最新对变换群的认识整合.docx

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最新对变换群的认识整合

对变换群的认识整合

对变换群的认识

1．引言

1.1问题的提出

1.2研究的现状

2.变换群的发展及利用

2.1变换群的诞生背景

对于变换群的诞生，是从群中经过运算所得到的。

对此，要讲变换群的诞生背景，首先来看看群的诞生背景。

群在现代数学以及科学中所具有的突出地位，是得对群的发明机制就行了解并作一些探讨是十分必要的。

这方面的工作具有重要的方法论意义。

为此,我们来讨论群的历史就显得更加重要。

群的最初萌芽就是伴随着猜测的提出与论证而生发出来的。

1771年，Lagrange向柏林科学院提交了“关于代数方程解法的思考”的长篇论文。

在这篇论文中，Lagrange得出了一种可以推出2、3、4次方程根式解的一般性方法。

对5次以下代数方程那些个人色彩弄好的解法做出了统一的解释。

在这里，Lagrange第一次发明了“排列”的理论，这实际上就是现代意义下“置换”的概念和方法。

Lagrange的工作是非凡的。

但是，当他用他的一般性方程推导5次方程的根式解时，遭到了失败。

这一失败“原因可能在于还存在尚未被认识的现象。

但5次以上代数方程根式解的存在值得怀疑。

也许它根本就不存在。

……真正有意义的是排列的理论，对它应当做更深入的研究”。

Lagrange试图否定5次以上代数方程一般根式解的存在性，这是一个经过深思熟虑之后做出的、具有相当科学性的猜测。

这一猜测虽然与正在研究的问题关系密切，但并不是从已有的数学事实中直接引申出来的，而是为揭示某种真理所存在的某种联系的思维中所做的想象。

由于他选择了一条特殊的思考路线，发现了表面上没有什么联系的问题之间所隐涵的关系并试图了解这类关系真正的、却又是隐蔽着的特性。

这一高超的见识，把置换的概念和方法一下子推到了代数研究的最前沿，在此后的六、七十年代中，潜心与论证Lagrange猜测的研究者们都是沿着这条途径开掘下去的。

Lagrange的猜测、论证和他独创的方法，成为群的概念的重要源泉。

在以后的研究者们又经过了对猜测的论证。

Ruffini于1798年写在一篇题为“方程的一般理论”的论文中，给出了“高于4次的代数方程不存在根式解法”的证明。

在这些证明中Ruffini主要是继承运用了Lagrange的置换的方法，并有所发展。

关于置换理论的若干基本概念已在他的工作中出现，尤其是可迁群和非可迁群的概念，他已经辨识清楚了。

但是Ruffini的证明本身是有缺陷的，在他的证明中有这样的结论：

根式解中的根式都可表为已知方程根的有理函数。

然而这正是在Ruffini的结论中需加以证明的一个核心命题。

到1824年，Abel成功的证明了这个问题。

并在此基础上详细论证了“5次代数方程不存在根式解”，使得Lagrange的猜测得到确认。

随着Lagrange猜测的提出和Abel对这一猜测所做的论证，代数学的研究不断深入，置换由一种潜在的作用逐渐发展为代数学研究的主题。

群的萌芽不断生长，群的概念由朦胧而变得逐渐清晰，即将作为高次代数方程根式解问题所基于的基本结构进入数学领域。

到1831年,Galois提出了现代意义下群的概念。

并第一次使用了群这一术语，他用方程根的某种置换群的结构,描述了用根式构造代数方程根式解的一般原理。

给出了高次代数方程根式解问题充分圆满的答案。

特别地，Galois在他的工作中提出了许多群论中最基本的概念，像子群，正规子群、单群等等。

为建立现代数学以致于建立整个现代数学做出了划时代的贡献。

Galois发明群就是运用了直觉归纳的方法，他的头脑始终保持着一种开放性，在思想的自由驰骋中，Galois绕开前辈已经走过的路，寻求和探索先前尚未被发现的蹊径。

