届高一物理竞赛2.docx
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届高一物理竞赛2
2012届高一物理竞赛
(2)
摩擦力和摩擦角
一、摩擦力:
最大静摩擦力的大小是:
fmax=Nμs,μs是静摩擦因数
如用fk表示滑动摩擦力,N表示正压力,那么,叫做滑动摩擦角,同样,如用fsm表示最大静摩擦力,那么,在两个接触面的性质确定之后,摩擦角的大小是不会变的。
支承面作用于物体的沿接触面法线方向的弹力N与最大静摩擦力fmax的合力F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩擦角,因此,接触面反作用于物体的全反力Fˊ的作用线与面法线的夹角,不能大于摩擦角可作为判断物体不发生滑动的条件。
例1:
如图所示,小木块与水平地面之间的动摩擦因数为μ,用一个与水平方向成多大角的力F拉着小木块做匀速直线运动最省力?
例2、物体放在水平面上,用与水平方向成30°的力拉物体时,物体匀速前进。
若此力大小不变,改为沿水平方向拉物体,物体仍能匀速前进,求物体与水平面之间的动摩擦因素μ。
(
例3、思考题:
一物体与水平地面的静摩擦因数为μ,现用一个向下的力推它,试问当推力与竖直方向的夹角为多少时,不管推力多大,都不能推动物体。
例4、一物体质量为m,置于倾角为的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为,若要使物体沿斜面匀速向上滑动,求拉力的最小值。
例5、结构均匀的梯子AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长为L,重为G,与地面间的动摩擦因数为μ,
(1)求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0;
(2)当θ=θ0时,一重为P的人沿梯子缓慢向上,他上到什么位置,梯子开始滑动?
例6、一架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为μ1、μ2,求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
例7、在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB如图所示,设各接触面的摩擦角均为,求平衡时,杆AB与斜面AO的交角θ。
已知斜面BO和水平面交角α。
例8、如图所示,每侧梯长为的折梯置于铅垂平面内,已知A、B两处动摩擦因数分别为μA=0.2、μB=0.6,不计梯重,求人能爬多高而梯不滑到。
例9、一根橡皮绳长为3m,劲度系数为100N/m,现其首尾相连,围成如图所示的正三角形,并用同样大小的对称力来拉它,现欲使它所围成的面积增大一倍,则拉力大小应为多大?
例10、如图所示,两块固定的木板A、B之间夹着一块长方体的木块C,C重为6N,A、B对C的压力大小都是10N,今对C施加以一外力F,将C从两板间水平匀速拉出,求F的大小和方向,已知C和A、B间的动摩擦系数为0.4。
例11、在一个与平面成a角的粗糙斜面上放着一个物体,它系于一个不伸长的细绳上,绳的另端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面,如图所示,然后慢慢地拉动绳子,开始时,绳子处于水平位置,在这个物体到达小孔的时候,物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆,求动摩擦因数μ。
例2:
解答
引进全反力R,对物体两个平衡状态进行受力分析,再进行矢量平移,得到图中的左图和中间图(注意:
重力G是不变的,而全反力R的方向不变、F的大小不变),φm指摩擦角。
再将两图重叠成图的右图。
由于灰色的三角形是一个顶角为30°的等腰三角形,其顶角的角平分线必垂直底边……故有:
φm=15°。
例4、解析:
本题有两种解法,一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值,另一种是引入全反力(摩擦角)化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。
解法一:
(利用平衡条件求解)设拉力与斜面夹角为θ,则由平衡条件可得:
即有
令,则有
解法二:
(引入摩擦角)如图1所示,设,则由平衡条件
和矢量三角形可得:
当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉
力最小,即:
例5、本题也有两种解法:
解法一是根据物体的平衡条件求解,
这是常规解法;另一解法是分析出它临界条件θ0再引入摩擦角解。
解法一:
(1)如图2所示,平衡条件可得:
由上述3式可解得:
(2)如图3所示,由平衡条件可得:
由上述3式可解得:
解法二:
(1)(引入摩擦角)如图4所示,,由平衡
条件可得:
所以有
(2)如图5所示,将梯子和人的重力用其等效重力代替,
当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒,当
等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒,所以当
人上到梯子一半即L/2时,梯子开始滑动。
例6、分析:
此题同样有两种解法,为了节省篇幅,接下来只介绍引入摩擦角的解法。
此题是多点摩擦的问题,而且又是多点同时滑动,所以系统达到临界平衡状态(极限平衡状态)时,即梯子与水平所成的夹角最小时,各处摩擦力均达到最大值。
现把两端点的受力用全反力表示,则梯子就只受三个力,且三个力必共点。
解:
如图6所示,,,由平衡条件
和几何关系可得:
即梯子与地面所成的最小的角为
例7、分析:
此题也是多点摩擦同时滑动问题。
平衡时杆AB与斜面AO的交角θ有最大、最小值。
一般平衡情况下夹角介于两者之间。
解:
在求θmin时,通过引入全反力,杆子受到
如图7所示的三个力,由平衡条件可知三力必共点
,由几何关系可知:
由上述3式可得:
在求θmax时,通过引入全反力,杆子受到
如图8所示的三个力,由平衡条件可知三力必共点
,由几何关系可知:
由上述3式可得:
例8、解析:
这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题,比前面的例题要复杂。
如果地面与梯的摩擦系数足够大,则梯子不会滑到,现两边的摩擦系数较小,所以梯子有可能滑到,所以必须对A、B分别分析。
解:
由题意可得:
,
如果从A开始往上爬,爬到如图所示时梯子将滑到,此时
受力如图9所示,设此时人离A端的水平距离为S,则由平衡条件和
几何关系可得:
所以从A端能爬的最大高度为
如果从B端开始往上爬,爬到如图所示时梯子将滑到,此时
受力如图10所示,这将不可能,因为A梯早就滑动了或A
梯早就转动了。
综上所述,人能爬的最大高度是。
[想一想]为什么人在梯子上爬时,水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向?
利用数学函数求解:
一梯子长为L,斜靠在竖直的墙壁上,梯子的倾角为,与水平地面间的静摩擦系数为,与竖直墙面间的静摩擦系数为为,不计梯子的重力,求:
重为G的人沿梯子能上升的最大高度。
解:
以梯子和人组成的系统为研究对象,如图所示,建立直角坐标系:
地面对梯子的全反力F1的直线方程:
y=-(x-Lcos)
(1)
竖直墙面对梯子的全反力F2的直线方程:
y=tanx+Lsin
(2)
梯子AB的直线方程:
y=-tan(x-Lcos)(3)
当人达最高时,梯子将要滑动,此时有:
tan=tan=代入上式
由
(1)、
(2)两式可得F1与F2的交点P坐标为:
x=
代入(3)式得人达到的最大高度为:
y=
=
令h=Lsin则:
y=
=
讨论:
(1)当tan时,y,说明人可到达梯子的顶端,即:
ymax=Lsin。
也就是说,梯子的倾角大于某一临界角时(tan=),梯子会处于自锁状态。
这种情况在实际中正是人们所希望的,因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到梯子的任何位置,梯子都将因自锁而不至滑倒,而且梯子与水平地面间的静摩擦系数越大,临界角就会越小,梯子会更容易实现自锁状态。
(2)、当tan时,yymax=
如果此题考虑到梯子的重力,则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度,根据系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。
小结:
由于摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系,所以在解决此类有关全反力及摩擦角的问题时,应首选“坐标法”,这样可避免解繁琐的三角形,使解题的目的性更加明确,从而达到事半功倍的效果。