高中数学第四章用数学归纳法证明不等式测评新人教A版选修45Word格式.docx
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（n-2）+…+n·
1=
n（n+1）（n+2）左边的式子为f（n）,用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f（k+1）-f（k）=（ ）
A.k+1B.1·
（k+1）+（k+1）·
1
C.1+2+3+…+kD.1+2+3+…+k+（k+1）
解析依题意,f（k）=1·
k+2·
（k-1）+3·
（k-2）+…+k·
1,
则f（k+1）=1·
（k+1）+2·
k+3·
（k-1）+4·
2+（k+1）·
∴f（k+1）-f（k）=1·
[（k+1）-k]+2·
[k-（k-1）]+3·
[（k-1）-（k-2）]+4·
[（k-2）-（k-3）]+…+k·
（2-1）+（k+1）·
=1+2+3+…+k+（k+1）.
4.用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N+）能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1时的情况,只需展开（ ）
A.（k+3）3B.（k+2）3
C.（k+1）3D.（k+1）3+（k+2）3
解析当n=k+1时,证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”,根据归纳假设,当n=k时,证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”,所以只需展开（k+3）3.
答案A
5.用数学归纳法证明2n≥n2（n≥5,n∈N+）成立时,第二步归纳假设的正确写法是（ ）
A.假设当n=k时命题成立
B.假设当n=k（k∈N+）时命题成立
C.假设当n=k（k≥5）时命题成立
D.假设当n=k（k>
5）时命题成立
解析由数学归纳法的步骤可知,选项C正确.
6.用数学归纳法证明“Sn=
+…+
>
1（n∈N+）”时,S1等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析当n=1时,S1=
.
7.已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1（n∈N+）,用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明（ ）
A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除
C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除
解析由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4（k+1）=a4k+4能被4整除.
8.设0<
θ<
已知a1=2cosθ,an+1=
则猜想an为（ ）
A.2cos
B.2cos
C.2cos
D.2sin
解析a1=2cosθ,a2=
=2cos
a3=
猜想an=2cos
答案B
9.从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f（n）种走法,则下面的猜想正确的是（ ）
A.f（n）=f（n-1）+f（n-2）（n≥3）
B.f（n）=2f（n-1）（n≥2）
C.f（n）=2f（n-1）-1（n≥2）
D.f（n）=f（n-1）f（n-2）（n≥3）
解析分别取n=1,2,3,4验证,
得f（n）=
10.用数学归纳法证明“34n+1+52n+1（n∈N+）能被8整除”时,若当n=k时命题成立,欲证当n=k+1时命题成立,对于34（k+1）+1+52（k+1）+1可变形为（ ）
A.56×
34k+1+25（34k+1+52k+1）
B.34×
34k+1+52×
52k
C.34k+1+52k+1
D.25（34k+1+52k+1）
解析由于34（k+1）+1+52（k+1）+1=81×
34k+1+25×
52k+1+25×
34k+1-25×
34k+1=56×
34k+1+25（34k+1+52k+1）,故应选A.
11.下列说法正确的是（ ）
A.若一个命题当n=1,2时为真,则此命题为真命题
B.若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立,则这个命题为真命题
C.若一个命题当n=1,2时为真,则当n=3时这个命题也为真
D.若一个命题当n=1时为真,n=k时为真能推得n=k+1时亦为真,则此命题为真命题
解析由数学归纳法可知,只有当n的初始取值成立且由n=k成立能推得n=k+1时也成立时,才可以证明结论正确,二者缺一不可.A,B,C项均不全面.
12.若命题A（n）（n∈N+）在n=k（k∈N+）时成立,则有当n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0（n0∈N+）时成立,则有（ ）
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立,对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
解析数学归纳法证明的结论只是对n的初始值及后面的正整数成立,而对于初始值前的正整数不一定成立.
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13.用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=
（sinα≠0,n∈N）,在验证n=1时,等式右边的式子是 .
解析当n=1时,右边=
=cosα.
答案cosα
14.设f（n）=
用数学归纳法证明f（n）≥3.在“假设当n=k时成立”后,f（k+1）与f（k）的关系是f（k+1）=f（k）·
.
解析当n=k时,f（k）=
当n=k+1时,
f（k+1）=
所以f（k）应乘
答案
15.用数学归纳法证明
假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是 .
解析注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以当n=k+1时,应为
16.
导学号26394070设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=（a+b）n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为 .
解析由贝努利不等式（1+x）n>
1+nx（x>
-1,且x≠0,n>
1,n∈N+）,可知
当n>
1时,令x=
所以
1+n·
所以
即（a+b）n>
an+nan-1b.
