管理运筹学课后答案谢家平Word文件下载.docx

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判断方式:

唯一最优解:

所有非基变量的检验数为负数,即σj<

0

无穷多最优解:

若所有非基变量的检验数σj≤0,且存在某个非基变量xNk的检验数σk=0,让其进基,目标函数

的值仍然保持原值。

如果同时存在最小θ值,说明有离基变量,则该问题在两个顶点上同时达到最优,为无穷多最优解。

无界解:

若某个非基变量xNk的检验数σk>

0,但其对应的系数列向量Pk'

中,每一个元素aik'

(i=1,2,3,…,m)

均非正数,即有进基变量但找不到离基变量。

无可行解:

当引入人工变量,最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量,即人工变量不能全出基,则无可行解。

7.单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。

当约束条件都是“≤”时,加入松弛变量就形成了初始基,但实际问题中往

往出现“≥”或“=”型的约束,这就没有现成的单位矩阵。

需要采用人造基的办法,无单位列向量的等式中加入人工变量,

从而得到一个初始基。

人工变量只有取0时,原来的约束条件才是它本来的意义。

为保证人工变量取值为0,令其价值

系数为-M(M为无限大的正数,这是一个惩罚项)。

如果人工变量不为零,则目标函数就不能实现最优,因此必须将其

逐步从基变量中替换出。

对最小化问题,在目标函数中人工变量的系数取M。

8.

9.

10.

(1)C1<

0,C2<

0,且d≥0

(2)C1=0,C2<

0或C2=0,C1<

0,a1>

(3)C1>

0,d>

0,a2>

0,d/4>

3/a2

(4)C2>

0,a1≤0

(5)x1为人工变量,且C1为包含M的大于0数,d/4>

3/a2;

或者x

数,a1>

0,d>

0。

11.

2

为人工变量,且C

为包含M的大于0

12.设xij为电站向某城市分配的电量,建立模型如下:

13.设x1

为产品A的产量,x2

为产品B的产量,x3

为副产品C的销售量,x4

为副产品C的销毁量,问题模型如下:

第二章

1.

(2)甲生产20件,乙生产60件,材料和设备C充分利用,设备D剩余600单位

(3)甲上升到13800需要调整,乙下降60不用调整。

(4)非紧缺资源设备D最多可以减少到300,而紧缺资源—材料最多可以增加到300,紧缺资源—设备C最多可

以增加到360。

2.设第一次投资项目i为xi,第二次投资项目i设为xi'

,第三次投资项目i设为xi′。

3.设每种家具的产量为

4.设每种产品生产xi

5.

(1)设xi为三种产品生产量

通过Lindo计算得x1=33,x2=67,x3=0,Z=733

(2)产品丙每件的利润增加到大于6.67时才值得安排生产;

如产品丙每件的利润增加到50/6,通过Lindo计算最优

生产计划为:

x1=29,x2=46,x3=25,Z=774.9。

(3)产品甲的利润在[6,15]范围内变化时,原最优计划保持不变。

(4)确定保持原最优基不变的q的变化范围为[-4,5]。

(5)通过Lindo计算,得到x1=32,x2=58,x3=10,Z=707

第三章

T

1.原问题和对偶问题从不同的角度来分析同一个问题,前者从产品产量的角度来考察利润,

后者则从形成产品本身所需要的各种资源的角度来考察利润,即利润是产品生产带来的,同

时又是资源消耗带来的。

对偶变量的值yi表示第i种资源的边际价值,称为影子价值。

可以把对偶问题的解Y定义

为每增加一个单位的资源引起的目标函数值的增量。

2.若以产值为目标,则yi是增加单位资源i对产值的贡献,称为资源的影子价格(Shad

owPrice)。

即有“影子价格=资源成本+影子利润”。

因为它并不是资源的实际价格,而是

企业内部资源的配比价格,是由企业内部资源的配置状况来决定的,并不是由市场来决定,

所以叫影子价格。

可以将资源的市场价格与影子价格进行比较,当市场价格小于影子价格时,

企业可以购进相应资源,储备或者投入生产;

当市场价格大于影子价格时,企业可以考虑暂

不购进资源,减少不必要的损失。

3.

(1)最优性定理:

设,分别为原问题和对偶问题的可行解,且C=b,则

,a

分别为各自的最优解。

**

(2)对偶性定理:

若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,而且两者的目标函数值

相等。

(3)互补松弛性:

原问题和对偶问题的可行解X、Y为最优解的充分必要条件是

(4)对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯形法表中,初始基变量的检验数的负值。

−YS对应原问题决策变量x的检验数;

−Y则对应原问题松弛变量xS的检验数。

4.

