抛物线及其实用标准方程教案设计理科.docx
《抛物线及其实用标准方程教案设计理科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线及其实用标准方程教案设计理科.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
抛物线及其实用标准方程教案设计理科
抛物线及其标准方程教案（理科）
适用学科
高中数学
适用年级
高中二年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
60
知识点
抛物线的定义、抛物线的标准方程及相关运算
教学目标
1．理解抛物线定义及其限制条件；理解抛物线标准方程的推导；理解抛物线标准方程中p的意义；
2．掌握抛物线定义；掌握求抛物线标准方程的方法；
3．培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．
教学重点
抛物线的定义、抛物线的标准方程、坐标化的基本思想
教学难点
抛物线标准方程的推导与化简，坐标法的应用
教学过程
一、课堂导入
在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：
（1），
（2）的图象（如下图）：
那么，什么样的曲线是抛物线，它具有怎样的几何特征？
它的方程是什么呢？
这就是我们今天要研究的内容。
二、复习预习
我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？
把一根直尺固定在图板上直线l的位置（如下图）．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
从图中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线．
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
三、知识讲解
抛物线的标准方程及准线方程
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如下图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．
设，那么焦点F的坐标为，准线方程是.设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是集合P={M||MF|=d}．
.
将上式两边平方并化简，得①
方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是，它的准线方程是.
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：
，，．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
对表格的说明：
方便学生掌握（统观四种情况）
（1）表示焦点F到准线的距离；
（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。
若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）
（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向）
四、例题精析
例1
（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.
【规范解答】解：
（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为
（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为．
【总结与反思】
（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出p的值得到焦点坐标和准线方程。
（2）先判定出焦点在y轴上，从而得到一次项为y，再求出p的值进而写出方程.
例2指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）
（2）
【规范解答】解:
（1），∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
（2）原抛物线方程为：
，
①当时，，抛物线开口向右，
∴焦点坐标是，准线方程是：
．
②当时，，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是，准线方程是：
．
综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：
．
【总结与反思】
（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
例3若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．
【规范解答】解法一：
设、，则由：
可得：
．
∵直线与抛物线相交，且，则．
∵AB中点横坐标为：
，解得：
或（舍去）．
故所求直线方程为：
．
解法二：
设、，则有．
两式作差解：
，即．
，
故或（舍去）．则所求直线方程为：
．
【总结与反思】由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k．
例4求证：
以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．
【规范解答】
证明：
（如下图）作于于．M为AB中点，作于，
则由抛物线的定义可知：
在直角梯形中：
，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
【反思与总结】类似有：
以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．可设抛物线方程为．只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切．
五、课堂运用
【基础】
1、（如图）过抛物线的焦点作弦，为准线，过、作的垂线，垂足分别为、，
则①为（ ），②为（ ）．
A．大于等于 B．小于等于 C．等于 D.不确定
【答案】C、B
【规范解答】解：
①点在抛物线上，由抛物线定义，则，
又轴．
∴，同理，
而，∴，
∴．选C．
②过中点作，垂中为，
则．
∴以为直径的圆与直线相切，切点为．
又在圆的外部，∴．
特别地，当轴时，与重合，．即，选B．
2、
已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，
点的坐标为__________．
【答案】
【规范解答】解：
如图，
由定义知，故．
取等号时，、、三点共线，∴点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以点坐标为．
3、已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．
【规范解答】
证明：
如图所示，连结PA、PN、NB．由已知条件可知：
PB垂直平分NA，且B关于AN的对称点为P．
∴AN也垂直平分PB．则四边形PABN为菱形．即有．
则P点符合抛物线上点的条件：
到定点A的距离与到定直线的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线．
4、若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：
．
【规范解答】
证明一：
，若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时，
则有,．
若线段所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：
，且设．
由得：
①
②
根据抛物线定义有：
则
请将①②代入并化简得：
证明二：
如图所示，设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、，且不妨设，又设点在、上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，
又∽，
即
故原命题成立．
【巩固】
1、设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：
焦点弦长为．
【规范解答】
证明一：
抛物线的焦点为，过焦点的弦AB所在的直线方程为：
由方程组消去y得：
设，则又
即
证明二：
如图所示，分别作、垂直于准线l．由抛物线定义有：
于是可得出：
故原命题成立．
2、定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
【规范解答】
解：
如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故，
，．所以，此时到轴的距离的最小值为．
【拔高】
1、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求的最小值．
【规范解答】
解：
（1）若，此时．
（2）若，因有两交点，所以．
，即．
代入抛物线方程，有．
故，
．
故．
所以．因，所以这里不能取“=”．
综合
（1）
（2），当时，．
2、已知圆锥曲线C经过定点，它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为，过焦点F任意作曲线C的弦AB，若弦AB的长度不超过8，且直线AB与椭圆相交于不同的两点，求：
（1）AB的倾斜角的取值范围．
（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程．
【规范解答】解：
（1）由已知得．故P到的距离，从而
∴曲线C是抛物线，其方程为．
设直线AB的斜率为k，若k不存在，则直线AB与无交点．
∴k存在．设AB的方程为，由可得：
设A、B坐标分别为、，则：
∵弦AB的长度不超过8，即
由得：
∵AB与椭圆相交于不同的两点，，
由和可得：
或.故或
又，∴所求的取值范围是：
或
（2）设CD中点、、
由得：
则即．
化简得：
∴所求轨迹方程为：
课程小结
1、抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
2、四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：
升级会员 