第八章 第47讲文档格式.docx
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⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线与平面平行或在平面内,它们所成的角是0°
的角.
(2)范围:
[0,
].
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角:
一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;
②二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求证:
CD⊥AE;
(2)求证:
PD⊥平面ABE.
证明
(1)在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,
CD⊂平面ABCD,故PA⊥CD.
因为AC⊥CD,PA∩AC=A,
PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,
所以CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,
∠ABC=60°
,可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
由
(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,
所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,
又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE=A,
AB⊂平面ABE,AE⊂平面ABE,
所以PD⊥平面ABE.
规律方法 在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用,应考虑线与线、线与面所在的平面特征,以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的方法有:
①利用线面垂直的定义;
②利用线面垂直的判定定理;
③若a⊥α,a∥b,则b⊥α;
④利用面面平行的性质定理,
即α∥β,a⊥α⇒a⊥β;
⑤利用面面垂直的性质定理:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
【训练1】(2017·
苏州期末改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
A1C⊥平面C1BD.
证明 如图,连接AC,
则AC⊥BD.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.
又因为AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面AA1C,
所以BD⊥平面AA1C.
因为A1C⊂平面AA1C,
所以A1C⊥BD.
同理可证A1C⊥BC1.
又因为BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面C1BD,所以A1C⊥平面C1BD.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【例2-1】如图,S为平面ABC外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
AB⊥BC;
(2)若AF⊥SC于点F,AE⊥SB于点E,求证:
平面AEF⊥平面SAC.
证明
(1)如图,作AE⊥SB于点E.
因为平面SAB⊥平面SBC,
平面SAB∩平面SBC=SB,
AE⊂平面SAB,
所以AE⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC,
所以AE⊥BC.
因为SA⊥平面ABC,
BC⊂平面ABC,所以SA⊥BC.
又因为AE∩SA=A,
AE⊂平面SAB,SA⊂平面SAB,
所以BC⊥平面SAB.
又AB⊂平面SAB,所以AB⊥BC.
(2)由
(1)可知AE⊥平面SBC,
又SC⊂平面SBC,所以AE⊥SC.
又因为SC⊥AF,AE∩AF=A,
AE⊂平面AEF,AF⊂平面AEF,
所以SC⊥平面AEF.
又SC⊂平面SAC,
所以平面AEF⊥平面SAC.
【例2-2】
如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.
(1)(一题多解)求证:
CE∥平面PAD;
平面EFG⊥平面EMN.
证明
(1)法一 取PA的中点H,连接EH,DH.
又E为PB的中点,
所以EH綊
AB.
又CD綊
AB,
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
法二 连接CF.
因为F为AB的中点,
所以AF=
又CD=
所以AF=CD.
又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,
所以CF∥平面PAD.
因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF=F,CF,EF⊂平面CEF,故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因为E、F分别为PB、AB的中点,所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA,
所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M,N分别为PD,PC的中点,
所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.
规律方法
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义;
②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).
(2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.
在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
【训练2】(2016·
江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
(1)由已知,DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AC,又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1,
∴DE∥A1C1,
且DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,
∴AA1⊥A1C1,又∵A1B1⊥A1C1,且A1B1∩AA1=A1,
A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,
∴A1C1⊥平面ABB1A1,∵B1D⊂平面ABB1A1,
∴A1C1⊥B1D,又∵A1F⊥B1D,且A1F∩A1C1=A1,
A1F,A1C1⊂平面A1C1F,
∴B1D⊥平面A1C1F,又∵B1D⊂平面B1DE,
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
考点三 垂直关系中的探索性问题
【例3】如图,在三棱台ABC-DEF中,CF⊥平面DEF,AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF=a,求证:
DF∥a;
(2)若EF=CF=2BC,试问在线段BE上是否存在点G,使得平面DFG⊥平面CDE?
若存在,请确定G点的位置;
若不存在,请说明理由.
