第八章 第47讲文档格式.docx
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⇒a∥b
2.直线和平面所成的角
平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是0°
的角.
（2）范围：
[0，
].
3.平面与平面垂直
（1）二面角的有关概念
①二面角：
一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
（2）平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
（3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°
，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.
（1）求证：
CD⊥AE；
（2）求证：
PD⊥平面ABE.
证明
（1）在四棱锥P－ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，
CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，
PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.
（2）由PA＝AB＝BC，
∠ABC＝60°
，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由
（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，
AB⊂平面ABE，AE⊂平面ABE，
所以PD⊥平面ABE.
规律方法 在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，应考虑线与线、线与面所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的方法有：
①利用线面垂直的定义；
②利用线面垂直的判定定理；
③若a⊥α，a∥b，则b⊥α；
④利用面面平行的性质定理，
即α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
⑤利用面面垂直的性质定理：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
【训练1】（2017·
苏州期末改编）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：
A1C⊥平面C1BD.
证明 如图，连接AC，
则AC⊥BD.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD.
又因为AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，
所以BD⊥平面AA1C.
因为A1C⊂平面AA1C，
所以A1C⊥BD.
同理可证A1C⊥BC1.
又因为BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面C1BD，所以A1C⊥平面C1BD.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【例2－1】如图，S为平面ABC外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.
AB⊥BC；
（2）若AF⊥SC于点F，AE⊥SB于点E，求证：
平面AEF⊥平面SAC.
证明
（1）如图，作AE⊥SB于点E.
因为平面SAB⊥平面SBC，
平面SAB∩平面SBC＝SB，
AE⊂平面SAB，
所以AE⊥平面SBC.
因为BC⊂平面SBC，
所以AE⊥BC.
因为SA⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，所以SA⊥BC.
又因为AE∩SA＝A，
AE⊂平面SAB，SA⊂平面SAB，
所以BC⊥平面SAB.
又AB⊂平面SAB，所以AB⊥BC.
（2）由
（1）可知AE⊥平面SBC，
又SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC.
又因为SC⊥AF，AE∩AF＝A，
AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，
所以SC⊥平面AEF.
又SC⊂平面SAC，
所以平面AEF⊥平面SAC.
【例2－2】
如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.
（1）（一题多解）求证：
CE∥平面PAD；
平面EFG⊥平面EMN.
证明
（1）法一 取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊
AB.
又CD綊
AB，
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
法二 连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝
又CD＝
所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形.
因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，CF，EF⊂平面CEF，故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.
（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
规律方法
（1）判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.
（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.
在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【训练2】（2016·
江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明
（1）由已知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
且DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
A1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
考点三 垂直关系中的探索性问题
【例3】如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：
DF∥a；
（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？
若存在，请确定G点的位置；
若不存在，请说明理由.
（1）证明 在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.
又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，
∴DF∥a.
（2）解 线段BE上存在点G，且BG＝
BE，使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下：
取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，GF，
∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
⇒GF⊥平面CDE.
又GF⊂平面DFG，
∴平面DFG⊥平面CDE.
此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，
∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝
EF.
由△HGB∽△FGE可知
＝
，即BG＝
BE.
规律方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.
【训练3】（2018·
北京东城区模拟）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点.AB＝BC，AC＝2，AA1＝
.
B1C∥平面A1BM；
AC1⊥平面A1BM；
（3）在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？
如果存在，求此时
的值；
如果不存在，请说明理由.
（1）证明 连接AB1与A1B，两线交于O点，连接OM，
在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，
∴OM∥B1C，
又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，
∴B1C∥平面A1BM.
（2）证明 ∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，
∴AA1⊥BM，
又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，
∴BM⊥AC1.
∵AC＝2，∴AM＝1.
又∵AA1＝
，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝
∴∠AC1C＝∠A1MA，
即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°
，
∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，
∴AC1⊥平面A1BM.
（3）解 当点N为BB1中点，即
时，
平面AC1N⊥平面AA1C1C.
设AC1中点为D，连接DM，DN.
∵D，M分别为AC1，AC中点，
∴DM∥CC1，且DM＝
CC1.
又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，
∴MBND为平行四边形，∴BM∥DN，
∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.