在以往的研究中已经发现，通过系数表出方程根的问题，不仅要研究对称的表达式，还要研究不对称的表达式，对这类表达式的研究意义更为深刻。

Galois通过发明群，把代数学引进了一个新领域。

但当时的群概念尚处在粗糙和原始的状态，也没有关于“结合性”、“可消去性（逆元）”的具体刻画。

群要获得一般性的形式，还必须补充论据和进行完整的逻辑加工与整理。

对于Galois的群，最有意义的是置换可以“合成”。

而在其它领域内，不是置换的元素也能进行同置换的合成一样的运算并满足相似的性质。

Cayley最先注意到它们之间这种在运算上的共性。

1854年，他把“合成”抽象为一种一般的函数符号，使之脱离诸如“置换的合成”的这样的具体状态,成为一个一般化的概念。

Cagleg所定义的这个“合成”是满足结合性不满足交换性的。

这在通往一般抽象群的方向上跨出了第一步。

随着对抽象群概念认识过程的步步深入，Dick和Weber于1884年确立了现代意义下群的公理系统。

从Galios最初发明群，到现代意义下群的公理系统的产生，是一个逐渐强化的抽象过程。

首先是把“合成”从各具体对象，如置换，几何手段，旋转，数的运算中分离出来。

然后，通过对“合成”最初观察到的现实性的某些层次做出一定程度的舍弃，提炼出“合成”的若干基本性质：

结合性、可消去性等等。

最后用精心洗炼过的语言做出简单和优美的表述。

群作为现代数学最基本的结构，最后是在纯粹的思维领域内用抽象化方法得到的。

群的发明，基本上经历了猜测的提出与论证，直觉归纳，抽象化等几个环节，它伴随着对代数方程根式解间题延绵不断的探讨而逐渐蕴育生成。

当Galois从根本上结束对古典代数方程式论的研究时,群也随之诞生。

今天的群已经成为二十世纪数学发展的主题了，对群论的形成和发展完善作进一步方法论意义下的探讨，将具有更大的意义。

对于群的历史的了解，有利于对变换群的了解。

变换群只不过是群更加具体的一种运算形式而已。

2.2变换群至今的发展历程

本次针对变换群的发展历程的研究，在专业研究文献和相关历史研究文献的基础上，以变换群的概念演变和理论发展作为主线，以时间作为轴线，对变换群的初始形成以及发展和系统化等方面进行了研究和分析，从而勾勒出变换群至今发展的历史脉络，主要研究结果如下：

首先，变换群是现代数学中的重要概念之一，它的产生与发展，是现代数学抽象概念发展的一个缩影．根据群概念的历史，认为其思想的演变与发展，经历了置换观念的产生、抽象基础的确立、抽象定义的形成、数学结构的构建4个阶段，并对现代数学发展具有极大的推动作用。

而变换群的概念就是在这样的基础之上慢慢演变形成的，它的发展依赖于群的概念以及解决数学世界中的现实问题的需要。

2.2.1.变换群概念的初始形成时期：

非欧几何与群概念的诞生，是19世纪乃至整个数学史上重要的大事，它使人们重新认识了数学与客观世界的关系，发现自欧几里得以来长期被认可的空间观念与算术理论，并非物质世界的惟一描述，现实世界的数学描述可以是丰富多彩的；此外，还认识到数学发展的动力并不惟一来自自然界，数学可以从自身获得发展动力．这对19世纪的人来说，确实是一个从未有过的革命性观念转变，从对数学本质的理解上说，数学概念与物质世界关系形式上的分离，在某种意义上是近两个世纪数学蓬勃发展的必要前提．这种“分离”，使数学家获得了“自由”．从而使数学步入一个“自由”创造时期．而这促使19世纪出现了非欧几何、群以及变换群等全新的数学概念．

2.2.2变换群思想的演变与发展时期：

随后出现的各种稀奇古怪的数学“自由”创造物，迫使人们认识到数学“人为性”的一面，并直接冲击着人们固有的空间观、数量观，以及整个数学观．越来越多脱离直观、远离现实的“任意”对象的出现，也不断引起数学家的担心：