表示三种资源的影子利润分别为0.89、4.89和0,应优先增加设备C台时以及增加材

料可获利更多;

14.89>

12,所以设备C可以进行外协加工,200.89<

210,所以暂不外

购材料。

5.

(1)求出该问题的最优解和最优值;

x1=x2=x4=0,x3=2,x5=6,Z=4

(2)该问题的对偶问题的最优解和最优值:

y1=2,y2==0,w=4

(3)分别为2、0,对产值贡献的大小;

第一种资源限量由2变为4,最优解不会改变。

(4)代加工产品丁的价格不低于2×

2+0×

3=4。

4

6.

(1)设四种产品产量为xi,i=1,2,3,4

(2)

影子价格分别为2、1.25、2.5。

对比市场价格和影子价格,当市场价低于影子价格时购

进。

(3)原料丙可利用量在[900,1100]范围内变化,原最优生产方案中生产产品的品种不变

(即最优基不变)。

(4)若产品B的价格下降了0.5元,生产计划不需要调整。

第四章

**

1.纯整数规划、0-1规划、混合整数规划。

2.

(1)首先不考虑整数条件,求解整数规划相应的线性规划问题。

若相应的线性规划问题

没有可行解,停止计算,这时原整数规划也没有可行解。

(2)定界过程。

对于极大化的整数规划问题,当前所有未分枝子问题中最大的目标函数值

为整数规划问题上界;

在满足整数约束的子问题的解中,最大的目标函数值为整数规划问

题的下界。

当上下界相同时,则已得最优解;

否则,转入剪枝过程。

(3)剪枝过程。

在下述情况下剪除这些分枝:

①若某一子问题相应的线性规划问题无可行解;

②在分枝过程中,求解某一线性规划所得到的目标函数值Z不优于现有下界。

(4)分枝过程。

当有多个待求分枝时,应先选取目标函数值最优的分枝继续进行分枝。

取一个不符合整数条件的变量xi作为分枝变量,若xi的值是bi*,构造两个新的约束条

件:

xi≤[bi]或xi≥[bi]+1,分别并入相应的数学模型中,构成两个子问题。

对任一个子

问题,转步骤

(1)。

最整数解为:

x1=4,x2=2,z=340

4.解:

tij为个人对于个任务的时间耗费矩阵,则目标函

数为:

约束条件为:

解之得:

x

=1,x

=1,x

=1,其余均为0,z=70,即任务A由

12

21

33

44

乙完成,任务B由甲完成,任务C由丙完成,任务D由丁完成。

5.解:

设在第i天应聘的雇员人数为xi。

数学模型为:

解得:

x1=0,x2=4,x3=32,x4=10,x5=34,x6=10,x7=4,Z=94。

第五章

1.解:

建立目标约束。

(1)装配线正常生产

设生产A,B,C型号的电脑为x1,x2,x3(台),d

+

1

为装配线正常生产时间未利用数,

d1

为装配线加班时间,希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线目标约束为

(2)销售目标

优先满足老客户的需求,并根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子,A,B,C三种型号的

电脑每小时的利润是

,因此,老客户的销售目标约束为

再考虑一般销售。

类似上面的讨论,得到

(3)加班限制

首先是限制装配线加班时间,不允许超过200h,因此得到

其次装配线的加班时间尽可能少,即

写出目标规划的数学模型

经过Lingo计算得到x1=100,x2=55,x3=80。

装配线生产时间为1900h,满足装

配线加班不超过200h的要求。

能够满足老客户的需求,但未能达到销售目标。

销售总利

润为100×

1000+55×

1440+80×

2520=380800(元)。

2.解:

假设三个工厂对应的生产量分别为300,200,400。

(1)求解原运输问题

由于总生产量小于总需求量,虚设工厂4,生产量为100个单位,到各个用户间的运费单

价为0。

用LINGO软件求解,得到总运费是2950元,运输方案如下表所示。

(2)下面按照目标的重要性的等级列出目标规划的约束和目标函数。

设xij工厂i(i=1,2,3)调配给用户j(j=1,2,3,4)的运量,cij表示从工厂i到用户j的

单位产品的运输费用,aj(j=1,2,3,4)表示第j个用户的需求量,bi(i=1,2,3)表示第i

个工厂的生产量。

i)供应约束应严格满足,即

ii)供应用户1的产品中,工厂3的产品不少于100个单位,即

iii)需求约束。

各用户的满足率不低于80%,即

;

