高考文科理科数学试题函数与导数大题Word文档下载推荐.docx
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xex
x1ex
2kx
xex2kxxex
2k,
令fx
0,得x
10,x2
ln
令gk
ln2k
k,则g
k
11k
-10
kk
所以gk在-,1上递
2
增，
所以g
kln2
1ln2
lne
0,从而ln2k
k,所以ln2k0,k
所以当
x0,ln
2k时，
0;
当xln
2k,时，fx0;
所以M
maxf
0,fk
max1,k1ek
k3
令hk
k1ek
k31,则h
kkek3k,
令k
ek3k,
则k
ke
3e30
所以
k在1,1上递减，而
11
e-e30
所以存在x0-,1
使得x0
0,且当k
—,x0时，k0,
当k
x0,1时,
k0,所以
八0上单调递增,在x0,1上
单调递减.
因为h
11"
70,h1
0,所以h
k0在-,1上恒成立，当
2282
且仅当k1时取得“”.
综上，函数fx在0,k上的最大值Mk1ekk3.
4.（本小题满分14分）（2013广东文）
设函数f（x）x3kx2xkR.
（1）当k1时,求函数f（x）的单调区间；
⑵当k0时，求函数f（x）在k,k上的最小值m和最大值M.
【解析】：
f'
x3x22kx1
（1）当k1时f'
x3x22x1,41280
fx0,fx在R上单调递增.
_2k
（2）当k。
时，fx
过01
3x22kx1,其开口向上，对称轴x-,且
3
（i）当4k2124kJ3k西0,即
拒k0时，f'
x0,fx在k,k上单调递
从而当xk时，fx取得最小值mfkk,当xk时，fx取得最大值
Mfkk3k3k2k3k.
ii
4k2124k、.3k.30
即k彩时，令
3x22kX10
解得:
Xi
k.k23
3,x2
（注：
可用韦达定理判断
k如3,注意到
1
3，
X1x2
X2
x〔0
2k
~3
或者由对称结合图像判断
maXf
f
fkx；
kx2x1
X1
的最小值m
5.（2013大纲版.文）（12分）已知函数f（X）
综上所述，当k
0时，
fX的最小值mf
k,最大值
M
fk
2k3k
解法2
（2）
当k0时，对x
k,k,都有
f（x）
f（k）
x3kx2
33
xkk
k（x21）（xk）0,故
fX
f（k）
xk3k3
k（xk）（x22kx2k2
1）
（xk）[（xk）2
故f
xf
k,而
f（k）k
0,f（k）2k3k0
f（x）maxf（k）
2kk,
f（X）minf（k）k
f
X
2k3
X33aX23x1
k21]0
⑴求当a^2时，讨论f（x）的单调性;
⑴若x[2,）时，f（X）0,求a的取值范围.
（1）求当a42时，f（x）x33ax23xf（x）3x26>
/2x3,令f（x）0
当x（J21）时，f（x）0,f（x）单调递增，
当x（&
1J21）时，f（x）0,f（x）单调递减，
当x咸1,）时，f（x）0,f（x）单调递增；
⑵由f
（2）0,可解得a5,当a5,x（2,）时，44
9951
f（x）3（x22ax1）3（x2-x1）3（x-）（x2）0
所以函数f（x）在（2,）单调递增，于是当x[2,）时，
f（x）f
（2）0
综上可得，a的取值范围是[°
）.4
6.（13分）（2013?
福建）已知函数f（x）xalnx（aR）
（1）当a2时，求曲线yf（x）在点A（1,f
（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值.
函数f（x）的定义域为（0,）,f（x）1a
（1）当a2时，f（x）x2lnx,f（x）1-,
因而f
（1）1,f
（1）1,
所以曲线yf（x）在点A（1,f
（1））处的切线方程为xy20
（2）由f（x）1旦N（x0）知：
1当a0时，f（x）0,函数f（x）为（0,）上的增函数，函数f（x）无极值；
2当a。
时，由f（x）0,解得xa
又当x（0,a）时，f（x）0,当x（a,）时，f（x）0.
