备战中考数学初中数学 旋转的综合题试题及答案.docx

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备战中考数学初中数学旋转的综合题试题及答案

备战中考数学初中数学旋转的综合题试题及答案

一、旋转

1.

(1)发现:

如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:

当点A位于  时,线段AC的长取得最大值,且最大值为  (用含a,b的式子表示)

(2)应用:

点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.

①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.

(3)拓展:

如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

【答案】

(1)CB的延长线上,a+b;

(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(2﹣,)或(2﹣,﹣),AM的最大值为2+4.

【解析】

【分析】

(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;

(2)①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据

(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.

【详解】

(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,

∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,

故答案为CB的延长线上,a+b;

(2)①CD=BE,

理由:

∵△ABD与△ACE是等边三角形,

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

即∠CAD=∠EAB,

在△CAD与△EAB中,,

∴△CAD≌△EAB(SAS),

∴CD=BE;

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,

(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,

∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;

(3)如图1,

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,

则△APN是等腰直角三角形,

∴PN=PA=2,BN=AM,

∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),

∴OA=2,OB=6,

∴AB=4,

∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,

∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,

最大值=AB+AN,

∵AN=AP=2,

∴最大值为2+4;

如图2,

过P作PE⊥x轴于E,

∵△APN是等腰直角三角形,

∴PE=AE=,

∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣4﹣=2﹣,

∴P(2﹣,).

如图3中,

根据对称性可知当点P在第四象限时,P(2﹣,﹣)时,也满足条件.

综上所述,满足条件的点P坐标(2﹣,)或(2﹣,﹣),AM的最大值为2+4.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:

探究1:

如图1,在等腰直角三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接求证:

的面积为提示:

过点D作BC边上的高DE,可证≌

探究2:

如图2,在一般的中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接请用含a的式子表示的面积,并说明理由.

探究3:

如图3,在等腰三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接试探究用含a的式子表示的面积,要有探究过程.

【答案】

(1)详见解析;

(2)的面积为,理由详见解析;(3)的面积为.

【解析】

【分析】

如图1,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出≌,就有进而由三角形的面积公式得出结论;

如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出≌,就有进而由三角形的面积公式得出结论;

如图3,过点A作与F,过点D作的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出,由条件可以得出≌就可以得出,由三角形的面积公式就可以得出结论.

【详解】

如图1,过点D作交CB的延长线于E,

由旋转知,,,

在和中,

的面积为,

理由:

如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,

线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BE,

,,

在和中,

≌,

如图3,过点A作与F,过点D作的延长线于点E,

,,

线段BD是由线段AB旋转得到的,

在和中,

≌,

的面积为.

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.

3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D、E分别在AC、BC边上,DC=EC,连接DE、AE、BD.点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN.

(1)PM与BE的数量关系是  ,BE与MN的数量关系是  .

(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断

(1)中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;

(3)若CB=6.CE=2,在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中,当B、E、D三点在一条直线上时,求MN的长度.

【答案】

(1);

(2)成立,理由见解析;(3)MN=﹣1或+1

【解析】

【分析】

(1)如图1中,只要证明的等腰直角三角形,再利用三角形的中位线定理即可解决问题;

(2)如图2中,结论仍然成立,连接、延长交于点.由,推出,,即可推出,由、、分别、、的中点,推出,,,,推出,,可得;

(3)有两种情形分别求解即可.

【详解】

(1)如图1中,

∵AM=ME,AP=PB,

∴PM∥BE,,

∵BN=DN,AP=PB,

∴PN∥AD,,

∵AC=BC,CD=CE,

∴AD=BE,

∴PM=PN,

∵∠ACB=90°,

∴AC⊥BC,

∴∵PM∥BC,PN∥AC,

∴PM⊥PN,

∴△PMN的等腰直角三角形,

∴,

∴,

∴,

故答案为,.

(2)如图2中,结论仍然成立.

理由:

连接AD、延长BE交AD于点H.

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,

∴CD=CE,CA=CB,∠ACB=∠DCE=90°,

∵∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE,

∴∠ACD=∠ECB,

∴△ECB≌△DCA,

∴BE=AD,∠DAC=∠EBC,

∵∠AHB=180°﹣(∠HAB+∠ABH)

=180°﹣(45°+∠HAC+∠ABH)

=∠180°﹣(45°+∠HBC+∠ABH)

=180°﹣90°

=90°,

∴BH⊥AD,

∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,

∴PM∥BE,,PN∥AD,,

∴PM=PN,∠MPN=90°,

∴.

(3)①如图3中,作CG⊥BD于G,则,

当D、E、B共线时,在Rt△BCG中,,

∴,

∴.

②如图4中,作CG⊥BD于G,则,

当D、E、B共线时,在Rt△BCG中,,

∴,

∴.

综上所述,MN=﹣1或+1.

【点睛】

本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.

4.在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.

(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?

若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;

(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?

用图①或②加以证明;

(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP:

AC=1:

4时,PE和PF有怎样的数量关系?

证明你发现的结论.

【答案】

(1)△OFC是能成为等腰直角三角形,

(2)OE=OF.(3)PE:

PF=1:

3.

【解析】

【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF的长度,即可推出BF的长度;

【小题2】连接OB,由已知条件推出△OEB≌△OFC,即可推出OE=OF;

【小题3】过点P做PM⊥AB,PN⊥BC,结合图形推出△PNF∽△PME,△APM∽△PNC,继而推出PM:

PN=PE:

PF,PM:

PN=AP:

PC,根据已知条件即可推出PA:

AC=PE:

PF=1:

4.

5.在Rt△ACB和△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.

特殊发现:

如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上,则结论:

PC=PE成立(不要求证明).

问题探究:

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.

(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?

若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?

若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)记=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?

(请直接写出后的值,不必说)

【答案】成立,成立当k为时,总是等边三角形

【解析】

【分析】

(1)过点P作PM⊥CE于点M,由EF⊥AE,BC⊥AC,得到EF∥MP∥CB,从而有,再根据点P是BF的中点,可得EM=MC,据此得到PC=PE.

(2)过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,先证△DAF≌△EAF,即可得出AD=AE;再证△DAP≌△EAP,即可得出PD=PE;最后根据FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,可得FD∥BC∥PM,再根据点P是BF的中点,推得PC=PD,再根据PD=PE,即可得到结论.

(3)因为△CPE总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据,=tan30°,求出当△CPE总是等边三角形时,k的值是多少即可.

【详解】

解:

(1)PC=PE成立,理由如下:

如图2,过点P作PM⊥CE于点M,∵EF⊥AE,BC⊥AC,∴EF∥MP∥CB,∴,∵点P是BF的中点,∴EM=MC,又∵PM⊥CE,∴PC=PE;

(2)PC=PE成立,理由如下:

如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF和△EAF中

,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA,AF=AF,

∴△DAF≌△EAF(AAS),

∴AD=AE,在△DAP和△EAP中,

∵AD=AE

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