六年级奥数举一反三第37讲 对策问题含答案Word格式文档下载.docx

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练习1：

1、一堆火柴40根，甲、乙两人轮流去拿，谁拿到最后一根谁胜。

每人每次可以拿1至3根，不许不拿，乙让甲先拿。

问：

谁能一定取胜？

他要取胜应采取什么策略？

2、两人轮流报数，规定每次报的数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先报到88，谁就获胜。

先报数者有必胜的策略吗？

3、把1994个空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，谁先移到最后一格谁胜。

先移者确保获胜的方法是什么？

【例题2】有1987粒棋子。

甲、乙两人分别轮流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的为胜者。

现在两人通过抽签决定谁先取。

你认为先取的能胜，还是后取的能胜？

怎样取法才能取胜？

从结局开始，倒推上去。

不妨设甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。

如果剩下5粒棋子，则甲不能一次拿完，乙胜。

因此甲想取胜，只要在某一时刻留下5粒棋子就行了。

不妨设甲先取，则甲能取胜。

甲第一次取2粒，以后无论乙拿几粒，甲只要使自己的粒数与乙拿的粒数之和正好等于5，这样，每一轮后，剩下的棋子粒数总是5的倍数，最后总能留下5粒棋子，因此，甲先取必胜。

练习2：

1、甲、乙两人轮流从1993粒棋子中取走1粒或2粒或3粒，谁取到最后一粒的是胜利者，你认为先取的能获胜，还是后取的能获胜，应采取什么策略？

2、有1997根火柴，甲、乙两人轮流取火柴，每人每次可取1至10根，谁能取到最后一根谁为胜利者，甲先取，乙后取。

甲有获胜的可能吗？

取胜的策略是什么？

3、盒子里有47粒珠子，两人轮流取，每次最多取5粒，最少取1粒，谁最先把盒子的珠子取完，谁就胜利，小明和小红来玩这个取珠子的游戏，先名先、小红后，谁胜？

【例题3】在黑板上写有999个数：

2，3，4，……，1000。

甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。

谁必胜？

必胜的策略是什么？

甲先擦去1000，剩下的998个数，分为499个数对：

（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）。

可见每一对数中的两个数互质。

如果乙擦去某一对中的一个，甲则接着擦去这对中的另一个，这样乙、甲轮流去擦，总是一对数、一对数地擦，最后剩下的一对数必互质。

所以，甲必胜。

练习3：

1、甲、乙两人轮流从分别写有1，2，3，……，99的99张卡片中任意取走一张，先取卡的人能否保证在他取走的第97张卡片时，使剩下的两张卡片上的数一个是奇数，一个是偶数？

2、两个人进行如下游戏，即两个人轮流从数列1，2，3，……，100，101勾去九个数。

经过这样的11次删除后，还剩下两个数。

如果这两个数的差是55，这时判第一个勾数的人获胜。

问第一个勾数的人能否获胜？

获胜的策略是什么？

3、在黑板上写n—1（n＞3）个数：

2，3，4，……，n。

甲、乙两人轮流在黑板上擦去一个数。

如果最后剩下的两个数互质，则乙胜，否则甲胜。

N分别取什么值时：

（1）甲必胜？

（2）乙必胜？

【例题4】甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数，规定禁止在黑板上写已写过的数的约数，最后不能写的人为失败者。

如果甲第一个写，谁一定获胜？

写出一种获胜的方法。

这里关键是第一次写什么数，总共只有10个数，可通过归纳试验。

甲不能写1，否则乙写6，乙可获胜；

甲不能写3，5，7，否则乙写8，乙可获胜；

甲不能写4，9，10，否则乙写6，乙可获胜。

因此，甲先写6或8，才有可能获胜。

甲可以获胜。

如甲写6，去掉6的约数1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10这六个数中的一个，将这六个数分成（4，5），（7，9），（8，10）三组，当乙写某组中的一个数，甲就写另一个数，甲就能获胜。

练习4：

1、甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数。

书写规则是：

不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。

现甲先写，乙后写，谁能获胜？

应采取什么对策？

2、甲、乙两人轮流从分别写有3，4，5，……，11的9张卡片中任意取走一张，规定取卡人不能取已取过的数的倍数，轮到谁无法再取时，谁就输。

现甲先取，乙后取，甲能否必然获绳？

应采取的对策是什么？

3、甲、乙两人轮流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子。

甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者为胜者。

甲、乙两人谁能获胜？

【例题5】有一个3×

3的棋盘以及9张大小为一个方格的卡片如图37-1所示，9张卡片分别写有：

1，3，4，5，6，7，8，9，10这几个数。

小兵和小强两人做游戏，轮流取一张卡片放在9格中的一格，小兵计算上、下两行6个数的和；

小强计算左、右两列6个数的和，和数大的一方取胜。

小兵一定能取胜吗？

如图37-1所示，由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在

A，B，C，D这4个格中的数有关。

小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将

小数填入B格或D格。

由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，

小兵再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。

如小强把3放进A格，小兵只需将9放到C格，小兵也一定获胜。

练习5：

1、在5×

5的棋盘的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下对角线走一格。

两人交替走，谁为胜者。

2、甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是每人每次只能放一枚，硬币不能重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再无处可放，谁就获胜。