应尽量满足各用户的需求,即

iv)新方案的总运费不超过原方案的10%(原运输方案的运费为2950元),即

v)工厂2到用户4的路线应尽量避免运输任务,即

vi)用户1和用户3的满足率应尽量保持平衡,即

vii)力求总运费最少,即

目标函数为

经8次运算,得到最终的计算结果,见下表。

总运费为3360元,高于原运费410元,超

过原方案10%的上限115元。

3.设分别生产A机器x1

台,B机器x2

台。

目标函数为:

Lingo计算结果为:

生产A机器15台,B机器21台,利润增加4129元,工序Ⅱ

加班22.5小时。

第六章

1.原有问题的求解就化为逐个求解几个简单的阶段子问题,当每一个阶段的决策子问题确定后,就组成了一个决策序列,

每个阶段的决策一旦确定,整个决策过程也随之确定,此类把一个问题看作是一个前后关联具有明显阶段性的决策过程

就称为多阶段决策问题。

2.动态规划最优性原理导出了它的解题思路,即将决策问题划分为若干个阶段,将全过程的优化问题分解为子过程的优

化问题;

逆着阶段顺序的方向,由后向前逐步倒推;

各阶段求解都是在后部子过程最优策略基础上,再考虑本阶段的指

标函数,求出本阶段的最优策略;

由后向前推算直到第一阶段为止,最优化的子过程逐渐成为最优化的全过程。

3.

(1)模型建立

将三个营业区看作是三个阶段,即阶段变量k=1,2,3;

第k阶段初尚未被分配出去的销售点是其决策的起点,则状态变量Sk表示第k阶段初可分配的销售区数,Sk≥0,

且初始状态已知S1=6;

决策变量xk表示第k阶段分配给区A,B,C的销售店,允许决策集合

状态转移方程为Sk+1=Sk-k

阶段指标Vk(Sk,xk)表示第k阶段从Sk销售点中分配给第k区xk个的阶段效益;

最优指数函数fk(Sk)表示第k阶段从Sk开始到最后阶段采用最优分配策略取得的最大收益,递推方程函数式

(2)逆序求解

当k=3时

当k=2时

当k=1时

顺序递推,得出结论:

第A小组建3个,第B区建2个,第C区建1个,

4.

(1)模型建立

多阶段性的月度生产决策,可以按月划分阶段,即阶段变量k=1,2,3,4分别表示这四个月。

上期未需求的产品将会进入仓库存放,供下期需求消费;

下期生产与否,视期初库存数量和当期需求量而定,第k月

的期初库存反映出其状态特征。

因此,状态变量Sk表示第k月期初的产品库存量,0≤Sk≤4。

决策变量xk表示第k月的实际生产量,允许决策集合Xk(Sk){0≤xk≤4}。

第k月的订货量记为dk,而供给量为Sk+xk,则状态转移方程为Sk+1=Sk+xk-dk。

阶段指标vk(Sk,xk)k表示第k月的费用。

本月若不安排生产,则仅需支出存货费;

若安排生产,则需支出生产成本

和固定运营费,同时还需存货费。

为了将存储问题简化,忽略本月生产和需求产品的短期存货费。

因此当xk=0时,v

k(Sk,xk)=HSk=1500Sk;

当xk>0时,

最优指数函数fkSk()表示第k阶段从期初库存Sk

开始到最后阶段采用最优生产策略实现的最低生产费用。

k=4时,因为4月末交货后的计划存货0件,则S5=0;

第4月的订单需求d4=1万件,则由状态转移方程S

=S4+x4-d4知,S4+x4=1。

5

k=3时,第3月的订单需求d3=5万件,则满足需求有S3+x3≥5;

而仓库的最大存货能力为4万件,则由状态转

移方程S4=S3+-x3d3有S3+x3≤6。

k=2时,第2月的订单需求d2=3万件,则满足需求有S2+x2≥3;

而仓库的最大存货能力为4万件,则由状态

转移方程S3=S2+x2-d2有S2+x2≤7。

k=1时,企业现有存货0件,即S1=0,第1月的订单需求d1=2万件,而仓库的最大存货能力为4万件,则有x

≤6。

第1月生产5万件;