从而函数f（x）在xa处取得极小值，且极小值为f（a）aalna,无极
大值.
综上，当a0时，函数f（x）无极值；
当a0时，函数f（x）在xa处取得极小值f（a）aalna,无极大值.
7.（14分）（2013?
福建）已知函数f（x）x1M（aR）,（e为白然对e
数的底数）
⑴若曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
⑵求函数f（x）的极值；
⑶当a1时，若直线l：
ykx1与曲线yf（x）没有公共点，求k的最
（1）由f（x）x1?
，得f（x）1ex，又曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线平行于x轴，f
（1）01-0ae
e
⑵f（x）1e
1当a0时，f（x）0,函数f（x）为（，）上的增函数，函数f（x）无极值；
2当a0时，由f（x）0,解得xlna
又当x（,lna）时，f（x）0,当x（lna,）时，f（x）0.
f（x）在（,lna）上单调递减，在（lna,）上单调递增，
从而函数f（x）在xlna处取得极小值，且极小值为f（lna）lna,无极
综上，当a。
时，函数f（x）无极值；
当a0时，函数f（x）在x
lna处取得极小值f（lna）Ina,无极大值.
⑶当a1时，f（x）x
则直线l:
ykx1与曲线
1人
令g（x）f（x）（kx1）（1e
f（x）没有公共点，等价于方程
.、1
k）x—
g（x）0在R
上没有实数解.
假设k1,此时g（0）1
c11
0,g*）1—,
k1饥
ek1
0在R上至少
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）
有一解，与“方程g（x）0在R上没有实数解”矛盾，故
又k1时，g（x）[0,知方程g（x）0在R上没有实数解，所以
8.（13分）
（2013?
安徽）设函数
n
L%（xR,nN*）,证明:
fn（x）
23
1x——
冬（xR*,nN*）,可得
f（x）
f1⑴
0,fn
（1）
n1
3L朱
11I
L
2232L
0,故函数f（x）在（0,）上是增函数.求得
fn（t）
（|）2
（2）3
[33
2232
（|n
（*1（纣1]
据广0
1（3）,（3）]
347~2
Xn
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的
fn（Xn）0.
（2）对于任意
PN*,由
（1）中Xn构成数列
Xn1
-―"
Ifn（X）,fn1（Xn）Lg）
（n1）
由fn1（x）在（0,
）上单调递增，可得XmXn
故数列Xn
为递减数列，即对任意的n,pN*,Xn
由于fn（Xn）
1Xn
32一
fnp（Xnp）
1Xnp
（Xn）2（Xn）2~5~L
（Xnp）2
（Xnp）3
（Xn）n
（Xnp）n
（Xnp）'
（n1）2
n2
（Xnp）
（n2）2
L（Xn
nPP）
（nP）2
用①减去②并移项,
利用
0Xnp1,可得
XnXnp
n（Xnp）k（Xn）k
nP（Xnp）k
P（Xnp）k
1k2
nP1
kn1k2
np1
kn1k（k1）
综上可得，对于任意
由
（1）中Xn构成数列
X,
满足
0Xn
Xnp
9.（本小题满分14分）（2013陕西.理）已知函数f（X）eX,XR.
（l）若直线ykx1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值；
（丑）设x0,讨论曲线yf（x）与曲线ymx2（m0）公共点的个
数.
（m）设ab,比较f（a）f（b）与f（b）f（a）的大小,并说明理由.
2ba
（I）f（x）的反函数g（x）Inx.设直线ykx1与g（x）Inx相
kx01lnx0
切与点P（x°
y°
）,则1x°
e2,ke2。
所以ke2
kg'
（x°
）
x。
（H）当x0,m0时，曲线yf（x）与曲线ymx2（m0）的公共点个
数即方程f（x）mx2根的个数。
x,
h'
（x）匀提
（h
（2）,）,h（x）在（2,）上单调
由f（x）mx2m&
令h（x）土
则h（x）在（0,2）上单调递减，这时h（x）
递增,这时h（x）（h
（2）,）,h
（2）—.