如果甲先放，那么他怎样才能取胜？

3、两人轮流在3×

3的方格中画“√”和“×

”，规定每人每次至少画一格，至多画三格，所有的格画满后，谁画的符号总数为偶数，谁就获胜。

谁有获胜的策略？

第37周对策问题

答案

1、解：

乙一定能取胜，他采取让甲先拿，乙每次拿的根数要保持与甲拿的根数和为4，即甲拿1，乙则拿3；

甲拿2，乙则拿2；

甲拿3，乙则拿1，便可取胜.

故答案为：

解析

仔细看题，读懂题意，细心推敲字词句，准确弄懂题目意图，本题主要练习的是倍数、因数的意义,40是4的整数倍,乙只要与甲拿的根数和为4，即甲拿1，乙则拿3；

甲拿3，乙则拿1，乙便可取胜.

看清题意，特别要注重培养具体问题具体分析的习惯和灵活运用知识的能力，让甲先拿，乙每次拿的根数要保持与甲拿的根数和为4，即甲拿1，乙则拿3；

甲拿3，乙则拿1，乙便可取胜.这样，才能使学生对应用题算得正确迅速.

2、能报的数有1,2,3,4,5,6

∴,如果66是胜利,则

也是胜利

因为对方1,你就6,对方2,你就5,以此类推.

于是,3是第一个必胜点.10是第二个,以此类推.

就看谁抢到这些数字

直接就报3则必胜

3、解：

因为，1994个空格，走到终点需要1993步（起点不算），

（1994-1）÷

（1+3）=498…1，先移者第一次向右移1格，以后每一轮保证向右移的格数与对方加起来是4格，由此，先移者胜．故答案为：

解析：

因为，（1994-1）÷

（1+3）=498…1，所以，先移者确保获胜的方法是：

第一次向右移1格，即移到第2格，以后每一轮保证向右移与对方加起来是4格，由此先移者获胜．

解答此题的关键是，根据所给的格数和所要求的移动格子数，判断出先移者第一次移动的格数，及先移者每次移动的格子数，先行者即可获胜．

1、1、后拿者,只要不出错,可必胜。

策略是：

如果甲拿1,乙拿3,甲拿2,乙拿2,甲拿3,乙拿1,这样每次合拿4支,可保乙必胜。

2、先报数者有必胜的策略.不超过8,也就是可以报

拿起来为

余7，先报7,余下81,然后根据第二人的报数,先报数者用9减去第二者的报数,报出即可。

（也就是要保证两次报数之和为9,如第二人报6,先报者跟着报

2、解：

先取者甲一定能胜；

因为1997=181×

11+6，甲开始取6根，余下99根是11的倍数，这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才取的数目凑成11（这时余下88根，仍是11的倍数）；

依此法进行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴时，余下火柴甲都可一次取完．故答案为：

如果不许不拿的话（即至少拿1根），肯定不公平，因为先拿的必胜。

先拿取胜的方法是：

第一次取1根即可。

因为1997/（1+10）=181……6也就是说先取掉1根后所剩余的是11的倍数，无论后取者乙如何取，先取者甲总能使剩余火柴数保持为11的倍数（乙取1，则甲取10；

乙取2，则甲取9，类推），即火柴每次以11个11个减少，到最后必然只剩11个，这时无论乙如何取，甲总能取到最后1根。

此题属于较难的逻辑推理题，应根据题目要求和数的特点，进行分析，进而得出问题答案．

解决这类问题一般采用逆推法和归纳法

小明胜.取胜的策略是：

小明先取3粒，然后后面的就剩下了84粒，这84粒可以分成14组，每组6粒，不管小红每次拿几粒，小明只要保证和小红拿的加在一起是6粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜.

两人轮流取珠子，每次最多取5粒，最少取1粒，小明先取3粒，然后后面的就剩下了84粒，这84粒可以分成14组，每组6粒，不管小红每次拿几粒，小明只要保证和小红拿的加在一起是6粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜.

这是一道预测简单事件发生的可能性的问题，两人轮流取珠子，每次最多取5粒，最少取1粒，小明先取3粒，然后后面的就剩下了84粒，这84粒可以分成14组，每组6粒，不管小红每次拿几粒，小明只要保证和小红拿的加在一起是6粒，小明就能保证先把珠子取完而获胜，同学们在做这类题时要认真分析，仔细推敲，才能真确答题.