数学源泉是否会因此干枯，滥用“自由”是否会使数学学科走向死亡．但数学自由创造、形式化、抽象化的趋势，并未因为这种担心而受到遏制，相反，以更快的速度朝着自己应有的发展方向，走向新的未来．变换群的概念也随着这样的思想慢慢发生转变，并且得到了一定得发展，而数学由此进入现代发展时期．

2.2.3变换群的研究方法以及现今的定义：

任何一个重要的数学概念与方法的产生，都不会是某个数学家一时突然的发明，总会有一定的历史背景与相应的知识积累，往往都是许多数学家经过几十年、甚至成百上千年的努力，才逐步提炼发展而成．变换群，就概念的提出归功于伽罗瓦（Galois，1811—1832，法国），但其思想的产生与发展，与其他重要数学概念一样，历经了曲折与艰难，更由于其思想的超前而不能被当时数学家所认识．因此，考察变换群概念发展的历史，认识变换群的研究方法在数学发展中的作用，具有一定现实意义．

对于变换群，凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道变换群的重要性：

2.2.3.1集合A的变换和表示形式、变换群的定义

1.集合的变换和表示形式

定义1设是一个非空集合，若是到的任一子映射那就称是的一个变换（注：

这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若，现将改写为.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：

如果都是的变换，那么也显然是的变换，并且这时要注意：

应该是（而过去是写成：

在合成的表示形式上，要习惯这种改变.

例1．设｛１，２｝．现取出的几个变换

　　　（即　）

　　　（即　）

　　　（即　）

　　　（即　）

可以看出．是的全部变换．其中和是双射．并且是恒等变换．习惯上记　　（或　）

利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）

：

２；２２．　

即　

这表明　　·同理知．利用是恒等变换．则　（．这是因为

　　并且又有

．

定义２．设是一个非空集合，而是的恒等映射，那么，对的任一个变换，都有　

2.变换群的定义

设是一个非空集合，而的一些变换能否形成一个群呢？

就以例1做比方。

令：

为的全部变换组成的集合。

对于映射通常的乘积，能成为群吗？

能容易知道，肯定是一个motroid,那么“逆元”问题能解决吗？

事实上，就没有逆元.因为如果有逆元.那么必有且.但我们会发现：

而

这说明即不能成为群。

（同理可知，也没有逆元）

上面的所以不能成为群，主要是和不是双射（它们没有逆元）因此，我们有

定理1设是的一些变换作成的集合，并且，若能成为群.那么只能包含的双射。

定理2设为非空集合，由的全部一一变换（双射）必定能够构成的一个变换群.

2.2.3.2变换群的研究方法--凯莱定理

凯莱定理：

任何一个群都能同某个变换群同构.

【证明】设是任意一个群,，利用,我们规定的一个变换,其中,这种变换是一个一一变换,事实上:

那么

是满射.

若且

是单射.

综合上述知.我们得到由中元素确定的的变换集合

其中每个这种变换都为一一变换.

其次作,其中现须证是同构映射.

是满射:

则，是的原象是满射.

是单射:

如果

那么有，由消去律知

是单射

保运算:

由于.我们有:

这说明保运算

于是知，而是群必是群.

2.3变换群与其他学科的联系

在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。

群在抽象代数中具有基本的重要地位：

许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。

群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。

群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。

于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用关于变换群与其他学科的联系，但是尽管如此，我也只能简单的从以下方面浅谈一下，对于变换群我们都知道的甚少，但是经过我们对变换群长期的收集资料以及其他同学的帮助，这才使得我们有了一些简单的收获，现在我将一一对变换群在其他学科中的应用或联系作一下汇报：

2.3.1变换群与数学

在数学中变换群起到了至关重要的角色，在很多数学问题中都有应用到变换群的知识，就比如说随处都可见黎景辉于1990年2月在北京大学出版社出行的《二阶矩阵群的表示与自首形式》。

在