九年级数学第12讲 弦弧圆周角与圆心角教案文档格式.docx

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二、复习预习

垂径定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理推论

推论：

推论扩展

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

三、知识讲解

考点1

圆心角、弦、弧

1、什么是圆心角？

答：

顶点在圆心的角叫圆心角.

2、圆心角的度数定理是什么？

答：

圆心角的度数等于它所对弧的度数.（如图所示）

3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

在同圆或等圆中如果两条弦相等，则他们所对的圆心角、弧也相等；

在同圆或等圆中如果弧相等，则他们所对的弦、圆心角也相等。

考点2

圆周角的定理

圆周角定义：

顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

考点3

圆周角定理的推论

1、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

2、半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径

其它推论：

①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.

③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.

④圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.

考点4

直径所对的圆周角：

AB是直径，∠ACB是圆周角，∠ACB=90°

，即半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°

的圆周角所对的弦是直径.

四、例题精析

例1

【题干】如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°

，则∠P的度数为（　　）

A．140°

B．70°

C．60°

D．40°

【答案】B

【解析】解：

∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE=40°

，

∴∠DOE=180°

﹣40°

=140°

∴∠P=

∠DOE=70°

．

故选B．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键

例2【题干】如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°

，则∠BCD等于（　　）

　A．116°

B．32°

C．58°

D．64°

【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°

，继而求得∠A的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．

解：

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°

，∵∠ABD=58°

∴∠A=90°

﹣∠ABD=32°

，∴∠BCD=∠A=32°

．故选B．

例3

【题干】如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°

，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）

　A．50°

B．40°

C．60°

D．70°

【答案】A

连接OC，如图所示：

∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，

∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°

∴∠BOC=40°

又∵CE为圆O的切线，

∴OC⊥CE，即∠OCE=90°

则∠E=90°

=50°

故选A．

例4【题干】．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°

，则∠B＋∠E=°

【答案】215

如图，连接CE，

∵五边形ABCDE是圆内接五边形，

∴四边形ABCE是圆内接四边形，

∴∠B+∠AEC=180∘，

∵∠CED=∠CAD=35∘，

∴∠B+∠E=180∘+35∘=215∘.

故答案为：

215.

例5【题干】如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

过点O作OD⊥BC于D，

则BC=2BD，

∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，

∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°

∴∠BOC=120°

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=

=30°

∵⊙O的半径为4，

∴BD=OB•cos∠OBC=4×

=2

∴BC=4

故选：

B．

例6

【题干】如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°

，则∠C的度数为（　　）

　A．135°

B．122.5°

C．115.5°

D．112.5°

【答案】D

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBC=22.5°

∴∠AOB=180°

﹣22.5°

=135°

∴∠C=（360°

﹣135°

）=112.5°

故选D．

例7

【题干】如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°

，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC的值？

【答案】2

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=∠BCD=90°

∵∠BAC=120°

∴∠CAD=120°

﹣90°

∴∠CBD=∠CAD=30°

又∵∠BAC=120°

∴∠BDC=180°

﹣∠BAC=180°

﹣120°

=60°

∵AB=AC，

∴∠ADB=∠ADC，

∴∠ADB=

∠BDC=

×

60°

∵AD=6，

∴在Rt△ABD中，BD=AD÷

cos60°

=6÷

=4

在Rt△BCD中，DC=

BD=

4

2

例8

【题干】如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°

，则∠DAB等于（　　）

　A．55°

B．60°

C．65°

【答案】C

连结BD，如图，

∵点D是AC弧的中点，即弧CD=弧AD，

∴∠ABD=∠CBD，

而∠ABC=50°

∴∠ABD=

50°

=25°

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB=90°

∴∠DAB=90°

﹣25°

=65°

故选C．

例9

【题干】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．

（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；

（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°

，请直接写出∠DCA的度数．

【答案】解：

（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，

则AE=

AC=

2=1，

∵翻折后点D与圆心O重合，

∴OE=

r，

在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，

即r2=12+（

r）2，

解得r=

；

（2）连接BC，∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

，∵∠BAC=25°

∴∠B=90°

﹣∠BAC=90°

根据翻折的性质，

所对的圆周角等于

所对的圆周角，

∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°

=40°

【解析】

（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=

AC，再根据翻折的性质可得OE=

r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解得r=

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到

所对的圆周角，然后根据∠ACD等于

所对的圆周角减去

所对的圆周角，计算即可得解∠DCA=∠B﹣∠A=65°

课程小结

本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；

由这个结论进一步得到：

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；

相等的圆周角所对的弧相等；

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°

（直角）。

90°

（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。