∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数,由小到大排列为:

1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五个数的末位数字是9.

三、拓展提升

1.找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？

2.只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？

3.试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？

如果回答：

“可以”，则只要举出一种排法；

“不能”，则需给出说明.

答案

1.如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数,仍不符合要求,因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试算,这四个数符合要求.所以,本题的答案是（3+4）=7.

2.因为225=25

9,要使修改后的数能被25整除,就要既能被25整除,又能被9整除,被25整除不成问题,末两位数75不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是9的倍数,则这个数能被9整除的特征,因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法:

把1改为0；

把4改为3；

把1改为9；

把2改为1.

3.不能.

假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数,我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组,可得20组,其中每两组都没有共同的数,于是,在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事实上,在1至100的自然数中有33个数是3的倍数,导致矛盾.

奥数第三讲数字谜

小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如“空中码头”（打一城市名）。

谜底你还记得吗？

记不得也没关系，想想“空中”指什么？

“天”。

这个地名第1个字可能是天。

“码头”指什么呢？

码头又称渡口，联系这个地名开头是“天”字，容易想到“天津”这个地名，而“津”正好又是“渡口”的意思。

这样谜底就出来了：

天津。

算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。

“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。

文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。

文字算式谜也是最难的一种算式谜。

在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏，就让我们一起来看看吧。

①横式字谜

例1、□，□8，□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。

那么所填的3个数字之和是多少？

150×

3-8-97-5=340

　　　　　所以3个数之和为3+4+5=12。

例2、我学数学乐×

我学数学乐=数数数学数数学学数学

　　在上面的乘法算式中，“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。

如果“乐”代表9，那么“我数学”代表的三位数是多少？

分析：

学=1，我=8，数=6，81619×

81619=6661661161

例3、□÷

（□÷

□÷

□）=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数，使左边的数比右边的数小，并且等式成立。

这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：

a÷

（b÷

c÷

d）=a×

c×

d÷

b（去括号）

　　　当a=1时，有6×

8÷

2=24，8×

3=24；

　　　　　当a=2时，有4×

3=12，6×

4=12，8×

6=12；

　　　　　所以，满足要求的等式有：

1÷

（2÷

6÷

8）=24，1÷

（3÷

9）=24，2÷

4÷

（4÷

8）=24，2÷

（6÷

9）=24。

例4、①□×

□=5□；

②12+□－□=□，把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有3个数字已经填好。

　　分析：

根据第一个等式，只有两种可能：

7×

8=56，6×

9=54；

如果为7×

8=56，则余下的数字有：

3、4、9，显然不行；

而当6×

9=54时，余下的数字有：

3、7、8，那么，12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。

二、训练巩固

1.迎迎×

春春=杯迎迎杯，数数×

学学=数赛赛数，春春×

春春=迎迎赛赛

在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

如果这3个等式都成立，那么，“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？

考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：

能够满足：

春春×

春春=迎迎赛赛的只有88×

88=7744，于是，春=8，迎=7，赛=4；

这样，不难得到第一个为：

77×

88=6776，第二个为：

55×

99=5445；

所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。

2.迎+春×

春=迎春，（迎+杯）×

（迎+杯）=迎杯

在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

那么“迎+春+杯”等于多少？

同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1）×

（8+1）=81，于是，迎=8；

这样，第一个算式显然只有：

8+9×

9=89；

所以，迎+春+杯=8+9+1=18。

1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数：

（1）5×

□=2□；

（2）6×

□＝3□。

2.将3～9中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字：

（1）□÷

□=□÷

□；

（2）□÷

□＞□÷

□。

3.在下列各式的□中填入合适的数字：

（1）448÷

□□=□；

（2）2822÷

□□=□□；

（3）13×

□□=4□6。

4.在下列各式的□中填入合适的数：

（1）□÷

32＝8……31；

（2）573÷

32＝□……29；

（3）4837÷

□＝74……27。

答案与提示　 

练习22

4.

（1）287；

（2）17；

（3）65。

②竖式字谜

例1在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？

首先看个位，可以得到“欢”是0或5，但是“欢”是第二个数的十位，所以“欢”不能是0，只能是5。

再看十位，“欢”是5，加上个位有进位1，那么，加起来后得到的“人”就应该是偶数，因为结果的百位也是“人”，所以“人”只能是2；

由此可知，“喜”等于8。

所以，“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。

例2在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．如果：

巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？

还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排出）；

接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；

再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；

再看千位，

（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；

5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；

（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；

5+6+9+8=28，30-28=2，可以。

所以“数字谜”代表的三位数是965。

例3图4-4是一个加法竖式，其中E，F，I，N，O，RS，T，X，Y分别表示从0到9的不同数字，且F，S不等于零．那么这个算式的结果是多少？

先看个位和十位，N应为0，E应为5；

再看最高位上，S比F大1；

千位上O最少是8；

但因为N等于0，所以，I只能是1，O只能是9；

由于百位向千位进位是2，且X不能是0，因此决定了T、R只能是7、8这两个；

如果T=7，X=3，这是只剩下了2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。

所以，T=8、R=7；

由此得到X=4；

那么，F=2，S=3，Y=6。

所以，得到的算式结果是31486。

1.在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．那么D+G等于多少？

先从最高位看，显然A=1，B=0，E=9；

接着看十位，因为E等于9，说明个位有借位，所以F只能是8；

由F=8可知，C=7；

这样，D、G有2、4，3、5和4、6三种可能。

所以，D＋G就可以等于6，8或10。

2.王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063，把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529．求王老师家的电话号码．

我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。

由题意知，abcd+efg=9063，abc+defg=2529；

首先从第一个算式可以看出，a=8，从第二个算式可以看出，d=1；

再回到第一个算式，g=2，掉到第二个算式，c=7；

又回到第一个算式，f=9，掉到第二个算式，b=3；

那么，e=6。

所以，王老师家的电话号码是8371692。

3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数．如果新数比原数大7902，那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？

用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为dcba，dcba-abcd=7902；

由最高为看起，a最大为2，则d=9；

但个位上10+a-d=2，所以，a只能是1；

接下来看百位，b最大是9，那么，c=8正好能满足要求。

所以，原四位数最大是1989。

1.已知图4-6所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少？

由1/7的特点易知，ABCDE=42857。

142857×

3=428571。

2.某个自然数的个位数字是4，将这个4移到左边首位数字的前面，所构成的新数恰好是原数的4倍．问原数最小是多少？

由个位起逐个递推：

4×

4=16，原十位为6；

6+1=25，原百位为5；

5+2=22，原千位为2；

2+2=10，原万位为0；

1×

4=4，正好。

所以，原数最小是102564。

奥数第四讲定义新运算

定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。

它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，例如“+、-、×

、÷

、、>

、<

”等。

表示运算意义的表达式，通常是使用四则运算符号，例如a☆b=3a-3b，新运算使用的符号是☆，而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。

正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义，严格按照规定的法则进行运算。

如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。

值得注意的是：

定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质，所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。

例1、设