4
h
（2）是yh（x）的极小值即最小值.
22
当m（0,—）时，有0个公共点；
当m—,有1个公共点；
44
当m（-,）有2个公共点；
（m）设f（a）f（b）f（b）f（a）（ba2）f（a）（ba2）f（b）
2ba2（ba）
（ba2）ea（ba2）eb（ba2）（ba2）ebaa
e
2（ba）2（ba）
令g（x）x2（x2）ex,x0,,则g'
（x）1（1x2）ex1（x1）ex
g（x）的导函数g'
'
（x）（1x1）exxex0,
所以g（x）在（0,）上单调递增，
且g（0）0,因此g（x）0,g（x）在（0,）上单调递增，而g（0）0
所以在（0,）上g（x）0。
因为当x。
时，g（x）x2（x2）ex0且abba
（ba2）（ba2）e02（ba）
所以当ab时,f（a）f（b）f（b）f（a）2ba
10.（本小题满分14分）（2013陕西.文）
已知函数f（x）ex,xR.
（I）求f（x）的反函数的图象上图象上点（1,0）处的切线方程；
（H）证明：
曲线yf（x）与曲线y-2x2x1有唯一公共点.
（m）设ab,比较fJ与f（b）f（a）的大/J、，并说明理由.2ba
解（I）yx1.
（II）证明曲线yf（x）与曲线y；
x2x1有唯一公共点，过程如
F人19v19
下。
令h（x）f（x）-xx1e-xx1,xR,贝U
（x）exx1,h'
（x）的导数h'
（x）ex1,且
h（0）0,h'
（0）0,,h”（0）0因此，
当x0时，h'
（x）0yh'
（x）单调递减；
（x）单调递增.
yh'
（x）h'
（0）0,所以yh（x）在日上单调递增，最多有一个零点
x0
所以，曲线yf（x）与曲线y1x2x1只有唯一公共点（0,1）.（证毕）
2ba2（ba）
2（ba）2（ba）
令g（x）x2（x2）ex,x0,
则g'
g（x）的导函数g'
时，g（x）x2（x2）ex0且ab
（ba2）（ba2）ebaan
e0
2（ba）
所以当a<
b时,典迪耍箜）
设n为正整数，r为正有理数.
r1.r2
nn1
n
r1
（川）设xRj为不小于x的最小整数，例如2=2,=4,|=-1.
令S洒瑚瞬g,求[S]的值。
4444
（参考数据：
803344.7,8173350.5,124^618.3,12673631.7.）
解.
（1）因为f（x）（r1）（1x）r（r1）（r1）[（1x）r1],令f（x）0解得
当1x。
时，f（x）0,所以f（x）在（1,0）内是减函数
当x0时，f（x）0,所以f（x）在（0,）内是增函数
故函数f（x）在x0处取得最小值f（0）0
（2）由
（1）,当x（1,）时，有f（x）f（0）0
即（1x）r11（r1）x且等号当且仅当x。
时成立.
故当x（1,）且x0时，有（1x）r11（r1）x①
在①中，令x1,（这时x（1,）且x0）得（1^）r11%上式两边同乘nr1得（n1）r1nr1n「（r1）
r1r1
即术（n1）1n..②
当n1时，在①中，令x1,（这时x（1,）且x0）,类似可得
r1r1rn（n1）n
且当n1时，③式也成立r1r2r1r1
综合②③得一nrA―L；
④
（3）在④中,令r1,n分别取81,82,83,…,125，得3
4444
3（813803）3813（823813）,
44
823）
833）
444
3（823813）3823（833
3（833823）3833（843
c4444
33
（12531243）3125（12631253）
44
将以上各式相加，并整理得
-4444
（1253803）S（1263813）
由［S］的定义，得［S］211.