1、解:

因为99张卡中奇数卡会比偶数卡多出一张,假设先抽卡的人是甲,他第一张先把一张奇数卡抽掉,那么就剩下98张卡奇偶各半,只要保证乙抽奇数卡时甲就抽偶数卡,乙抽偶数卡时甲就抽奇数卡,这样当最后甲抽走第97张卡的时候,剩下的两张就自然是一张奇数,一张偶数.解析：

通过分析可知:

因为99张卡中奇数卡会比偶数卡多出一张,假设先抽卡的人是甲,他第一张先把一张奇数卡抽掉,那么就剩下98张卡奇偶各半,只要保证乙抽奇数卡时甲就抽偶数卡,乙抽偶数卡时甲就抽奇数卡,这样当最后甲抽走第97张卡的时候,剩下的两张就自然是一张奇数,一张偶数.据此解答即可.

解答此题的关键是知道先取的数是多少,和每次应该怎么取,即可得出答案.

首先你要先想一下

能配对的哪有哪些,

你就会发现只有

这九个数无法配对,因此,第一次九删除这九个数,好办了,第二个人如果删了1,我就删56,这样下去,5个回合后顶多能删除

对,而我们一共有

对也就是中有一对数组存在.

如果第二个人把配对的如

删了,我们就必须这么做,他在哪一个回合中删了多少个配对,我们也删对少个配对,与他保持一致就行了.

（1）当n=2006时，甲采用如下策略：

先擦去2006，然后将剩下的2004个自然数分为1002组，（2，3）（4，5），…（2004，2005），乙擦去哪个组的一个数，甲接着就擦去同一组的另个数，这样最后剩下的两个数是相邻的两个数，而相邻的两个数是互质的，所以甲必胜；

（2）乙必胜的策略：

①当甲始终擦去偶数时，乙留下一对不互质的奇数，例如，3和9，而擦去其余的奇数；

②当甲从某一步开始擦去奇数时，乙可以跟着擦去奇数，这样最后给乙留下的三个数有两种情况，一种是剩下一个偶数和两个奇数3和9，此时乙擦掉那个偶数，另一种是至少两个偶数，此时乙留下两个偶数就可以了．

通过假设归纳试验得出最终的结果，掌握使用策略解决问题.

解析:

这里关键是第一次写什么数，写多少个数，谁先擦掉一个数，这是一个策略问题。

1、甲取胜。

第一步甲写12，剩下的数有（5,10）、（7,14）和8、9、11、13

乙如写5,甲写7,乙如写10,甲写14

剩下8、9、11、13甲总能写到最后一个数,从而获胜.

共9张，则先抽的人要比后抽的人多抽一张，则甲先抽的必然获胜.因题中规定取卡人不能取已取过的数的倍数，故先从所给数中最大的开始抽，则先抽的要多抽一张，则后抽的就输了.答：

甲必然获胜，采取从最大的数开始抽的对策.故答案为：

必然；

从最大的数开始抽取 

.此类型题目考查我们对通过一一列举措施来解决问题的掌握方法，再根据题目意思我们进行作答.在作答过程中要读懂题目，避免出错.解析首先我们看看这道题目，共有9张卡片，则谁先抽取的则谁就能获胜，再根据题意进行解答即可。

3、甲胜

甲在第一次取走4粒此时胜2000粒，轮到乙取乙无论取多少粒，甲都可以取相应的粒数，使得甲取的粒数与乙取的粒数之和为8（例如乙取3粒，甲取5粒等）这样取一轮后，剩下1992粒，也能被8整除，以此类推当经过了249轮之后，剩下8粒，轮到乙取此时无论乙取多少粒，甲都可以取完剩下的棋子，所以最后是甲胜

如图37-1所示，由于4个角的数是两人共有的，因而和数的大小只与放在A，B，C，D这4个格中的数有关。

小兵要获胜，必须采取如下策略，尽可能把大数填入A或C格，尽可能将小数填入B格或D格。

由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵应先将1放在B格，如小强把10放进D格，小兵再把9放进A格，这时不论小强怎么做，C格中一定是大于或等于3的数，因而小兵获胜。

后走者必胜的策略“跟着前者走”，即前者走左格，后者也走左格，前者走下格，后者也走下格，前者走对角线格，后者也走对角线格.

略

找到制胜点利用倒推法进行分析.

局面已对称－抢后，跟随对方是解本题关键.

如果甲先放，他应该把硬币放在圆形桌面的圆心处，根据圆的对称性，乙每放一枚硬币，甲总是可以在它的对称位置放一枚硬币，这样乙总是要寻找位置来放，甲只要放在与乙对称的位置就行了，只要乙能找到位置，甲也总是能找到位置，最后甲必然能够获胜.故答案为：

如果甲先放，他应该把硬币放在圆形桌面的圆心处.

根据圆的对称性设计放硬币的方案.

理解圆的对称性是解决本题的关键.

第一步画1格，你就画3格，他输；

第一步画2格，你就画2格，他输；

第一步画3格，你就画1格，他输；

画错就输

画错就输.

此题需要探索其中的规律，通过分析发现，第一步画1格，你就画3格，他输；

此题的解题关键是考查学生对于探索规律的认识和理解，通过分析发现，第一步画1格，你就画3格，他输；