最短线段解中考题文档格式.docx
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3=150万。
变式．如图C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小
（3）根据
（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。
（2）A、C、E三点共线时AC+CE最小，连接AE/，交BD于点C，则AE/就是AC+CE的最小值，最小值是10.
（3）如右图AE的长就是代数式（0≤x≤8）的最小值，在直角△AEF中,AF=5，EF=12根据勾股定理：
AE/=13.
角类
2．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
分析：
这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢我们可以用三角形的三边关系进行说明.
分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.
点评：
在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。
3．如图∠AOB=45°
，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，
交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，
则OP=OP1=OP2=10，且∠P1OP2=90°
由勾股定理得P1P2=10
三角形类
4．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为
即在AC上作一点P，使PB+PE最小
作点B关于AC的对称点B'
，连接B'
E，交AC于点P，则B'
E=PB'
+PE=PB+PE，B'
E的长就是PB+PE的最小值
在直角△B'
EF中，EF=1，B'
F=3，根据勾股定理得B'
E
7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°
，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。
即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小
作点C关于直线AB的对称点C'
，连接DC'
交AB于点E，则线段DC'
的长就是EC+ED的最小值。
在直角△DBC'
中
DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'
=
8．等腰△ABC中，∠A=20°
，AB=AC=20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值
分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值
∵∠BAC’=∠BAC，∠CAB’=∠CAB
∴∠B’AC’=60°
∵AC’=AC，AB’=AB，AC=AB
∴AC’=AB’
∴△AB’C’是等边三角形
∴B’C’=20
9．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值
因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，
过点B作BH⊥AC于点H，
则EH=AH–AE=3–2=1，BH===3
在直角△BHE中，BE===2
（四）正方形类
10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。
即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小
故作点D关于AC的对称点B，连接BM，
交AC于点N。
则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ
线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值
在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，
则ＢＭ＝１０
故DN＋ＭＮ的最小值是１０
11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2B．2C．3D．
即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小
点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE=PB+PE=PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值
BE=AB=2
12．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.
即在AC上求一点P，使PB+PQ的值最小
因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点
DQ=PD+PQ=PB+PQ
故DQ的长就是PB+PQ的最小值
在直角△CDQ中，CQ=1，CD=2
根据勾股定理，得，DQ=
13．如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；
连接AE，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值
在直角△ABE中，求得AE的长为5
（五）矩形类
14．如图，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；
作点C关于BD的对称点C'
，过点C'
，作C'
B⊥BC，交BD于点P，则C'
E就是PE+PC的最小值
直角△BCD中，CH=205错误！
未定义书签。
直角△BCH中，BH=8
△BCC'
的面积为：
BH×
CH=160
所以C'
E×
BC=2×
160则CE'
=16
（六）菱形类
15．如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm，∠ABC=45°
，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；
点C关于BD的对称点是点A，过点A作AE⊥BC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值
在等腰△EAB中，求得AE的长为5
（七）直角梯形类
16．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）
A、B、C、D、3
作点A关于BC的对称点A'
，连接A'
D，交BC于点P
则A'
D=PA'
+PD=PA+PD
A'
D的长就是PA+PD的最小值
S△APD=4
在直角△ABP中，AB=4，BP=1
根据勾股定理，得AP=
所以AP上的高为：
2×
417=1717
（八）圆类
17．已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°
，点B是︵的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
即是在直线CD上作一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于CD的对称点A'
B，交CD于点P，则A'
B的长就是PA+PB的最小值
连接OA'
，OB，则∠A'
OB=90°
，
OA'
=OB=4
根据勾股定理，A'
B=4
18．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°
，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为（）
A2BC1D2
即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小
作点A关于MN的对称点A'
B，交MN于点P，
则点P就是所要作的点
、OB，则△OA'
B是等腰直角三角形
所以A'
B=
（九）一次函数类
19．在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=______时，AC+BC的值最小．
点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'
B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小
设直线A'
B的解析式为y=kx+b，则
-2=-k+b
2=4k+b
解得：
k=（4/5）b=-（6/5）
所以：
y=（4/5）x-（6/5）
当x=1时，y=-（2/5）
故当n=-（2/5）时，AC+BC的值最小
20．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
（1）由题意得：
0=2x+b
4=b
解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4
（2）
作点C关于y轴的对称点C'
，连接C'
D，交y轴于点P
则C'
D=C'
P+PD=PC+PD
C'
D就是PC+PD的最小值
连接CD，则CD=2，CC'
=2
在直角△C'
CD中，根据勾股定理C'
D=2
求直线C'
D的解析式，由C'
（-1，0），D（1，2）
所以，有
0=-k+b
2=k+b
解得k=1，b=1，所以y=x+1
