第一部分 测量误差及数据处理Word格式文档下载.docx
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表征被测量这个意义上来说,对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同
等的重要意义,三者是缺一不可的。
·
5·
一、测量
测量可以分为两类。
按照获得测量结果的方法来分,可将测量分为直接测量和间接
测量两类,而从测量条件是否相同来分,又有所谓等精度测量和不等精度测量。
根据测量方法可分为直接测量和间接测量。
直接测量就是把待测量与标准量直接比
较得出结果。
如用米尺测量物体的长度,用天平称量物体的质量,用电流表测量电流等,
都是直接测量。
间接测量借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。
例如已
知了路程和时间,根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。
一个物理量能否直接测量不是绝对的。
随着科学技术的发展,测量仪器的改进,很
多原来只能间接测量的量,现在可以直接测量了。
比如电能的测量本来是间接测量,现
在也可以用电度表来进行直接测量。
物理量的测量,大多数是间接测量,但直接测量是
一切测量的基础。
根据测量条件来分,有等精度测量和非等精度测量。
等精度测量是指在同一(相同)
条件下进行的多次测量,如同一个人,用同一台仪器,每次测量时周围环境条件相同,
等精度测量每次测量的可靠程度相同。
反之,若每次测量时的条件不同,或测量仪器改
变,或测量方法、条件改变。
这样所进行的一系列测量叫做不等精度测量,不等精度测
量的结果,其可靠程度自然也不相同。
物理实验中大多采用等精度测量。
应该指出:
重
复测量必须是重复进行测量的整个操作过程,而不是仅仅为重复读数。
测量仪器是进行测量的必要工具。
熟悉仪器性能,掌握仪器的使用方法及正确进行
读数,是每个测量者必备的基础知识。
如下简单介绍仪器精密度、准确度、精确度和量
程等基本概念。
仪器的精密度、准确度和精确度都是评价测量结果的术语,但目前使用时其涵义并
不尽一致,以下介绍较为普遍采用的意见。
测量精密度表示在同样测量条件下,对同一物理量进行多次测量,所得结果彼此间
相互接近的程度,即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度,因而测量精密度是测量
偶然误差的反映。
测量精密度高,偶然误差小,但系统误差的大小不明确。
仪器精密度是指仪器的最小分度相当的物理量。
仪器最小的分度越小,所测量物理
量的位数就越多,仪器精密度就越高。
对测量读数最小一位的取值,一般来讲应在仪器
最小分度范围内再估计读出一位数字。
如具有毫米分度的米尺,其精密度为1毫米,应
该估计读出到毫米的十分位;
螺旋测微器的精密度为0.01毫米,应该估计读出到毫米的
千分位。
仪器准确度是指仪器测量读数的可靠程度。
它一般标在仪器上或写在仪器说明书上。
如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。
对于没有标明准确度的仪器,可粗略地
取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半,一般对连续读数的仪器取最小分度数值
的一半,对非连续读数的仪器取最小的分度数值。
在制造仪器时,其最小的分度数值是
受仪器准确度约束的,不同的仪器准确度是不一样的,测量长度的常用仪器米尺、游标
卡尺和螺旋测微器,它们的仪器准确度依次提高。
测量准确度表示测量结果与真值接近的程度,因而它是系统误差的反映。
测量准确
大学物理实验
6·
度高,则测量数据的算术平均值偏离真值较小,测量的系统误差小,但数据较分散,偶
然误差的大小不确定。
测量精确度则是对测量的偶然误差及系统误差的综合评定。
精确度高,测量数据较
集中在真值附近,测量的偶然误差及系统误差都比较小。
总之,精密度高是指随机误差小,数据集中;
准确度高是指系统误差小,测量的平
均值偏离真值小;
精确度高是指测量的精密度和准确度都高。
数据集中而且偏离真值小,
即随机误差和系统误差都小。
量程是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差,即仪器的测量范围(有时也将
所能测量的最大值称量程)。
在测量过程中,超过仪器量程使用仪器是不允许的,轻则仪
器准确度降低,使用寿命缩短,重则损坏仪器。
二、误差与偏差
测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据,但由于受测量方法、
测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制,只能获得该物理量的近似值,
也就是说,一个被测量值N与真值N0之间总是存在着差值,这种差值称为测量误差,
即
ΔN=N-N0
显然误差ΔN有正负之分,因为它是测量值与真值的差值,常称为绝对误差。
注意,
绝对误差不是误差的绝对值!
