和差倍问题四年级.docx
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和差倍问题四年级
和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系(其中的两项),求这几个数的应用题。
包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题,及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。
这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路,列方程来解非常简单,但四年级孩子没有学过方程法解题,需要根据数量关系逆向推理,列综合算式解答。
教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系,帮助孩子理解题意,寻找解题途径。
解题关键是,要在题目中确定一个数量为标准(常以最小数为标准,即1倍量),把标准量看作一份,再根据其它数量与标准量的倍数关系,找出几个数量的和、差或(和+差)、(和-差)对应的份数,通过除法计算先求出标准量,再算出其它相关数量。
涉及两个数的和差倍问题,最基本数量关系有以下3组:
①和倍问题:
已知大小两个数的和及它们的倍数关系,求这两个数。
和÷(倍数+1)=小数;小数×倍数=大数。
②差倍问题:
已知大小两个数的差和它们的倍数关系,求这两个数。
差÷(倍数-1)=小数;小数×倍数=大数。
③和差问题:
已知大小两个数的和与两个数的差,求这两个数。
(和+差)÷2=大数;(和-差)÷2=小数。
在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题,本册教材《奥赛天天练》用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题:
第7讲《和倍问题》、第8讲《差倍问题》、第9讲《和差问题》、第10讲《复杂的倍数问题》。
《奥赛天天练》第7讲,模仿训练,练习1
【题目】:
一个长方形的周长是36厘米,长是宽的2倍,这个长方形的面积是多少平方厘米
【解析】:
先求出长方形长和宽的和:
36÷2=18(厘米);
把长方形的宽看作1份,长就是2份,长和宽的和对应的就是3份,所以长方形的宽是:
18÷(2+1)=6(厘米);
长是:
6×2=12(厘米);
这个长方形的面积是:
12×6=72(平方厘米)。
《奥赛天天练》第7讲,模仿训练,练习2
【题目】:
北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。
已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。
问两种花各有多少朵
【解析】:
我们把黄花朵数看作一份,画出线段图如下:
从线段图中可以看出,两种花的总和再添上30朵,正好对应了3份。
所以黄花朵数为:
(300+30)÷(1+2)=110(朵)。
红花朵数为:
300-110=190(朵)。
《奥赛天天练》第7讲,巩固训练,习题1
【题目】:
被除数、除数、商3个数的和是212。
已知商是2,被除数和除数各是多少
【解析】:
由商是2,可得被除数与除数的和为:
212-2=210;且被除数是除数的2倍。
把除数看着1份,两数和对应的份数是3份,除数为:
210÷(2+1)=70;
被除数为:
70×2=140。
《奥赛天天练》第7讲,拓展提高,习题1
【题目】:
5箱苹果和5箱葡萄共重75千克,每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。
每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克
【解析】:
5箱苹果和5箱葡萄共重75千克,平均分成5份,1箱苹果与1箱葡萄重量和为:
75÷5=15(千克)。
把1箱葡萄的重量看作一份,重量为:
15÷(2+1)=5(千克);
每箱苹果重量为:
5×2=10(千克)。
《奥赛天天练》第7讲,拓展提高,习题2
【题目】:
甲、乙、丙3数之和是183,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙三数各是多少
【解析】:
我们把丙数看作一份,画出线段图如下:
假如我们给乙数添上4凑成2份,甲数减去7凑成3份,则这时候三个数的总和为:
183+4-7=180,和对应的份数为:
1+2+3=6。
所以,一份数即丙数为:
180÷6=30;
乙数为:
30×2-4=56;
甲数为:
30×3+7=97。
1、在一个减法算式里,被减数、减数与差的和等于120,而减数是差的3倍,那么差等于多少
分析:
这是一个和倍问题。
减数是差的3倍,那么被减数就是差的4倍,所以被减数、减数与差的和就是差的8倍,应该等于120,所以差=120÷8=15。
解:
120÷(1+3+1+2)=15
答:
差等于15。
2、甲、乙、丙共有100本课外书。
甲的本数除以乙的本数,丙的本数除以甲的本数,商都是5,余数也都是1。
那么乙有多少本书
分析:
这是和倍问题。
可以这样理解,“甲、乙、丙3个数是100,甲是乙的5倍多1,丙是甲的5倍多1,求甲、乙、丙各是几”。
即:
乙是1倍;甲是乙的5倍多1;丙是乙的(5×5)倍多(1×5+1)6。
那么100减去(1+6)的差对应(1+5+5×5)倍,这样可求出乙是多少。
解:
[100-1-(1×5+1)]÷(1+1×5+1×5×5)=91÷31=3(本)
答:
乙有3本书。
3、用中国象棋的车,马,炮分别表示不同的自然数。
如果:
车÷马=2,炮÷车=4,炮-马=56,那么“车+马+炮”等于多少
分析:
这是一个差倍问题。
依题有,马是1倍,车是马的2倍,炮是车的4倍,所以炮与马的倍数差是(2×4-1)7倍,而炮与马的两数差是56,根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。
解:
56÷(8-1)=8——马;
8×2=16——车
16×4=64——炮
8+16+64=88——车+马+炮
答:
车、马、炮的和是88
4、甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同,若甲每天增加自学时间半小时,乙每天减少自学时间半小时,则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。
问:
甲、乙原计划每天自学多少分钟
分析:
差倍问题。
原来时间相同,现甲多半小时,乙少半小时,现在的两数差是(30+30)60分钟,现在的差数差是(6-1)5倍,这样可求出现乙每天自学的时间,加上30分钟,可得原计划每天自学时间。
解:
(30+30)÷(6-1)+30=12+30=42(分钟)
答:
原计划每天自学42分钟。
5、.三个小组共有180人,一、二两个小组人数之和比第三小组多20人,第一小组比第二小组少2人,求第一小组的人数。
分析:
要点:
先把一,二小组看成一个整体!
