人教课标版高中数学必修4《任意角》教学设计Word文档下载推荐.docx
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角所在象限是（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【知识点】终边相同的角，象限角概念
【解题过程】先作出－1120°
的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．
【答案】D．
（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？
【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°
【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．
【答案】
（二）课堂设计
1.知识回顾
本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．
2.问题探究
探究一从生活中感受角的新定义．
●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．
观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？
【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°
的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性
●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．
思考：
你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？
当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于0°
~360°
之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【设计意图】带着活动①的问题继续实际操作动手感受这个转动过程，继续思考任意角的定义．
这些都说明了我们研究推广角概念的必要性．为了区别起见，我们规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角（positiveangle），按顺时针方向旋转所形成的角叫负角（negativeangle）.如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角（zeroangle）．这样零角的始边与终边重合．为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“
”可简记为α.如果α是零角，那么α=0°
．
如教材图1.1.3
（1）中的角是一个正角，它等于750°
；
图1.1.3
（2）中，正角α=210°
，负角
这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle），包括正角、负角和零角.
探究二巩固正负角的定义
●活动①巩固训练正负角的概念．
做出下列各角：
－50°
，405°
，210°
，－200°
，－450°
，－950°
12′．
【设计意图】仿照教材例子，继续研究给定度数的任意角的练习
●活动②过手演示，加强记忆．
将活动①中的例子让学生动手，利用手中的播时钟的方式旋转出角形成的过程．
【设计意图】通过动手练习加强从旋转的方式认识任意角的定义．
探究三探究象限角的定义．
●活动①
角是一个几何量，我们经常要将几何问题代数化，那么我们要通过怎样的工具才能将角这个几何量转化成代数信息呢？
（此处让学生互相探讨出坐标系的答案）
我们探讨出来了要将角放在坐标系中，那么该怎么放更合适呢？
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角（quadrantangle）.如教材图1.1－4中的30°
角、－210°
角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意：
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角.
例1.指出下列各角：
12′所在象限．
【知识点】象限角
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向
【思路点拨】做出坐标轴，按照正负角的定义作图．
【答案】－50°
为第四象限角405°
为第一象限角
210°
为第三象限角－200°
为第二象限角
－450°
为终边在y轴负半轴的角－950°
12′为第二象限角
同类型训练题：
指出下列各角：
328°
，－32°
，－392°
所在象限.
【知识点】象限角，终边相同的角
【答案】以上三个角均与－32°
终边相同，在第四象限．
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以他为终边的角是否唯一？
如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
不难发现，在右图中，如果－32°
的终边是OB，那么328°
，……角的终边都是OB，并且与－32°
角的终边相同的这些角都可以表示成－32°
的角与k个（k
Z）周角的和，如
=－32°
+360°
（这里k=___1___）
－392°
－360°
（这里k=___－1___）
设
，则328°
角都是S的元素，－32°
角也是S的元素（此时k=_0__）．因此，所有与－32°
角终边相同的角，连同－32°
角在内，都是集合S的元素；
反过来，集合S的任一元素显然与－32°
角终边相同．
一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
，
即任意一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
说明：
（1）k
Z；
“+”也可以是“－”；
（2）α是任意角；
（3）终边相同的角不一定相等；
但相等的角，终边一定相同；
终边相同的角有无数多个，它们相差360°
的整数倍
例2在0°
～360°
范围内，找出与－950°
12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．
【知识点】终边相同角的表示
【数学思想】类比，归纳
【解题过程】先找出一个在[0,360°
