张宇考研高数冲刺班讲义Word文档下载推荐.docx
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n耳0、2
[注]（真题）
（I）比较°
lnt[ln（1t）]ndt与°
|lnttndt的大小（II）求1戸；
lnt[In（1t）]ndt
例3：
（8套卷）（|）证明积分中值定理
（II）求I=lim
x
25
arctannxdx
1、重点不回避
2、边角知识要考到
3、计算量大
、数列极限
夹逼准则
定积分定义
06年数一（15）
单调有界准则12年数二（21）
8套卷
级数求和
例（i）证明x
13
6
n
sinx,x（0,—）
2
（1
）sin
分析（i）
令f（x）
sinx
则f'
（x）
cosx
f'
'
（x）sinxf'
（x）单增f（x）单增
3
12
（x）f'
（0）0
f（x）f（0）0
£
）（in
n2
lim
n）
3j3
）sinn
o（1
丄）丄丄
nnn
x）xdx
3i3
n>
6n6
1n
6n^i1（1
.3i
limn6
i3
00（1
x）x3dx
L）（in
3.3
6n6）
-）sin冷5nn26
三、一元函数微分学
导数定义高阶导数函数状态
【例1】设f（x）在xo处可导,
n,n都是收敛于0的正项数列，求
lim血
n）f（X。
n）
【分析】“先造函数，再取极限”
已知f'
（Xo）
limno
f（Xo
n）f（Xo）
f（Xo）
（Xo）0
（1）
（Xo）n0（
n）（1式）
同理，
no
n）（2式）
（1）
（2）
n）f'
（Xo）（n
n）o（n）o（n）
n）n）qn）
nn
0（n）0（n）||0（n
）|
|0（n）|
|0（
n）1n
o
If'
【例2】设y，求y（n）（o）3x5
【分析】
（i）y
y（n）（0）Xn
✓vn!
1（|x）
5
八n3nn
1）nx
/八n3nn
（1）百X
n05
⑶由唯一性
3n
y（n）（o）
（1）n皐n!
[例3】设yx2sinx，求y（n）（x）
【分析】莱氏公式：
（n）k（k）（nk）
（uv）Cnuv
k0
（sinkx）⑺knsin（kx—n）
（n）/2（n）
詈2（"
-（n1））n（n1）sin（x-（n2））
y（xsinx）
2.（n）（n1）
xsinxn2x（sinx）
xsin（x$n）n2xsin（x
[xn（n1）]sin（xn）2nxcos（xn）,n2,3,…
22
四、中值定理
好就未考：
柯西
常规题：
“折腾区间”
【例1】
（8套卷）
1xy
设yx0，证明：
1xy11
xyee
yx
xeye,
xy
ey/y
ex/x,
i
y
令f（u）
ue
g（u）
u
在［x,y］上用柯西
11yx令h（u）eu则h'
（u）euh（u）单减
u,
【例2】
（i）
ee,xy
1y
T
u（x,y）
e0
h（u）h（0）1
设f（x）在［a,b］非负连续且不恒为0,证明:
b
f（x）dx0
（ii）是否存在［0,2］上的可导函数
f（x），满足
f（0）
1,f
（2）1,|f'
（x）|
1,
0f（x）dx1，说明理由。
设X。
又lim
xx0
[a,b],使侬）0f（x）
f（xo）0
f（x。
）x°
（Xo
X°
）,f（x）
进一步，
f（x）dx
a
0,使f（x）
x0
dx
（ii）问法新颖，沉着应对
（1）
x（0,1],对f（x）在[0,x]上用拉式定理f（x）f（0）f'
（1）x
1xf（x）f'
（1）x11x
⑵
[1,2）,对f（x）在[x,2]上用拉式定理f（x）f'
（2）（2x）f（x）1
f
（2）
x1
于是，
0（1x）dx
11彳
f'
（2）（2x）3
（x
1\
f（x）dx
1）dxof（x）dx
不存在满足题意的f（x）
1f（x）dx
0（1x）dx1
（3x）dx
五、一元函数积分学（重在计算）
基本法：
凑微分法、换元、分部、有理函数积分法
用性质：
奇偶性、周期性、绝对值函数
特殊通法：
区间再现法、I1+I2,II」2
f（abx）dx
如：
（i）证明f（x）dx
（ii）求I04ln（1tanx）dx
xabtaf（abt）dt
f（a
x）dx
（ii）
I°
4ln（1tanx）dx
4
t04ln（1tan（x））dx
石n（1
1tanx、，
）dx
1tanx
。
张2
ln（1tanx）]dx
—ln2041n（1tanx）dx
I-ln2II—In2
48
【例1】求x|sinx|dx,n为正整数