由状态转移方程S2=S1+x1-d

知,S2=3,则第2月生产0件;

再由状

态转移方程S3=S2+x2d2−知,S3=0,则第3月生产6万件;

再由状态转移方程S4=S3+x3-d3

,则第4月生产0件。

5.每年为一个阶段,即阶段变量k=1,2,3,4,5;

知,S4=1

状态变量Sk

表示第k年初所拥有的完好机器台数,已知S1=200;

决策变量xk

表示第k年投入超负荷生产的设备

数,则剩余设备Sk−xk

投入低负荷的生产作业,允许决策集合0≤xk≤Sk;

状态转移方程为S

=(1-α)x+(1-β)(S-x)=0.85S-0.3x;

k+1

k

阶段指标vk(sk,xk)表示第k年的收益,即vk(sk,xk)=12xk+8(Sk-xk)=8Sk+4xk;

最优指数函数fk(Sk)表示第k年从Sk开始到5年末采用最优分配策略实现的最收益;

基本递推方程

边界条件:

f6(s6)=0

k=5,

由于f(s)是关于x

的单增函数,故x

*

=s

时,f(s)

最大,f5(s5)=12s5

k=4,

由于f4(s4)是关于x4

k=3,

4=S4

时,f4(s4)最大,f4(s4)=17.5S4,

由于f3(s3)是关于x3

k=2,

的单减函数,故x3

=0时,f3(s3)最大,f3(s3)=22.875s3。

由于f2(s2)是关于x2

的单减函数,故x

2=0时,f2(s2)最大,fs2()2=27.44375s1。

最优作业安排策略是前三年将低负荷,后两年全部重负荷。

s1=200,而x1

=0,则S2=0.85S1-0.3x1=170台;

理,由x2

=0,则S3=0.85S2-0.3x2=144台;

由x

3

=0,则S4=0.85S3-0.3x3=122台;

由x4

=S4=122台,则

S5=0.85S4-0.3x4=67台;

由x5

=S5=36台。

第七章

1.求得的最小树如下图:

2.

(1)给网络始点v

s

标号(vs,0),并在标号下面画横线表示为永久标号;

并给从vs出发的各弧的点vj赋予临时标号

(ws,v

sj

),不能一步到达的点赋予临时标号(vs,∞)。

(2)在所有临时标号中选择路权最小者,即结点v1,将v1

的临时标号变为永久标号,在标号下画横线。

后,考察从v

出发的各弧的点vj的临时标号:

结点v

的路权d5=min{∞,d1+w

15

}=min

{∞,4+5}=9,则将v5

的临时标号变为(v1,9),并划去其原有较大的临时标号(vs,∞);

同理,对于结点v4,临时标

号变为(v1,8);

对于结点v2,临时标号变为(v1,11);

其他结点标号不变。

(3)依此类推,重复上述标号过程。

当所有标号都是永久标号,即每一个标号下都画上横线时,则标号过程结束。

vt

的后一个标号为vs到vt的最短路权,即14;

根据vt的另一个标号反向追踪求得vs到vt的最短路径为{vs,v3,v2,v6,vt}

3.

(1)网络的中心

从表中可得出:

各列之和的最小值为22,对应的点D即是网络的中心;

也可以根据各行选择最大值,再从中选择最小

值为5,同样对应的点D是网络的中心。

因此,仓库应建在位于网络中心的销售点D。

(2)网络的重心

各列加权之和的最小值为9000,对应的点D是网络的重心位置。

因此,仓库应建在位于网络重心的销售点D。

(3)企业在自建仓库时,一般采用中心法,因为企业自营的仓库不能搬动;

而企业选择租赁仓库时,一般采用重心法,

因为租赁的仓库由于合同期限等原因可以变动位置。

另外,如果企业生产的产品多为创新型产品,这类产品的边际贡献

率高,产品更新速度快,顾客群变动较大,销售区域也有可能发生变化,则选择租赁仓库时宜使用重心法。

4.先根据图写出结点之间的弧权矩阵,如下表所示。

取上表的v

行数据即为d

=w

第一次迭代是d

列的元素与下表中第1-6列对应元素相加取最小,得到d

1j

列;

其余函数迭代过程以此类推。

由于d

4

=d

1j,则迭代结束,此时d

列的各元素,即为v1

到其余各点的最短路权。

再根据d

列各元素的来源,

可以追踪最短路径。

例如,追踪v

到v

的最短路径,对于d

=6,d

+w

=4+2=6计算而得,则

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