当n=1时,M=N,故M≥N.
答案M≥N
三、解答题（本大题共6小题,共70分）
17.（本小题满分10分）用数学归纳法证明:
12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）（n∈N+）.
证明
（1）当n=1时,
左边=12-22=-3,
右边=-1×
（2×
1+1）=-3,等式成立.
（2）假设当n=k（k∈N+,k≥1）时等式成立,即
12-22+32-42+…+（2k-1）2-（2k）2=-k（2k+1）.
12-22+32-42+…+（2k-1）2-（2k）2+（2k+1）2-[2（k+1）]2
=-k（2k+1）+（2k+1）2-[2（k+1）]2
=-2k2-5k-3
=-（k+1）（2k+3）
=-（k+1）[2（k+1）+1],
即当n=k+1时,等式成立.
由
（1）
（2）可知,对任何n∈N+,等式成立.
18.（本小题满分12分）求证:
两个连续正整数的积能被2整除.
证明设n∈N+,则要证明n（n+1）能被2整除.
（1）当n=1时,1×
（1+1）=2,能被2整除,即命题成立.
（2）假设n=k（k≥1）时命题成立,即k·
（k+1）能被2整除.
当n=k+1时,（k+1）（k+1+1）=（k+1）（k+2）=k（k+1）+2（k+1）,
由归纳假设k（k+1）及2（k+1）都能被2整除,所以（k+1）（k+2）能被2整除,
故当n=k+1时命题成立.
由
（1）
（2）可知,命题对一切n∈N+都成立.
19.（本小题满分12分）设函数fn（x）=
x+
x2+…+
xn-2（n∈N,n≥2）,当x>
-1,且x≠0时,证明:
fn（x）>
0恒成立.
（x+1）n=
x0+
xn,
m,n∈N+,且n≥m
证明要证fn（x）>
0恒成立,因为x>
-1,且x≠0,所以只需证
·
xn>
1+nx,
即证（1+x）n>
1+nx.
（1）当n=2时,不等式成立.
（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立,即（1+x）k>
1+kx.
当n=k+1时,有（1+x）k+1=（1+x）k·
（1+x）>
（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2>
1+（k+1）x,
即当n=k+1时不等式成立.
由
（1）
（2）可知,
对任意n∈N,n≥2,（1+x）n>
1+nx成立,
即fn（x）>
20.（本小题满分12分）已知点的序列An（xn,0）,n∈N+,其中x1=0,x2=a（a>
0）,A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段An-2An-1的中点,….
（1）写出xn与xn-1,xn-2之间的关系式（n≥3）;
（2）设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明.
解
（1）当n≥3时,xn=
（2）a1=x2-x1=a,
a2=x3-x2=
-x2
=-
（x2-x1）=-
a,
a3=x4-x3=
-x3
（x3-x2）=-
a.
由此推测an=
a（n∈N+）.
用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=x2-x1=a=
a,通项公式成立.
②假设当n=k时,ak=
a成立.
ak+1=xk+2-xk+1=
-xk+1
（xk+1-xk）=-
ak=-
a
=
由①②知,an=
a（n∈N+）成立.
21.
导学号26394071（本小题满分12分）求证:
tanα·
tan2α+tan2α·
tan3α+…+tan（n-1）α·
tannα=
-n（n≥2,n∈N+）.
证明
（1）当n=2时,左边=tanα·
tan2α,右边=
-2=
=tanα·
tan2α=左边,等式成立.
（2）假设当n=k（k≥2）时等式成立,即tanα·
tan3α+…+tan（k-1）α·
tankα=
-k.
当n=k+1时,tanα·
tankα+tankα·
tan（k+1）α=
-k+tankα·
tan（k+1）α
-k
[1+tan（k+1）α·
tanα]-k
[tan（k+1）α-tanα]-k
-（k+1）,
所以当n=k+1时等式成立.
由
（1）和
（2）知,当n≥2,n∈N+时等式恒成立.
22.
导学号26394072（本小题满分12分）设{xn}是由x1=2,xn+1=
（n∈N+）定义的数列,求证xn<
证明由题意可知,xk+1=
2·
显然成立.
下面用数学归纳法证明xn<
（1）当n=1时,x1=2<
+1,不等式成立.
（2）假设当n=k（k≥1）时不等式成立,即xk<
当n=k+1时,xk+1=
由归纳假设,xk<
则
∵xk>
∴
∴xk+1=
.即xk+1<
∴当n=k+1时,不等式xn<
成立.
由
（1）
（2）可知,xn<
对一切n∈N+都成立.
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