备战中考数学初中数学 旋转的综合题试题及答案.docx
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备战中考数学初中数学旋转的综合题试题及答案
备战中考数学初中数学旋转的综合题试题及答案
一、旋转
1.
(1)发现:
如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:
当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示)
(2)应用:
点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.
(3)拓展:
如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.
【答案】
(1)CB的延长线上,a+b;
(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(2﹣,)或(2﹣,﹣),AM的最大值为2+4.
【解析】
【分析】
(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;
(2)①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据
(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标.
【详解】
(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,
故答案为CB的延长线上,a+b;
(2)①CD=BE,
理由:
∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=BE;
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由
(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=5;
(3)如图1,
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,
则△APN是等腰直角三角形,
∴PN=PA=2,BN=AM,
∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),
∴OA=2,OB=6,
∴AB=4,
∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,
∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,
最大值=AB+AN,
∵AN=AP=2,
∴最大值为2+4;
如图2,
过P作PE⊥x轴于E,
∵△APN是等腰直角三角形,
∴PE=AE=,
∴OE=BO﹣AB﹣AE=6﹣4﹣=2﹣,
∴P(2﹣,).
如图3中,
根据对称性可知当点P在第四象限时,P(2﹣,﹣)时,也满足条件.
综上所述,满足条件的点P坐标(2﹣,)或(2﹣,﹣),AM的最大值为2+4.
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:
探究1:
如图1,在等腰直角三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接求证:
的面积为提示:
过点D作BC边上的高DE,可证≌
探究2:
如图2,在一般的中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接请用含a的式子表示的面积,并说明理由.
探究3:
如图3,在等腰三角形ABC中,,,将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD,连接试探究用含a的式子表示的面积,要有探究过程.
【答案】
(1)详见解析;
(2)的面积为,理由详见解析;(3)的面积为.
【解析】
【分析】
如图1,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出≌,就有进而由三角形的面积公式得出结论;
如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,由垂直的性质就可以得出≌,就有进而由三角形的面积公式得出结论;
如图3,过点A作与F,过点D作的延长线于点E,由等腰三角形的性质可以得出,由条件可以得出≌就可以得出,由三角形的面积公式就可以得出结论.
【详解】
如图1,过点D作交CB的延长线于E,
,
由旋转知,,,
,
,
,
在和中,
,
≌
,
,
;
的面积为,
理由:
如图2,过点D作BC的垂线,与BC的延长线交于点E,
,
线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BE,
,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
,
;
如图3,过点A作与F,过点D作的延长线于点E,
,,
,
,
,
,
线段BD是由线段AB旋转得到的,
,
在和中,
,
≌,
,
,
的面积为.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.
3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.点D、E分别在AC、BC边上,DC=EC,连接DE、AE、BD.点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点,连接PM、PN、MN.
(1)PM与BE的数量关系是 ,BE与MN的数量关系是 .
(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置,判断
(1)中BE与MN的数量关系结论是否仍然成立,如果成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;
(3)若CB=6.CE=2,在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中,当B、E、D三点在一条直线上时,求MN的长度.
【答案】
(1);
(2)成立,理由见解析;(3)MN=﹣1或+1
【解析】
【分析】
(1)如图1中,只要证明的等腰直角三角形,再利用三角形的中位线定理即可解决问题;
(2)如图2中,结论仍然成立,连接、延长交于点.由,推出,,即可推出,由、、分别、、的中点,推出,,,,推出,,可得;
(3)有两种情形分别求解即可.
【详解】
(1)如图1中,
∵AM=ME,AP=PB,
∴PM∥BE,,
∵BN=DN,AP=PB,
∴PN∥AD,,
∵AC=BC,CD=CE,
∴AD=BE,
∴PM=PN,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∴∵PM∥BC,PN∥AC,
∴PM⊥PN,
∴△PMN的等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴,
故答案为,.
(2)如图2中,结论仍然成立.
理由:
连接AD、延长BE交AD于点H.
∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=CE,CA=CB,∠ACB=∠DCE=90°,
∵∠ACB﹣∠ACE=∠DCE﹣∠ACE,
∴∠ACD=∠ECB,
∴△ECB≌△DCA,
∴BE=AD,∠DAC=∠EBC,
∵∠AHB=180°﹣(∠HAB+∠ABH)
=180°﹣(45°+∠HAC+∠ABH)
=∠180°﹣(45°+∠HBC+∠ABH)
=180°﹣90°
=90°,
∴BH⊥AD,
∵M、N、P分别为AE、BD、AB的中点,
∴PM∥BE,,PN∥AD,,
∴PM=PN,∠MPN=90°,
∴.
(3)①如图3中,作CG⊥BD于G,则,
当D、E、B共线时,在Rt△BCG中,,
∴,
∴.
②如图4中,作CG⊥BD于G,则,
当D、E、B共线时,在Rt△BCG中,,
∴,
∴.
综上所述,MN=﹣1或+1.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
4.在Rt△ABC中,AB=BC=5,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处,将三角板绕点O旋转,三角板的两直角边分别交AB,BC或其延长线于E,F两点,如图①与②是旋转三角板所得图形的两种情况.
(1)三角板绕点O旋转,△OFC是否能成为等腰直角三角形?
若能,指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时BF的长);若不能,请说明理由;
(2)三角板绕点O旋转,线段OE和OF之间有什么数量关系?
用图①或②加以证明;
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③),当AP:
AC=1:
4时,PE和PF有怎样的数量关系?
证明你发现的结论.
【答案】
(1)△OFC是能成为等腰直角三角形,
(2)OE=OF.(3)PE:
PF=1:
3.
【解析】
【小题1】由题意可知,①当F为BC的中点时,由AB=BC=5,可以推出CF和OF的长度,即可推出BF的长度,②当B与F重合时,根据直角三角形的相关性质,即可推出OF的长度,即可推出BF的长度;
【小题2】连接OB,由已知条件推出△OEB≌△OFC,即可推出OE=OF;
【小题3】过点P做PM⊥AB,PN⊥BC,结合图形推出△PNF∽△PME,△APM∽△PNC,继而推出PM:
PN=PE:
PF,PM:
PN=AP:
PC,根据已知条件即可推出PA:
AC=PE:
PF=1:
4.
5.在Rt△ACB和△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
特殊发现:
如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上,则结论:
PC=PE成立(不要求证明).
问题探究:
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.
(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)记=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?
(请直接写出后的值,不必说)
【答案】成立,成立当k为时,总是等边三角形
【解析】
【分析】
(1)过点P作PM⊥CE于点M,由EF⊥AE,BC⊥AC,得到EF∥MP∥CB,从而有,再根据点P是BF的中点,可得EM=MC,据此得到PC=PE.
(2)过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,先证△DAF≌△EAF,即可得出AD=AE;再证△DAP≌△EAP,即可得出PD=PE;最后根据FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC,可得FD∥BC∥PM,再根据点P是BF的中点,推得PC=PD,再根据PD=PE,即可得到结论.
(3)因为△CPE总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据,=tan30°,求出当△CPE总是等边三角形时,k的值是多少即可.
【详解】
解:
(1)PC=PE成立,理由如下:
如图2,过点P作PM⊥CE于点M,∵EF⊥AE,BC⊥AC,∴EF∥MP∥CB,∴,∵点P是BF的中点,∴EM=MC,又∵PM⊥CE,∴PC=PE;
(2)PC=PE成立,理由如下:
如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF和△EAF中
,∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA,AF=AF,
∴△DAF≌△EAF(AAS),
∴AD=AE,在△DAP和△EAP中,
∵AD=AE