版考前三个月浙江专版文理通用高考知识方法篇 专题5 数列第20练.docx

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版考前三个月浙江专版文理通用高考知识方法篇专题5数列第20练

第20练　基本量法——破解等差、等比数列的法宝

[题型分析·高考展望]　等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大．解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质．

体验高考

1．（2016·课标全国乙）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于（　　）

A．100B．99C．98D．97

答案　C

解析　由等差数列性质，知S9＝＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝＝1，

∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.

2．（2015·福建）若a，b是函数f（x）＝x2－px＋q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于（　　）

A．6B．7C．8D．9

答案　D

解析　由题意知：

a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.

∴或解得或

∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.

3．（2016·北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

答案　6

解析　∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.

又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.

∴S6＝6×6＋×（－2）＝6.

4．（2015·安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

答案　2n－1

解析　由等比数列的性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，

a1＋a4＝9，∴联立方程

解得或又数列{an}为递增数列，

∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.

∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.

5．（2016·课标全国乙）设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为__________．

答案　64

解析　设等比数列{an}的公比为q，

∴即解得

∴a1a2…an＝（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）

当n＝3或4时，取到最小值－6，

此时取到最大值26，

∴a1a2…an的最大值为64.

高考必会题型

题型一　等差、等比数列的基本运算

例1　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝11，S3＝24.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}中的最小的项．

解　

（1）∵a3＝a1＋2d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，

∴⇒

∴an＝5＋（n－1）×3＝3n＋2.

（2）bn＝＝

＝n＋＋≥2＋＝.

当且仅当n＝，即n＝2时，bn取得最小值，

∴数列{bn}中的最小的项为.

点评　等差（比）数列基本运算的关注点

（1）基本量：

在等差（比）数列中，首项a1和公差d（公比q）是两个基本的元素．

（2）解题思路：

①设基本量a1和公差d（公比q）；

②列、解方程（组）：

把条件转化为关于a1和d（q）的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少计算量．

变式训练1　

（1）等比数列{an}前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．

（2）（2015·课标全国Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于（　　）

A．21B．42C．63D．84

答案　

（1）　

（2）B

解析　

（1）设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，

S1＝a1,2S2＝4a1,3S3＝9a1，S1,2S2,3S3不成等差数列；

当q≠1时，∵S1,2S2,3S3成等差数列，

∴4S2＝S1＋3S3，即4×＝a1＋3×，

即3q2－4q＋1＝0，∴q＝1（舍）或q＝.

（2）设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3（1＋q2＋q4）＝21，解得q2＝－3（舍去）或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42，故选B.

题型二　等差数列、等比数列的性质及应用

例2　

（1）（2015·广东）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________.

答案　

（1）10　

（2）28

解析　

（1）因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.

（2）由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，

所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，

由Sn＝，得S6＝，S3＝，

所以＝·＝28.

点评　等差（比）数列的性质盘点

类型

等差数列

等比数列

项的

性质

2ak＝am＋al（m，k，l∈N*，且m，k，l成等差数列）

a＝am·al（m，k，l∈N*，且m，k，l成等差数列）

am＋an＝ap＋aq（m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q）

am·an＝ap·aq（m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q）

和的

性质

当n为奇数时：

当n为偶数时：

＝q（公比）

依次每k项的和：

Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列

依次每k项的和：

Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等比数列（k不为偶数且公比q≠－1）

变式训练2　

（1）{an}为等差数列，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于（　　）

A．11B．17C．19D．21

（2）在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于（　　）

A．3或－1B．9或1

C．1D．9

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）∵Sn有最大值，∴d<0，

又<－1，∴a11<0

∴a10＋a11<0，S20＝10（a1＋a20）＝10（a10＋a11）<0，

S19＝19a10>0，∴S19为最小正值．

（2）设数列{an}的公比为q（q>0），依题意，a3＝3a1＋2a2，

∴a1q2＝3a1＋2a1q，整理得：

q2－2q－3＝0，

解得q＝3或q＝－1（舍），

∴＝＝q2＝9.

题型三　等差、等比数列的综合应用

例3　已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3（an＋2＋an）－10an＋1＝0（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设{bn＋an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.

解　

（1）∵3（an＋2＋an）－10an＋1＝0，

∴3（anq2＋an）－10anq＝0，

即3q2－10q＋3＝0，

∵公比q>1，∴q＝3.

又∵首项a1＝3，

∴数列{an}的通项公式为an＝3n.

（2）∵{bn＋an}是首项为1，公差为2的等差数列，

∴bn＋an＝1＋2（n－1），

即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1.

前n项和Sn＝－（1＋3＋32＋…＋3n－1）＋[1＋3＋…＋（2n－1）]＝－（3n－1）＋n2.

点评　

（1）对数列{an}，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定an、Sn.

（2）熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法．

变式训练3　（2015·北京）已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：

b6与数列{an}的第几项相等？

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d.

因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.

所以an＝4＋2（n－1）＝2n＋2（n＝1,2，…）．

（2）设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，

所以q＝2，b1＝4.

所以b6＝4×26－1＝128.

由128＝2n＋2，得n＝63，

所以b6与数列{an}的第63项相等．

高考题型精练

1．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于（　　）

A．2B．－2C.D．－

答案　D

解析　因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.

因为S1，S2，S4成等比数列，所以（2a1－1）2＝a1·（4a1－6）．解得a1＝－.

2．已知无穷等差数列{an}，前n项和Sn中，S6S8，则（　　）

A．在数列{an}中a7最大

B．在数列{an}中，a3或a4最大

C．前三项之和S3必与前10项之和S10相等

D．当n≥8时，an<0

答案　D

解析　由于S6S8，

所以S7－S6＝a7>0，S8－S7＝a8<0，

所以数列{an}是递减的等差数列，最大项为a1，

所以A，B均错，D正确．

S10－S3＝a4＋a5＋…＋a10＝7a7>0，

故C错误．

3．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为（　　）

A．125B．126

C．127D．128

答案　C

解析　设正项等比数列{an}的公比为q（q>0），且a1＝1，

由－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，

即2a1q＝a1q3－a1q2.

因为q>0，所以q2－q－2＝0.

解得q＝－1（舍）或q＝2.

则S7＝＝＝127.

4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

答案　D

解析　由等差数列的前n项和及等差中项，

可得＝

＝＝

＝＝

＝＝7＋（n∈N*），

故当n＝1,2,3,5,11时，为整数．

即正整数n的个数是5.

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a9＝24，则S9＝________；·的最大值为________.

答案　72　64

解析　设等差数列的公差为d，则a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝24，即a1＋4d＝8，所以S9＝9a1＋36d＝9×8＝72.＝＝a1＋d＝8－4d＋d，则＝8－4d＋d＝8－，＝8－4d＋d＝8＋，·＝（8－）（8＋）＝64－≤64，当且仅当d＝0时取等号，所以·的最大值为64.

6．已知等比数列{an}的首项a1＝4，公比为q，前n项积为Tn（n∈N*），若2am－1am＋1－am＝0，T2m－1＝，则m＝________，q＝________.

答案　4　

解析　∵{an}为等比数列，2am－1am＋1－am＝0，

∴2a－am＝0，又am≠0，∴am＝.

∵T2m－1＝a＝，∴（）2m－1＝（）7，

得2m－1＝7，∴m＝4.从而由a4＝4q3＝，得q＝.

7．（2016·江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

答案　20

解析　设等差数列{an}公差为d，由题意可得：

解得