又∵DN⊂平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.
【训练4】（2018·
苏州模拟）如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.
PA∥平面MBD.
（2）在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？
若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；
（1）证明如图，连接AC交BD于点O，连接MO.
由四边形ABCD为正方形，知点O为AC的中点，又因为M为PC的中点，
所以MO∥PA.
因为MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，
所以PA∥平面MBD.
（2）解存在点N，当N为AB的中点时，平面PCN⊥平面PQB.证明如下：
因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，
所以BQ⊥NC.
因为Q为AD的中点，△PAD为正三角形，
所以PQ⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，
所以PQ⊥平面ABCD.
又因为NC⊂平面ABCD，所以PQ⊥NC.
又因为BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ⊂平面PQB，
所以NC⊥平面PQB.
因为NC⊂平面PCN，
所以平面PCN⊥平面PQB.
一、必做题
1.若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列命题正确的有________（填序号）.
①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；
②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；
③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；
④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直.
解析 对于①，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故①错误；
对于②，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故②错误；
对于③，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故③错误；
易知④正确.
答案 ④
2.（2018·
常州模拟）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________（填序号）.
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
解析 ①中，由m⊥n,n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；
②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；
③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；
④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误.
答案 ③
无锡模拟）如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°
，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上.
解析 由AC⊥AB，AC⊥BC1，
∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
答案 AB
4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是________（填序号）.
①CC1与B1E是异面直线；
②AC⊥平面ABB1A1；
③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
④A1C1∥平面AB1E.
解析 ①不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；
②不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；
③正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；
④不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确.
5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是________（填序号）.
解析 由题意知BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；
AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；
易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；
由①知④错.
答案 ①②③
6.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点.现有结论：
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是________（填序号）.
解析 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；
对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，
∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
∴OM∥平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确.
7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°
，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________.
解析 设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝
h.
又2×
＝h
所以h＝
，DE＝
在Rt△DB1E中，
B1E＝
由面积相等得
×
x，
得x＝
答案
8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；
②EF⊥PB；
③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
解析 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.
故①②③正确.
9.（2018·
无锡一模）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点.求证：
（1）平面PAD⊥平面ABCD；
（2）EF∥平面PAD.
证明
（1）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AP⊥CD.
∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，
又∵AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.
（2）连接AC、BD交于O，连接OE，OF.
∵ABCD为矩形，∴O为AC中点，
∵E为PC中点，∴OE∥PA.
∵OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD，
同理，OF∥平面PAD，
∵OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面OEF，
∴平面OEF∥平面PAD，
∵EF⊂平面OEF，∴EF∥平面PAD.
10.在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝
，BC＝CD＝2，SD＝4，A为SD的中点，如图
（1）所示，将△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，点E在SD上，且SE＝
SD，如图
（2）所示.
SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E－AC－D的正切值.
（1）证明 由题意知SA⊥AB，
又SA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
（2）解 在AD上取一点O，使AO＝
AD，
连接EO，如图所示.
又SE＝
SD，所以EO∥SA.
所以EO⊥平面ABCD.
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，EH⊂平面EOH，
所以AC⊥EH，
所以∠EHO为二面角E－AC－D的平面角.
已知EO＝
SA＝
在Rt△AHO中，∠HAO＝45°
，OH＝AO·
sin45°
tan∠EHO＝
＝2
，即二面角E－AC－D的正切值为2
二、选做题
11.如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为
，则AB与β所成的角是________.
解析 如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，
则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角.
∵sin∠BCH＝
设BC＝1，则BH＝
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝
∴AB与β所成的角为∠BAH.
∴sin∠BAH＝
∴∠BAH＝
12.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝
，DE＝3，∠BAD＝60°
，G为BC的中点.
FG∥平面BED；
平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
（1）证明 如图，取BD的中点O，连接OE，OG.
在△BCD中，因为G是BC的中点，
所以OG∥DC且OG＝
DC＝1.
又因为EF∥AB，AB∥DC，
所以EF∥OG且EF＝OG，
所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.
又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，
所以FG∥平面BED.
（2）证明 在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°
由余弦定理可得BD＝
，进而∠ADB＝90°
即BD⊥AD.
又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
平面AED∩平面
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