又，，。
2.（2013·辽宁高考理科·Ｔ18）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点。
求证：
平面平面;
若求二面角的余弦值。
【解题指南】利用条件证明线线垂直，进而证明线面垂直，由面面垂直的判定定理解决问题；借助前面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值。
【解析】由是圆的直径，得；
由垂直于圆所在的平面，得平面;又平面，得；
又
所以，又因为
据面面垂直判定定理，平面平面;
过点作∥,由知平面.
如图所示，以点为坐标原点，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系。
在直角三角形ABC中，所以
又所以
故
设平面的法向量为
则
不妨令，则故
设平面的法向量为，
由同理可得
于是
结合图形和题意，二面角的余弦值为
第19题解答图1
3.（2013·湖北高考理科·T19）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.
（Ⅰ）记平面BEF与平面ABC的交线为，试判断直线与平面PAC的位置关系，并加以证明。
（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线与圆O的另一个交点为D，且点Q满足,记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E--C的大小为，求证：
【解题指南】（Ⅰ）利用线面平行的判定和性质定理求解.（Ⅱ）用综合法,利用三角函数证明或用向量法,利用法向量的夹角证明.
【解析】（Ⅰ）直线∥平面，证明如下：
连接，因为，分别是，的中点，所以∥.
又平面，且平面，所以∥平面.而平面，且平面平面，所以∥.因为平面，平面，所以直线∥平面.
（Ⅱ）方法一：
如图1，连接，由（Ⅰ）可知交线即为直线，且∥.
因为是的直径，所以，于是.
已知平面，而平面，所以.
而，所以平面.
连接，，因为平面，所以.
故就是二面角的平面角，即.
由，作∥，且.
连接，，因为是的中点，，所以，
从而四边形是平行四边形，∥.
连接，因为平面，所以是在平面内的射影，
故就是直线与平面所成的角，即.
又平面，有，知为锐角，
故为异面直线与所成的角，即，
于是在△，△，△中，分别可得
，，，
从而，即.
方法二：
如图2，由，作∥，且.连接，，，，，由（Ⅰ）可知交线即为直线.
以点为原点，向量所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有
.
于是，，，
所以，从而.
又取平面的一个法向量为，可得，设平面的一个法向量为，所以由可得取.
于是，从而.
故，即.
4.（2013·重庆高考理科·Ｔ19）如图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
【解题指南】建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标根据⊥可求出的长，再通过求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.
【解析】（Ⅰ）如图,
连接交于,因为,即为等腰三角形,又平分,故,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则而,得.又故
因⊥底面，可设,
由为边中点,又.因⊥．故即（舍去）,所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知设平面的法向量为平面的法向量为由得
因此可取.
由得
因此可取
从而法向量夹角的余弦值为
故二面角的正弦值为
5.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ18）如图，三棱柱中，，，.
（Ⅰ）证明;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【解题指南】（Ⅰ）取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.
（Ⅱ）利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角,或建立空间直角坐标系求解.
【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，.
因为，所以.
由于，，故为等边三角形，
所以.
因为，所以面.
又平面，故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
则有，,,.
则，，.
设平面的法向量为，
则有，即，可取.
故
所以直线与平面所成角的正弦值为.
6.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ19）如图，四棱锥都是等边三角形.
（）证明：
（）求二面角
【解析】（）取的中点，连结，则
为正方形.过作平面，垂足为.
连结，，，.
由和都是等边三角形知,
所以，即点为正方形对角线的交点，
故，从而.
因为是的中点，是的中点，所以∥，
因此.
（）解法一：
由（）知，，,
故面.
又面,所以.
取的中点，的中点，连结，则∥,.
连结，由为等边三角形可得.
所以为二面角的平面角.
连结，，则∥.
又，所以.
设，则，，
故.
在中，，，.
所以.
因此二面角的大小为.
解法二：
由（）知，两两垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则,,
,
,
.
设平面的法向量为，则，
，
可得
取，得，，故平面PCD的一个法向量为.
设平面的法向量为,则
，
.取，得，故平面PAD的一个法向量为
于是.
由于等于二面角的平面角，所以二面角的大小为.
7.（2013·四川高考理科·Ｔ19）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．
（1）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
（2）设
（1）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值．
【解题指南】本题第
（1）问求解时要首先明确证明直线与平面垂直的定理需要满足的条件,在第
（2）问的求解过程中需要建立空间直角坐标系利用法向量进行求解.
【解析】
（1）在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,所以直线l⊥平面ADD1A1.
（2）设AA1=1,如图,
过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则A1（0,0,0）,A（0,0,1）.
因为P为AD的中点,所以M,N分别为AB,AC的中点,
故,M（,,1）,N（−,,1）,
所以=（，−,1）,=（0,0,1）,=（,0,0）.
设平面AA1M的一个法向量为=（x1,y1,z1）,则
故有
从而
取x1=1,则y1=-,所以n1=（1,-,0）.
设平面A1MN的一个法向量为n2=（x2,y2,z2）,则
故有
从而
取y2=2,则z2=-1,所以n2=（0,2,-1）.
设二面角AA1MN的平面角为θ,又θ为锐角,
则cosθ==.
故二面角AA1MN的余弦值为.
8.（2013·天津高考理科·T17）如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
（1）证明B1C1⊥CE.
（2）求二面角B1-CE-C1的正弦值.
（3）设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.
【解题指南】方法一:
（1）建立空间直角坐标系,写出的坐标,利用数量积证明.
（2）求出平面B1CE与平面CEC1的法向量,由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.（3）直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦,确定向量的坐标,由向量的模求线段AM的长.
方法二:
（1）要证明线段垂直,先证明线面垂直,关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E,然后进行证明.
（2）要求二面角B1-CE-C1的正弦值,关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角,然后在三角形中求解.（3）首先构造三角形,设AM=x,在直角三角形AHM,C1D1E中用x表示出AH,EH的长度,最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.
【解析】（方法一）
如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A（0,0,0）,B（0,0,2）,C（1,0,1）,
B1（0,2,2）,C1（1,2,1）,E（0,1,0）.
（1）易得，于是，所以.
（2）设平面B1CE的法向量则即消去x,得，不妨设，可得一个法向量为
由
（1）知，又CC1⊥B1C1，可得，故平面的一个法向量.
于是所以
因此二面角B1－CE－C1的正弦值为
（3）设,则.可取为平面一个法向量.
设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，于是
于是解得所以
（方法二）
（1）因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1,经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE平面CC1E,故B1C1⊥CE.
（2）过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G,由
（1）知,B1C1⊥CE,B1C1,B1G平面B1C1G,B1C1∩B1G=B1,故CE⊥平面B1C1G,又C1G平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin∠B1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.
（）连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.
设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=,AH=,在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=,在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°,得整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.
9.（2013·上海高考理科·T19）如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC′到平面D1AC的距离.
【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A（1,0,1）,B（1,2,1）,C（0,2,1）,C'（0,
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