(1)证明 在三棱台ABC-DEF中,AC∥DF,AC⊂平面ACE,DF⊄平面ACE,∴DF∥平面ACE.
又∵DF⊂平面DEF,平面ACE∩平面DEF=a,
∴DF∥a.
(2)解 线段BE上存在点G,且BG=
BE,使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下:
取CE的中点O,连接FO并延长交BE于点G,连接GD,GF,
∵CF=EF,∴GF⊥CE.
在三棱台ABC-DEF中,AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.
又CF∩EF=F,∴DE⊥平面CBEF,∴DE⊥GF.
⇒GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG,
∴平面DFG⊥平面CDE.
此时,如平面图所示,延长CB,FG交于点H,
∵O为CE的中点,EF=CF=2BC,
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE,
∴HB=BC=
EF.
由△HGB∽△FGE可知
=
,即BG=
BE.
规律方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.
【训练3】(2018·
北京东城区模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点.AB=BC,AC=2,AA1=
.
B1C∥平面A1BM;
AC1⊥平面A1BM;
(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?
如果存在,求此时
的值;
如果不存在,请说明理由.
(1)证明 连接AB1与A1B,两线交于O点,连接OM,
在△B1AC中,∵M,O分别为AC,AB1中点,
∴OM∥B1C,
又∵OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,
∴B1C∥平面A1BM.
(2)证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,
∴AA1⊥BM,
又∵M为棱AC中点,AB=BC,∴BM⊥AC.
∵AA1∩AC=A,∴BM⊥平面ACC1A1,
∴BM⊥AC1.
∵AC=2,∴AM=1.
又∵AA1=
,∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,
tan∠AC1C=tan∠A1MA=
∴∠AC1C=∠A1MA,
即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°
,
∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M=M,BM,A1M⊂平面A1BM,
∴AC1⊥平面A1BM.
(3)解 当点N为BB1中点,即
时,
平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1中点为D,连接DM,DN.
∵D,M分别为AC1,AC中点,
∴DM∥CC1,且DM=
CC1.
又∵N为BB1中点,∴DM∥BN,且DM=BN,
∴MBND为平行四边形,∴BM∥DN,
∵BM⊥平面ACC1A1,∴DN⊥平面ACC1A1.
又∵DN⊂平面AC1N,∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.
【训练4】(2018·
苏州模拟)如图,边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直,M,Q分别为PC,AD的中点.
PA∥平面MBD.
(2)在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB?
若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;
(1)证明如图,连接AC交BD于点O,连接MO.
由四边形ABCD为正方形,知点O为AC的中点,又因为M为PC的中点,
所以MO∥PA.
因为MO⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,
所以PA∥平面MBD.
(2)解存在点N,当N为AB的中点时,平面PCN⊥平面PQB.证明如下:
因为四边形ABCD是正方形,Q为AD的中点,
所以BQ⊥NC.
因为Q为AD的中点,△PAD为正三角形,
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊂平面PAD,
所以PQ⊥平面ABCD.
又因为NC⊂平面ABCD,所以PQ⊥NC.
又因为BQ∩PQ=Q,BQ,PQ⊂平面PQB,
所以NC⊥平面PQB.
因为NC⊂平面PCN,
所以平面PCN⊥平面PQB.
一、必做题
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则下列命题正确的有________(填序号).
①垂直于平面β的平面一定平行于平面α;
②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α;
③垂直于平面β的平面一定平行于直线l;
④垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直.
解析 对于①,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故①错误;
对于②,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故②错误;
对于③,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故③错误;
易知④正确.
答案 ④
2.(2018·
常州模拟)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是________(填序号).
①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;
②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;
③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;
④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.
解析 ①中,由m⊥n,n∥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;
②中,由m∥β,β⊥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;
③中,由m⊥β,n⊥β,可得m∥n,又n⊥α,则m⊥α,正确;
④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α,可得m与α相交或m⊂α或m∥α,错误.