12.（本小题满分13分）（2013湖北.文）
设a0,b0,已知函数f（x）眨上x1
（I）当ab时，讨论函数f（x）的单调性;
（H）当x0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数.
（i）判断f
（1）,f（Jb）,f（b）是否成等比数歹!
J,并证明f（?
）f（
b的调和平均数，记
（ii）a、b的几何平均数记为G.称-2ab为a、ab
（I）函数的定义域为
土所以
（x1）2
为H.若Hf（x）G,求x的取值范围.
>
1/
当ab。
时，f（x）0,函数f（x）在（，1）,（1,）上单调递增;
当0ab时，f（x）0,函数f（x）在（，1）,（1,）上单调递减.
（II）（i）计算得f
（1）口，f（Jb）面,f（当竺
2aaab
Q（石b）2立地f
（1）,f（f）,f（b）成等比数列，
2abaa
2ab人，/bb、
Qa0，b0,.abf（）f）
aba'
.a
（ii）由（i）知f（i）"
f&
光
故由Hf（x）G,得f（-）f（x）f⑴.
a
当ab0时，函数f（x）在（0,）上单调递增.这时上x1，即x的取a
值范围为bx1;
a
当0ab时，函数f（x）在（0,）上单调递减.所以x的取值范围为
13.（2013江苏卷）（本小题满分16分）
设函数fxlnxax,gxexax,其中a为实数.
（1）若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，
求a的范围；
（2）若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证
明你的结论.
（1）f（x）'
x1a,g（x）'
exa
由题意：
f（x）'
0对x1,恒成立
即ax1对x1,恒成立a1
Qgx在1,上有最小值
a0时，g（x）0恒成立，g（x）在1,无最值
a0时，由题意lna1,ae
综上：
a的范围是：
ae
（2）Qgx在1,上是单调增函数
g（x）'
即aex对x1,恒成立ae1
令f（x）0,则a—
则有f（x）的零点个数即为ya与y炬图像交点的个数x
令h（x）Mx0则h（x）'
易知h（x）在0,e上单调递增，在e,上单调递减
在xe时取到最大值h（e）10e
当x0时，h（x）¥
当x时，h（x）乎0
h（x）图像如下
所以由图可知：
a0时，f（x）有1个零点
0a：
时，f（x）有2个零点a:
时，f（x）有1个零点综上所述：
a0或a1时，f（x）有1个零点
0ae时，f（x）有2个零点
14（本小题满分13分）（2013湖南.理）
（1）记f（x）在区间［0,4］上的最大值为g（a），求g（a）的表达式
（2）是否存在a,使函数yf（x）在区间（0,4）内的图象上存在两点,
在该两点处的切线互相垂直？
若村子啊，求出a的取值范围,
若不存在，请说明理由
解
（1）当0xa时，f（x）史兰；
当xa时，f（x）,因此,x2ax2a
当x（0,a）时，f'
（x）—生0,f（x）在（0,a）上单调递减；
（x2a）2
当x（a,）时，f'
（x）0'
f（x）在（a,）上单调递增;
1若a4，则f（x）在（0,4）上单调递减，g（a）f（0）-
若0a4,贝Uf（x）在（0,a）上单调递减，在（a,4）上单调递增。
即一J
（x12a）2（x22a）
3a21亦即x12a
3a
x22a
*）
由Xi（0,a）,X2（a,4）得x〔2a（2a,3a）,—3?
—（3a,1）x22a42a
故（*）成立等价于集合A（x|2ax3a｝与集合B｛x|-^x1｝的42a
交集非空.
因为3a，所以当且仅当02a1,即0a:
时，AIB
综上所述，存在a使函数f（x）在区间（0,4）内的图像上存在两点，在该
两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是（0,1）
15.（13分）（2013?
湖南.文）已知函数f（x）
（I）求f（x）的单调区间;
当f（x〔）f（x2）（x〔x2）时，x〔x20.
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