误差存在于一切测量之中,测量与误差形影不离,分析测量过程中产生的误差,将
影响降到最低程度,并对测量结果中未能消除的误差作出估计,是实验中的一项重要工
作,也是实验的基本技能。
实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和
选用仪器的,不要以为仪器精度越高越好。
因为测量的误差是各个因素所引起的误差的
总和,要以最小的代价来取得最好的结果,要合理的设计实验方案,选择仪器,确定测
量方法。
如比较法、替代法、天平复称法等,都是为了减小测量误差;
对测量公式进行
这样或那样的修正,也是为了减少某些误差的影响;
在调节仪器时,如调节仪器使其处
于铅直、水平状态,要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略
不计;
电表接入电路和选择量程都要考虑到引起误差的大小。
在测量过程中某些对结果
影响大的关键量,就要努力想办法将它测准;
有的测量不太准确对结果没有什么影响,
就不必花太多的时间和精力去对待,在进行处理数据时,某个数据取到多少位,怎样使
用近似公式,作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取,如何求直线的斜率等,都要考虑到
引入误差的大小。
由于客观条件所限、人们认识的局限性,测量不可能获得待测量的真值,只能是近
似值。
设某个物理量真值为x0,进行n次等精度测量,测量值分别为x1,x2,⋯,xn(测量过
程无明显的系统误差),它们的误差为
110Δx=x−x
220Δx=x−x
7·
⋯
nn0Δx=x−x
求和
11
nn
ii
xxnx
==
ΣΔ=Σ−
xx
x
Δ
=−
ΣΣ
当测量次数n→∞,可以证明10
n
i
=
→
Σ
,而且1
是0x的最佳估计值,称x为
测量值的近似真实值。
为了估计误差,定义测量值与近似真实值的差值为偏差:
iiΔx=x−x。
偏差又叫做“残差”。
实验中真值得不到,因此误差也无法知道,而测量
的偏差可以准确知道,实验误差分析中要经常计算这种偏差,用偏差来描述测量结果的
精确程度。
三、相对误差
绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。
用E表示:
EN100%
N
=×
由于真值无法知道,所以计算相对误差时常用N代替0N。
在这种情况下,N可能是
公认值,或高一级精密仪器的测量值,或测量值的平均值。
相对误差用来表示测量的相
对精确度,相对误差用百分数表示,保留两位有效数字。
四、系统误差与随机误差
根据误差的性质和产生的原因,可分为系统误差和随机误差。
1.系统误差
系统误差是指在一定条件下多次测量的结果总是向一个方向偏离,其数值一定或按
一定规律变化。
系统误差的特征是具有一定的规律性。
系统误差的来源具有以下几个方
面:
(1)仪器误差。
它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差。
(2)理论误差。
它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性,或实验条件不能达到理论
公式所规定的要求,或测量方法等所带来的误差。
(3)观测误差。
它是由于观测者本人生
理或心理特点造成的误差。
例如,用“落球法”测量重力加速度,由于空气阻力的影响,
8·
多次测量的结果总是偏小,这是测量方法不完善造成的误差;
用停表测量运动物体通过
某一段路程所需要的时间,若停表走时太快,即使测量多次,测量的时间t总是偏大为
一个固定的数值,这是仪器不准确造成的误差;
在测量过程中,若环境温度升高或降低,
使测量值按一定规律变化,是由于环境因素变化引起的误差。
在任何一项实验工作和具体测量中,必须要想尽一切办法,最大限度的消除或减小
一切可能存在的系统误差,或者对测量结果进行修正。
发现系统误差需要改变实验条件
和实验方法,反复进行对比,系统误差的消除或减小是比较复杂的一个问题,没有固定
不变的方法,要具体问题具体分析。
产生系统误差的原因可能不止一个,一般应找出影
响的主要因素,有针对性地消除或减小系统误差。
以下介绍几种常用的方法。
检定修正法:
指将仪器、量具送计量部门检验取得修正值,以便对某一物理量测量
后进行修正的一种方法。
替代法:
指测量装置测定待测量后,在测量条件不变的情况下,用一个已知标准量
替换被测量来减小系统误差的一种方法。
如消除天平的两臂不等对待测量的影响可用此
办法。
异号法:
指对实验时在两次测量中出现符号相反的误差,采取平均值后消除的一种
方法。
例如在外界磁场作用下,仪表读数会产生一个附加误差,若将仪表转动180°
再
进行一次测量,外磁场将对读数产生相反的影响,引起负的附加误差。
两次测量结果平
均,正负误差可以抵消,从中可以减小系统误差。
2.随机误差
在实际测量条件下,多次测量同一量时,误差时大时小、时正时负,以不可预定方
式变化着的误差叫做随机误差,有时也叫偶然误差。
当测量次数很多时,随机误差就显
示出明显的规律性。
实践和理论都已证明,随机误差服从一定的统计规律(正态分布),
其特点是:
绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大(单峰性);