答案 ③
无锡模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上.
解析 由AC⊥AB,AC⊥BC1,
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
答案 AB
4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是________(填序号).
①CC1与B1E是异面直线;
②AC⊥平面ABB1A1;
③AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;
④A1C1∥平面AB1E.
解析 ①不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;
②不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC⊥平面ABB1A1;
③正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;
④不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确.
5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD⊥AC;
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D-ABC是正三棱锥;
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是________(填序号).
解析 由题意知BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;
AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;
易知DA=DB=DC,又由②知③正确;
由①知④错.
答案 ①②③
6.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:
①BC⊥PC;
②OM∥平面APC;
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________(填序号).
解析 对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
∵AB为⊙O的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC,
又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC;
对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,
∵PA⊂平面PAC,OM⊄平面PAC,
∴OM∥平面PAC;
对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.
7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°
,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.
解析 设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,
则DE=
h.
又2×
=h
所以h=
,DE=
在Rt△DB1E中,
B1E=
由面积相等得
×
x,
得x=
答案
8.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,
∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF.
故①②③正确.
9.(2018·
无锡一模)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AP⊥平面PCD,E,F分别为PC,AB的中点.求证:
(1)平面PAD⊥平面ABCD;
(2)EF∥平面PAD.
证明
(1)∵AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,
∴AP⊥CD.
∵ABCD为矩形,∴AD⊥CD,
又∵AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,
∴CD⊥平面PAD,
∵CD⊂平面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD.
(2)连接AC、BD交于O,连接OE,OF.
∵ABCD为矩形,∴O为AC中点,
∵E为PC中点,∴OE∥PA.
∵OE⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,∴OE∥平面PAD,
同理,OF∥平面PAD,
∵OE∩OF=O,OE,OF⊂平面OEF,
∴平面OEF∥平面PAD,
∵EF⊂平面OEF,∴EF∥平面PAD.
10.在直角梯形SBCD中,∠D=∠C=
,BC=CD=2,SD=4,A为SD的中点,如图
(1)所示,将△SAB沿AB折起,使SA⊥AD,点E在SD上,且SE=
SD,如图
(2)所示.
SA⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-AC-D的正切值.
(1)证明 由题意知SA⊥AB,
又SA⊥AD,AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,
所以SA⊥平面ABCD.
(2)解 在AD上取一点O,使AO=
AD,
连接EO,如图所示.
又SE=
SD,所以EO∥SA.
所以EO⊥平面ABCD.
过O作OH⊥AC交AC于H,连接EH,则AC⊥平面EOH,EH⊂平面EOH,
所以AC⊥EH,
所以∠EHO为二面角E-AC-D的平面角.
已知EO=
SA=
在Rt△AHO中,∠HAO=45°
,OH=AO·
sin45°
tan∠EHO=
=2
,即二面角E-AC-D的正切值为2
二、选做题
11.如图,在直二面角α-MN-β中,等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α,一直角边AC⊂β,BC与β所成角的正弦值为
,则AB与β所成的角是________.
解析 如图所示,作BH⊥MN于点H,连接AH,
则BH⊥β,∠BCH为BC与β所成的角.
∵sin∠BCH=
设BC=1,则BH=
∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=AB=
∴AB与β所成的角为∠BAH.
∴sin∠BAH=
∴∠BAH=
12.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=
,DE=3,∠BAD=60°
,G为BC的中点.
FG∥平面BED;
平面BED⊥平面AED;
(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
(1)证明 如图,取BD的中点O,连接OE,OG.
在△BCD中,因为G是BC的中点,
所以OG∥DC且OG=
DC=1.
又因为EF∥AB,AB∥DC,
所以EF∥OG且EF=OG,
所以四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.
又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,
所以FG∥平面BED.
(2)证明 在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°
由余弦定理可得BD=
,进而∠ADB=90°
即BD⊥AD.
又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
平面AED∩平面