]的代表角，在套用终边相同角的表示公式，理解记忆．
【思路点拨】
是第二象限角
在0°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
（1）－54°
18′；
（2）395°
8′；
（3）－1190°
30′．
【知识点】终边相同角的表示，象限角
【数学思想】类比，归纳，数形结合
【解题过程】
（1）
（2）
（3）
【思路点拨】先找出一个在[0,360°
（1）是第四象限角
（2）是第一象限角
（3）是第三象限角
【设计意图】巩固终边相同角的表示方式，同时训练了象限角的概念．
●活动2
例3.写出终边在y轴上的角的集合．
【知识点】终边相同角的表示，轴线角．
【解题过程】先找到y轴正半轴的角90°
，再将其按照周期为180°
进行逆时针旋转．
（1）各象限的角组成的集合．
（2）终边落在y轴右侧的角的集合．
（1）在[0,360°
]内找到各象限的代表角范围，再加上旋转的周期360°
即可．
第一象限角0°
<
α<
90°
，所以第一象限角｛α∣k·
360°
+k·
，k∈Z｝；
第二象限角90°
180°
，所以第二象限角｛α∣90°
＋k·
第三象限角180°
270°
，所以第三象限角｛α∣180°
第四象限角270°
，所以第四象限角｛α∣270°
，k∈Z｝
（2）在[-90°
90°
]内找到各象限的代表角，终边落在y轴右侧的角的－90°
，所以｛α∣－90°
+k·
，k∈Z｝
]的代表角，再套用终边相同角的表示公式，理解记忆，蕴含了对周期的理解．
（1）第一象限角｛α∣k·
第二象限角｛α∣90°
第三象限角｛α∣180°
第四象限角｛α∣270°
（2）｛α∣－90°
例4.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°
≤β<
720°
的元素β写出来．
满足－360°
的
【思路点拨】将直线先分成两条射线，在从中总结归纳出直线的旋转的周期结论．
若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是_____________
【知识点】终边在一条直线的角的终边
【解题过程】首先考虑β终边相同的角的表示方法
，然后将这条射线
【思路点拨】从规律中总结，并能结合图形提炼出周期．
【设计意图】巩固终边相同的角的表示，让学生通过类比用周期的方式理解并能将其推广应用．
●活动3（探究型例题）
例5写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）
（1）
（2） （3）
【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用
【数学思想】类比，数形结合
【解题过程】先把每条终边表示出来，然后按照逆时针的方向由小角到大角写出区域．
【思路点拨】由旋转的方式理解区域的形成过程及周期的理解．
已知角α是第二象限角，
求：
角是第几象限的角；
（2）2α角终边的位置．
【知识点】正负角的概念，终边相同的角的应用及象限角的考察．
在不等式两边同除2或者同乘以2即可．
【思路点拨】利用象限角的表示方法结合不等式的运算性质．
（2）
3.课堂总结
知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）
（1）任意角的概念
（2）象限角的概念
（3）终边相同角的表示方法
重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）
（2）终边相同角的表示方法
（三）课后作业
基础型
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.第一象限的角一定是锐角
B.锐角一定是第一象限的角
C.小于90°
的角一定是锐角
D.第一象限的角一定是正角
【知识点】终边相同角的表示和象限角的表示
【数学思想】排除法，举反例
【解题过程】将每一个选项的定义回顾一下．
【思路点拨】注意角的终边一定，但角的大小没有确定．
【答案】B
2.－50°
的角的终边在（）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解题过程】作图注意负角是顺时针旋转
【思路点拨】注意正负角旋转方向
【答案】D
3.一角为30°
，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为.
【解题过程】逆时针旋转二周增加
又增加
【思路点拨】逆时针旋转一周增加
【答案】750°
4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角?
（1）420°
，
（2）－75°
，（3）855°
，（4）－510°
.
【数学思想】数形结合
【解题过程】作图，注意正负角的旋转方向360
【思路点拨】先找到含有的周期角的倍数
=1×
+60°
，第一象限角;
（2）－75°
=－1×
＋285°
，第四象限角;
（3）855°
=2×
+135°
，第二象限角;
（4）－510°
=－2×
+210°
，第三象限角;
5.分针一分钟转过的角度是度;
时针一小时转过的角度是度;
分针一昼夜转过的角度是度.
【知识点】正负角的概念
【数学思想】
【解题过程】60分钟分针转一圈，那么一分钟就是
12小时时针一圈，
那么一小时转
以此类推．
【思路点拨】在头脑要有时钟的模型，理解好每个刻度代表多少度，并能将终边相同的角的概念利用好．
【答案】.－6，－30，－8640.
能力型
6.设
，那么有（）
A．
B．
C．
（
）
D．
【解题过程】利用不等式将每个集合的角表示出来
【思路点拨】角的终边确定，但角的大小不定．
自助餐
1.下列命题正确的是（）
（A）终边相同的角一定相等
（B）第一象限的角都是锐角
（C）锐角都是第一象限的角
（D）小于
的角都是锐角
【数学思想】特值法举反例，排除法
【解题过程】回顾终边相同角，象限角等定义
【答案】C
2.若
是第一象限的角，则
是第象限角．
【解题过程】由题知
两边同除以
【答案】一或三
3.一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
【解题过程】作图
【答案】1110°
4.集合M＝{
=k
，k∈Z}中，各角的终边都在（）
轴正半轴上
轴或
轴上
轴正半轴或
【解题过程】分别给k赋值，直到旋转一个周期为止．
5.设
C＝{α|α=k180o+45o，k∈Z}，
，则相等的角集合为__．
【数学思想】归纳，类比
【解题过程】作图观察角的终边的位置
【答案】B＝D，C＝E
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