ni
Ix|sinx|dx
（i1）
i1'
丿
tx（i1）Jt（i1）]sintdt
i1
（
otsintdt
（i
1）
osintdt）
2）
2（0
（n
1））
n2n
（i）证明：
x2、
（ii）计算1
x2
（o
exdx）
ydy
e（x2
y2）d
o2d
rdr
r2
|0
e"
212（x-）
o2xd（
乞「。
2x（x21）
e1|02x（x22）
|o
12x2
J
2（x2
e2x
2|0
2x1
六、微分方程
¥
）10
2edx
以方程为载体考综合体
、丄皆按类求解，对号入座计算
超纲类型+附加条件
【例11设q（x）0，证明y'
dC）
x2/21、
e（x丿
2——2dx
exdx
x2xdx
q（x）y0的任意非零解至多有一个零点。
设方程的任意非零解为y（x）0,其至少有2个零点,记为％,x2,不妨x,
x（x,,X2）,y（x）
y'
（xi）,y'
（x2）已知
（x1）Vlim必^-
xx,
x2,且相邻
y（xj
0xx1y'
（x2）Vlimy（x）y（x2）0
_x卷xx2
对y'
（x）在［x1,x2］上用拉式定理
（）y'
（X2）y'
（xi）0,（xi,x2）
X2Xj
但，y'
（）q（）y（）0y'
（）0矛盾
故y（x）至多一个零点。
【例2】设yy'
q（x）y0有两个互为倒数的特解，求该方程的通
解。
（i）简单情形：
若yi（x）a（0）常数，y2-代入原方程
q（x）a0q（x）0
y'
0
试用yx（i）x2x22
取yx2
故y通CiaC?
x,（a0,Ci,C2）
（2）一般情形:
若y-i（x）不恒为常数，则记y1,y2—代入原方程
yi
yi'
2（yi'
）
iyi'
xyi
（yi'
）2
2—0
（yi
■）2yi'
-yi'
qyix
q
iqyi
VzAVxBVy
.'
（Vx）2（Vy）2
y1'
1%'
（旦）’-（旦）0
取也2x
再取y1
ex,则y2
x2e
y通
GexC?
x,（
Ci,C2）
七、多元函数微分学
概念（可微、连续、偏导数）
计算
应用一多元函数极值、最值
（a、Jx|x2
y2b）Sin（xy4）,（x,y）（0,0）
在点（0,0）处
（x,y）
（0,0）
【例】设f（x,y）
可微，
（i）求常数a，b
（ii）求f'
xy（0，O），f"
yx（0,0）
连续:
limf（0
Vx0'
Vx,0
Vy）
f（0,0）0
Vy0
即V!
m0a|Vx|
（Vx）2
（Vy）2
sin（Vx（Vy））b]24
（Vx）2（Vy）4
取Vx（Vy）2
JipLa|Vy|
（Vy）4
b]sin（Vy440
2（Vy）
b10b
0；
可微：
可微连续
Vx0
y（0,0）0
ih（Vx；
：
Vy）0
a0;
八、二重积分（重在计算）
（xy）n
x
在点（0,0）处连续的正整数
n。
（ii）对上述n,计算In
fn（x,y）d,D:
当（x,y）
fi（x,y）
f2（x,y）
（0,0）时，
xy（
xlim2
（x巧同阶）y
竺2
2x2
、【/
不存在，不连续；
lim0
Vx02x2
不存在，不连续;
当n3寸,fn（x,y）
其中Z|
故limfn（x,y）
3,4,5,...
x22xyy2
Vx
Vy
In
D
45d
（xy）nd
d
1rn（cos
D：
2"
（cos
・n/
sin（
（xy）/、n2
（xy）
2|xy|2
22Z
I
fn（0,0）
sin
~2
r
sin）nd
4）d
[sinntdt
）n
sinntdt
1）当n
3,5,7,・・.
时In
2）当n
4,6,8,..
时
上2
22-
n0
n2
22
n1n
31
2...2
九、级数（数学一、数学三）
判敛
收敛域（端点）
展开与求和
1）nt2ndt
（-
f（x）
2n1
1）n
（x-）
xn
2n2
2n
—12n1
2x
4n1
0时，f（0）1
十、多元函数积分学（数一）
X2y21（0z2）
好久未考：
一面引力
例：
设有一段均匀圆柱面
其面密度1,G为引力常数，求该段圆柱面
对原点处单位质点的引力
【分析】F
—dS
z2）2
G——
（x2又因为
dS.1（Xy）2（xz）2dydz:
x2y21,（x0）
Xz0,Xy
2^
原式
2G
z
3Dyz（1z2）2
厂严
=dydz
?
dzz2）2
2（1
F=（0，,2（1
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