绝对
值相等的正负误差出现的概率相同(对称性);
绝对值很大的误差出现的概率趋于零(有界
性);
误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零(抵偿性)。
因此,增加测量次数可
以减小随机误差,但不能完全消除。
引起随机误差的原因也很多。
与仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。
如仪器显示
数值的估计读数位偏大和偏小;
仪器调节平衡时,平衡点确定不准;
测量环境扰动变化
以及其他不能预测不能控制的因素,如空间电磁场的干扰,电源电压波动引起测量的变
化等。
由于测量者过失,如实验方法不合理,用错仪器,操作不当,读错数值或记错数据
等引起的误差,是一种人为的过失误差,不属于测量误差,只要测量者采取严肃认真的
态度,过失误差是可以避免的。
五、随机误差的估算
对某一测量进行多次重复测量,其测量结果服从一定的统计规律,也就是正态分布
9·
(或高斯分布)。
我们用描述高斯分布的两个参量(x和σ)来估算随机误差。
设在一组测量
值中,n次测量的值分别为:
x1,x2,Lxn
1.算术平均值
根据最小二乘法原理证明,多次测量的算术平均值
1
1n
n=
=Σ
(1)
是待测量真值0x的最佳估计值。
称x为近似真实值,以后我们将用x来表示多次测
量的近似真实值。
2.标准偏差
误差理论证明,平均值的标准偏差(贝塞尔公式)
()2
S
σ=
−
(2)
其意义表示某次测量值的随机误差在~xx−σ+σ之间的概率为68.3%。
3.算术平均值的标准偏差
当测量次数n有限,其算术平均值的标准偏差为
()
2
xi
nnn
σ
===
(3)
其意义是测量平均值的随机误差在~xx−σ+σ之间的概率为68.3%。
或者说,待测量
的真值在()~()xxx−σx+σ范围内的概率为68.3%。
因此
xσ
反映了平均值接近真值的
程度。
当测量次数很少时,样本的平均值与平均值的标准偏差,可能严重偏离正态分布的
平均值和平均值的标准偏差。
根据误差理论,如果令:
0/xxT=SS,式中Sx0为统计的标
准偏差,T作为一个统计量将遵从另一种分布——T分布,即“学生分布”。
其函数式
比较复杂,可不去管它。
但T分布可以提供一个系数因子,简称T因子,用这个T因子
乘样本的平均值的标准偏差作为置信区间,仍能保证在这个区间有68.3%的置信概率。
表1-1中列出几个常用的T因子。
表1-1T因子表(表中N表示测量次数)
N2345678910
T0.6831.841.321.201.141.111.091.081.071.06
T0.954.303.182.782.572.452.362.312.262.23
T0.999.925.844.604.033.713.503.363.253.17
10·
从表中可见,T0.683因子随测量次数的增加而趋向于1,在测量次数7次以上可以不
考虑T因子。
在测量次数小于7次时,把测量结果表示成:
0.6830.95(68.3%)xx±
T⋅Sp=或x±
T⋅
0.99(95%)(99%)xxSp=或x±
T⋅Sp=。
六、异常数据的剔除
剔除测量列中异常数据的标准有几种,有3xσ准则、肖维准则、格拉布斯准则等。
1.3xσ准则
统计理论表明,测量值的偏差超过3xσ的概率已小于1%。
因此,可以认为偏差超
过3xσ的测量值是其他因素或过失造成的,为异常数据,应当剔除。
剔除的方法是将多
次测量所得的一系列数据,算出各测量值的偏差iΔx和标准偏差xσ,把其中最大的jΔx
与3xσ比较,若jΔx>3xσ,则认为第j个测量值是异常数据,舍去不计。
剔除jx后,对
余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差,并继续审查,直到各个偏差均小于3xσ为止。
2.肖维准则
假定对一物理量重复测量了n次,其中某一数据在这n次测量中出现的几率不到半
次,即小于1/2n,则可以肯定这个数据的出现是不合理的,应当予以剔除。
根据肖维准则,应用随机误差的统计理论可以证明,在标准误差为σ的测量列中,
若某一个测量值的偏差等于或大于误差的极限值Kσ
,则此值应当剔出。
不同测量次数的
误差极限值Kσ列于表1-2。
表1-2肖维系数表
nKσnKσnKσ
41.53σ101.96σ162.16σ
51.65σ112.00σ172.18σ
61.73σ122.04σ182.20σ
71.79σ132.07σ192.22σ
81.86σ142.10σ202.24σ
91.92σ152.13σ302.39σ
3.格拉布斯(Grubbs)准则
若有一组测量得出的数值,其中某次测量得出数值的偏差的绝对值|iΔx|与该组测量
列的标准偏差xσ之比大于某一阈值0g(n,1−p),即
|iΔx|>
0g(n,1−p)·
xσ
则认为此测量值中有异常数据,并可予以剔除。
这里0g(n,1−p)中的n为测量数据
的个数。
而p为服从此分布的置信概率。
一般取p为0.95和0.99(至于在处理具体问题
时,究竟取哪个值则由实验者自己来决定)。
我们将在表1-3中给出p=0.95和0.99时或
11·
1-p=0.05和0.01时,不同的n值所对应的g0值。
表1-3g0(n,1−p)值表
1-p