当x=0时，y=1，则P（0，1）
21．如图，一次函数y=12与反比例函数y=kx交于点A，AM⊥x轴于点M，S△OAM=1
（1）求k的值，
（2）点B为双曲线y=kx上不与A重合的一点，且B（1，n），在x轴上求一点P，使PA+PB最小
（1）由S△OAM=1知，k=2
（2）作点A关于x轴的对称点A’，连接A’B，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。
用待定系数法求直线A’B的解析式为y=-3x+5，
因为点P在x轴上，所以设y=0，即0=-3x+5，
解得x=53
所以P（53，0）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：
B′、C′；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：
坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
（1）点B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B'
（3，5）、C'
（5，-2）
（2）坐标平面内任一点P（a，b）关于直线l的对称点P'
的坐标为（b，a）
（3）作点E关于直线l的对称点E'
，连接DE'
，交直线l于点Q
则QE+QD的值最小
设直线DE'
的解析式为：
y=kx+b，因为D（1，-3）、E'
（-4,-1），则
-3=k+b
-1=-4k+b
k=-25，b=-135
所以y=-25x-135
当x=y时，有x=y=-137
则Q点的坐标为（-137，-137）
（十）二次函数类
23．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。
，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；
若不存在，请说明理由.（注意：
本题中的结果均保留根号）
（1）B（1，）
（2）3
（3）因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，
交对称轴于点C，则△BOC的周长最小
3，当x=-1时，y=33
所以C（-1，33）
24．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为（1，-33），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°
，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
（3）
作点B关于AC的对称点G，连接DG，交AC于点F，则△FBD的周长最小
因为CF∥BD，CG=12，所以F（3）
25．如图，抛物线y＝x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（－1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m,0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
（1）y=32
（3）作点C关于x轴的对称点C’，连接C’D，交x轴于点M，则MC+MD的值最小，求出直线C’D的解析式，即可得到M点的坐标
2441
方法点拨：
此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。
有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。
26．如图，在直角坐标系中，A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A，B，C三点的抛物线的对称轴为直线l，D为直线l上的一个动点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；
（3）以点A为圆心，以AD为半径作圆A；
①证明：
当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；
②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。
连接BC，交直线l于点D，则DA+DC=DB+DC=BC，
BC的长就是AD+DC的最小值
BC：
y=-x+3
则直线BC与直线x=1的交点D（1，2），
27．如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．
（1）y=x2–4x-5
（2）BC：
y=x-5
P（2，-3）
28．已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1）、B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上．关于y轴对称的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、D（3，－2）、P三点，且点P关于直线AC的对称点在x轴上．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式及点P的坐标；
（3）设M是y轴上的一个动点，求PM＋CM的取值范围．
（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，
在直角△ACO中OA=1，AC=2
根据勾股定理，得OC=
故C（，0）
设直线BC的解析式为y=kx+b，则
3=b
0=+b
解得k=-，b=3
（2）因为抛物线关于y轴对称，所以设抛物线的解析式为y=ax2+c，则
1=c
-2=9a+c
解得a=-13，c=1
在直角△ACO中AC=2，OA=1，则∠ACO=30°
在直角△BCO中OC=，OB=3，则∠BCO=60°
所以CA是∠BCO的角平分线
即直线BC和x轴关于直线AC对称
因为点P关于直线AC的对称点在ｘ轴上
故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组
y=-+3
y=-13+1
解得x1=y1=0x2=2y2=-3
所以P（，0），或（2，-3）
（3）当点M在y轴上运动时，PM+CM没有最大值，只有最小值，所以
求PM+CM的取值范围，就是要求PM+CM的最小值
当点P与点C重合时，即Ｐ（，０）
点M在原点，PM+CM的值最小，PM+CM=2
所以PM+CM≥2
当点P（2，-3）时
作点C关于y轴的对称点E，过点P作x轴的垂线，垂足为F
在直角△EFP中，EF=3，PF=3
根据勾股定理，得EP=6
所以PM+CM的最小值是6，则PM+CM≥6
29．如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：
无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是
（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°
若存在，请直接写出点的坐标．
（1）△OCP≌△ODP
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线于点P，点P即为所求过点P作PM⊥BC于点M，则PM=12=1
所以点P的纵坐标为3，又因为点P在∠AOC的平分线上，
则P（3，3）
因为抛物线过原点，故设y=ax2+bx
又抛物线经过点P（3，3），D（2，0）
所以9a+3b=34a+2b=0解得a=1，b=-2
则抛物线的解析式为y=x2–2x
（3）点D关于∠AOC的平分线的对称点是点C，连接CE交OF于点P，则△PDE的周长最小
抛物线的解析式为y=x2–2x的顶点E（1，-1），C（0，2）
设直线CE的解析式为y=kx+b，则
-1=k+b2=b解得k=-3，b=2
直线CE的解析式为y=-3x+2
点P的坐标满足y=-3x+2x=y解得x=12,y=12
所以P（12，12）
△PDE的周长即是CE+DE=+
（4）存在这样的点P，使∠CPN=90°
，坐标是（12，12）或（2，2）
30．已知：
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0）、C（0，-2）
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．
试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；
（1）由题意得9a-3b+c=0c=-2解得a=23，b=43，c=-2
∴抛物线的解析式为y=43
（2）点B关于对称轴的对称点是点A，连接AC交对称轴于点P，则△PBC的周长最小
设直线AC的解析式为y=kx+b，因为A（-3，0），C（0，-2），则
0=-3k+b-2=b解得k=23，b=-2
所以直线AC的解析式为y=23x–2
把x=-1代入得y=43，所以P（-1，43）
（3）S存在最大值
∵DE∥PC，∴ODOC，即2-m2
OE=3-32，AE=OA–OE=32
方法一，连接OP
S=S四边形PDOE–S△OED=S△POE+S△POD–S△OED
=43+12-m-32-m
=32=34
所以，当m=1时，S最大=34
方法二，
S=S△OAC–S△AEP–S△OED–S△PCD
（十一）建桥选址类
31．如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近
作法：
设a、b的距离为r。
①把点B竖直
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