把第三小组看成一个整体,我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题,先求出第一,二小组的人数,再求出第一小组的人数。
这也是一个和差问题。
解:
(180+20)÷2=100(人)——第一,二小组的人数
(100-2)÷2=49(人)——第一小组的人数
答:
第一小组的人数是49人。
6.有50名学生参加联欢会,第一个到会的女同学同全部男生握过手,第二个到会的女生只差一个男生没握过手,第三个到会的女生只差2个男生没握过手,以此类推,最后一个到会的女生同7个男生握过手。
问这些学生中有多少名男生
分析:
这是和差问题。
我们可以这样想:
如果这个班再多6个女生的话,最后一个女生就应该只与1个男生握手,这时,男生和女生一样多了,所以原来男生比女生多(7-1)=6个人!
解:
(50+6)÷2=28(人)。
答:
男生人数28人。
涉及4个或4个以上对象数量关系的复杂和差倍问题。
7、有货物108件,分成四堆存放在仓库时,第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半,比第三堆的件数少2,比第四堆的件数多2.问每堆各存放多少件
分析:
如果我们把第一堆看成1倍,那么可以算出第二堆就是(2×2)4倍,第三堆是2倍多2件,第四堆是2倍少2件,那么一共就刚好是1+4+2+2=9倍(第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消),那么1倍就是108÷9=12件,第二堆就是12×4=48件,第三堆就是12×2+2=26件,第四堆就是12×2-2=22件。
解:
(108+2-2)÷(1+2×2+2+2)=108÷9=12(件)——第一堆
12×2×2=48(件)——第二堆;
12×2+2=26(件)——第三堆;
12×2-2=22(件)——第四堆;
答:
每堆各有12件、48件、26件、22件。
8、四年级有4个班,不算甲班其余三个班的总人数是131人;不算丁班其余三个班的总人数是134人;乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,问这四个班共有多少人
解答:
用131+134=265,这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和,因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人,所以用265-1=264就刚好是3个乙、丙的和,264÷3=88,就是说乙丙的和是88,那么甲丁和是88+1=89,所以四个班的和是88+89=177人。
甲厂人数比乙厂少540人,若从两厂各调走600人,乙厂人数恰好是甲厂人数的4倍,求甲厂原来有多少人
【解析】:
“两厂各调走600人”,因调走人数相同,调人前后两厂的人数差没有发生变化。
把调走600人后,甲厂人数看作1份,乙厂人数看作4份,两厂人数差还是540人,此时甲厂人数为:
540÷(4-1)=180(人)。
甲厂原有人数:
180+600=780(人)。
《奥赛天天练》第8讲,巩固训练,习题1
【题目】:
有A、B、C三根绳子,A、C的长度之和是B的2倍。
如果把C剪去6分米,那么A的长度就是B、C长度之和的一半。
A与B相比,__比__长__分米。
【解析】:
这一题因为与A、B比较的标准不同,分别是(A+C)和(B+C),所以A和B的长短无法直接比出。
解题的关键是制造出相同的比较标准,再通过等量代换,得出结论。
由题意可得:
A+C=2B,即:
A+B+C=3B;
B+C-6=2A,即:
A+B+C-6=3A。
即:
3B-3A=6(分米),B-A=2(分米)。
所以:
A与B相比,B比A长2分米。
《奥赛天天练》第8讲,巩固训练,习题2
【题目】:
在一个数的后面补上两个“0”,得到的新数比原来的数增加了1980。
这个数是多少
【解析】:
把原来的数看作1份,原数末尾加两个“0”即扩大了100倍,得到的新数也就是100份,它们的差就是增加的1980。
所以原来这个数为:
1980÷(100-1)=20。
《奥赛天天练》第8讲,拓展提高,习题1
【题目】:
食堂里有94千克面粉,138千克大米,每天用掉面粉和大米各9千克,几天后剩下的大米是面粉的3倍
【解析】:
因每天用掉的面粉和大米数量相等,不论经过多少天,面粉和大米的数量差都不变,仍然是:
138-94=44(千克)。
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份,大米重量也就是3份,则几天后剩下面粉:
44÷(3-1)=22(千克)。
用掉的面粉总量除以每天用面粉数量,可以得出所求的天数:
(94-22)÷9=8(天)。
《奥赛天天练》第8讲,拓展提高,习题2
【题目】:
有A、B、C三辆车,C车装的货物是B车的一半,B车比A车少160千克,A车装的是C车的4倍,A、B、C三辆车共装货物多少千克
【解析】:
根据题中的三个条件,C车装的货物最少,我们把C车装的货物看作一份,画出线段图如下:
从图中可以看出B车货物就是2份,A车货物就是4份,B车比A车少的160千克对应的份数是2。
所以1份数即C车装货物为:
160÷(4-2)=80(千克)。
三辆车共装货物:
80×(1+2+4)=560(千克)。
《奥赛天天练》第9讲,巩固训练,习题1
【题目】:
小王和小张共买了20本书,如果小王给小张6本书,那么小王就比小张少2本书。
问小王、小张各买了多少本书
【解析】:
我们以小王给小张6本书之后,剩下的本数作为标准,画出线段图如下:
解法一:
先求出小王现有本数。
小王给小张6本书之后,两人书的总本数不变。
以小王现有本数为较小数,小张现有本数为较大数,两数和为20,两数差为2,则小王现有数:
(20-2)÷2=9(本)。
所以,