0.050.01
31.151.15172.482.78
41.461.49182.502.82
51.671.75192.532.85
61.821.94202.562.88
71.942.10212.582.91
82.032.22222.602.94
92.112.32232.622.96
102.182.41242.642.99
第二节测量结果的评定和不确定度
测量的目的是不但要测量待测物理量的近似值,而且要对近似真实值的可靠性作出
评定(即指出误差范围),这就要求我们还必须掌握不确定度的有关概念。
下面将结合对
测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。
一、不确定度的含义
在物理实验中,常常要对测量的结果作出综合的评定,采用不确定度的概念。
不确
定度是“误差可能数值的测量程度”,表征所得测量结果代表被测量的准确程度。
也就
是因测量误差存在而对被测量不能肯定的程度,因而是测量质量的表征,用不确定度对
测量数据作出比较合理的评定。
对一个物理实验的具体数据来说,不确定度是指测量值
(近真值)附近的一个范围,测量值与真值之差(误差)可能落于其中,不确定度小,测量结
果可信赖程度高;
不确定度大,测量结果可信赖程度低。
在实验和测量工作中,不确定
度一词近似于不确知,不明确,不可靠,有质疑,是作为估计而言的;
因为误差是未知
的,不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度,而只能用误差的某种可能的数值去说
明可信赖程度,所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。
用不确定度评定
实验结果的误差,其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响,而它们的计算又反映
了这些误差所服从的分布规律,这是更准确地表述了测量结果的可靠程度,因而有必要
采用不确定度的概念。
二、测量结果的表示和合成不确定度
在做物理实验时,要求表示出测量的最终结果。
在这个结果中既要包含待测量的近
似真实值x,又要包含测量结果的不确定度
xu,还要反映出物理量的单位。
因此,要写
12·
成物理含意深刻的标准表达形式,即
xx=x±
u(单位)
式中x为待测量;
x是测量的近似真实值,
xu是合成不确定度,一般保留一位有效
数字。
这种表达形式反应了三个基本要素:
测量值、合成不确定度和单位。
在物理实验中,直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正,一般就取多次
测量的算术平均值x作为近似真实值;
若在实验中有时只需测一次或只能测一次,该次
测量值就为被测量的近似真实值。
如果要求对被测量进行一定系统误差的修正,通常是
将一定系统误差(即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量)从算术平均值x或一次
测量值中减去,从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。
例如,用螺旋测微器
来测量长度时,从被测量结果中减去螺旋测微器的零误差。
在间接测量中,x即为被测
量的计算值。
在测量结果的标准表达式中,给出了一个范围()~()xxx−ux+u,它表示待测量的
真值在()~()xxx−ux+u范围之间的概率为68.3%,不要误认为真值一定就会落在
()~()xxx−ux+u之间。
认为误差在~xx−u+u之间是错误的。
在上述的标准式中,近似真实值、合成不确定度、单位三个要素缺一不可,否则就
不能全面表达测量结果。
同时,近似真实值x的末尾数应该与不确定度的所在位数对齐,
近似真实值x与不确定度
xu的数量级、单位要相同。
在开始实验中,测量结果的正确表
示是一个难点,要引起重视,从开始就注意纠正,培养良好的实验习惯,才能逐步克服
难点,正确书写测量结果的标准形式。
在不确定度的合成问题中,主要是从系统误差和随机误差等方面进行综合考虑的,
提出了统计不确定度和非统计不确定度的概念。
合成不确定度
xu是由不确定度的两类分
量(A类和B类)求“方和根”计算而得。
为使问题简化,本书只讨论简单情况下(即A类、
B类分量保持各自独立变化,互不相关)的合成不确定度。
A类不确定度(统计不确定度)用A()xu表示,B类不确定度(非统计不确定度)用B()xu
表示,合成不确定度为:
22
AB()()xxxu=u+u
三、合成不确定度的两类分量
物理实验中的不确定度,一般主要来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对
象变化等等。
计算不确定度是将可修正的系统误差修正后,将各种来源的误差按计算方
法分为两类,即用统计方法计算的不确定度(A类)和非统计方法计算的不确定度(B类)。
A类统计不确定度,是指可以采用统计方法(即具有随机误差性质)计算的不确定
度,如测量读数具有分散性,测量时温度波动影响等等。
这类统计不确定度通常认为它
是服从正态分布规律,因此可以像计算标准偏差那样,用“贝塞尔公式”计算被测量的
A类不确定度。
A类不确定度A()xu为:
13·
A()
1