高考数学总复习立体几何专项训练附解析Word文档格式.docx

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，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为（　　）

A.B．2C.D．2

3．（2019·

珠海摸底）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面△PAB，C为PA中点，PA＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（　　）

A．2B．2

C．6D．2

4．（2019·

湛江调研）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（　　）

A.B.C.D．8π

5．已知正四面体P－ABC的棱长为2，若M，N分别是PA，BC的中点，则三棱锥P－BMN的体积为________．

6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF＋GH＝，则三棱锥F－HGE的体积最大值为________．

答案精析

基础保分练

1．A　2.C　3.B　4.A　5.B　6.C　7.C　8.C　9.4　10.

能力提升练

1．C　[∵圆锥的轴截面是边长为2的正△ABC，

∴圆锥的底面半径r＝1，

母线长l＝2，

表面积S＝πr2＋×

2πr×

l＝π＋2π＝3π.]

2．B　[取AB的中点O1，连接OO1，如图，

在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°

，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为PB＝2OO1＝2.]

3．A　[先作出圆锥的侧面展开图如图所示，

由题得圆锥底面圆的半径为＝2，

所以AA1＝2π·

2＝4π，

所以∠APA1＝＝π，

所以∠APB＝，

所以BC＝＝2.]

4．B　[根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为Q，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×

DQ＝，∴DQ＝4，设球心为O，半径为R，则在Rt△AQO中，OA2＝AQ2＋OQ2，即R2＝12＋（4－R）2，∴R＝，则这个球的表面积为S＝4π2

＝.]

5.

解析　连接AN，作MD⊥PN，交PN于D，

∵正四面体P－ABC的棱长为2，M，N分别是PA，BC的中点，

∴AN⊥BC，PN⊥BC，MN⊥AP，且AN＝PN＝，

∵AN∩PN＝N，AN，PN⊂平面PNA，

∴BC⊥平面PNA，

∵MD⊂平面PNA，∴MD⊥BC，

∵BC∩PN＝N，BC，PN⊂平面PBN，

∴MD⊥平面PBN，

MN＝＝，

∵PN·

MD＝PM·

MN，

∴MD＝＝＝，

∴三棱锥P－BMN的体积

VP－BMN＝VM－PBN＝×

S△PBN×

MD＝×

×

1×

＝.

6.

解析　连接CE，CF，C1E，C1F，HE，HF，GE，GF，

设EF＝m，GH＝n（m>

0，n>

0），

则m＋n＝.

因为S△HGE∶S△C1CE＝n∶2，

所以V三棱锥F－HGE∶

＝n∶2.

又因为

＝

＝×

2×

m＝m，

所以V三棱锥F－HGE＝mn.

因为m＋n＝，

所以m·

n≤＝，

故V三棱锥F－HGE≤

.

空间点、线、面的位置关系

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

2．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c；

④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.

其中正确的命题的个数是（　　）

3．已知E，F，G，H是空间内四个点，条件p：

E，F，G，H四点不共面，条件q：

直线EF和GH不相交．则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是BD的中点，直线AC1与平面A1BD相交于点M，则下列结论正确的是（　　）

A．A1，M，O三点共线

B．A，O，M，A1不共面

C．A1，M，C1，O不共面

D．B1，B，O，M共面

5.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，则下列说法正确的是（　　）

A．EF与GH平行

B．EF与GH异面

C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

D．EF与GH的交点M一定在直线AC上

6．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（　　）

A.B.C.D.

7.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，错误的是（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）

A．直线AA1

B．直线A1B1

C．直线A1D1

D．直线B1C1

9．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10．给出下列四个说法：

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

其中正确说法的是________．（填序号）

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）

A．不存在B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有无数条

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的平面被正方体所截得的图形是（　　）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）

A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）

4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（　　）

5．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.

6.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

1．D　2.C　3.A　4.A　5.D　6.A　7.C

8．D　9.5　10.②③

1．D　[如图所示，在EF上任意取一点M，

则直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点．]

2．D　[如图所示，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交BB1于E，连接PE，

则PE，RE为截面的两条边．作RG∥PQ交C1D1于G，

同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交DD1于F，连接QF.

故截面为六边形PQFGRE.]

3．A　[此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，易知a大于0且小于.]

4．D　[A，B，C中四点一定共面，D中四点不共面．]

5．8

解析　观察知，直线CE与正方体的前后左右四个面所在的平面相交，所以m＝4；

直线EF与正方体的上下前后四个面所在的平面相交，所以n＝4.

所以m＋n＝8.

解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，

由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，

∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝＝.

平行的判定与性质

1．若a，b表示直线，α表示平面，且b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（　　）

2．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．不存在B．有1条

C．有2条D．有无数条

5．下列说法正确的是（　　）

A．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β

B．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β

C．若两直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2

D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等，则l∥α

6．有下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；

④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．

A．1B．2C．3D．4

7．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的（　　）

A．一条确定直线B．所有直线

C．无数条平行直线D．任意一条直线

8．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（　　）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，不一定在平面α内

D．有无数条，一定在平面α内

9．如图所示是某长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

第9题图　　　　　　　第10题图

10．如图是一个正方体的表面展开图，B，N，Q都是所在棱的中点，则在原正方体中有以下命题：

①AB与CD相交；

②MN∥PQ；

③AB∥PE；

④MN与CD异面；

⑤MN∥平面PQC.其中为真命题的是________．（填序号）

1．下列说法中正确的是（　　）

①如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的无数条直线平行；

②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；

③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．

A．①②③B．①③C．②③D．①②

2．如图，下列正三棱柱ABC－A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　）

3．已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中正确的命题是（　　）

A．①④B．②③C．①②③D．②③④

4.在四棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为（　　）

A.B.C．45D．45

5．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；

②a∥γ，b∥β；

③b∥β，a⊂γ.

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．（把所有正确条件的序号都填上）

6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________.

1．D　2.B　3.C　4.D　5.A　6.A　7.C

8．B　9.平行四边形　10.①②④⑤

1．D　[由线面平行的性质定理知①正确；

由直线与平面平行的定义知②正确；

③错误，经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面与原直线平行．]

2．C　[在A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；

在D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP，故选C.]

3．D　[对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；

对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；

对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；

对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面（除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外）均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．]

4．A　[如图所示，取AC的中点G，连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，

故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，

则SB∥HD.同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF∥AC且HF＝AC，

DE∥AC且DE＝AC，

所以四边形DEFH为平行四边形．

又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·

HD＝·

5．①③

解析　①中，由b⊂β，b⊂γ，得β∩γ＝b，

又a∥γ，a⊂β，所以a∥b（线面平行的性质定理）．③中，由α∩β＝a，a⊂γ得β∩γ＝a，又b∥β，b⊂γ，所以a∥b（线面平行的性质定理）．

6．24或

解析　设BD＝x，由α∥β可得AB∥CD，则△PAB∽△PCD，即＝.

①当点P在两平面之间时，如图

（1）所示，则有＝，∴x＝24；

②当点P在两平面外侧时，如图

（2），则有＝，∴x＝.

垂直的判定与性质

1．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（　　）

A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α

B．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α

C．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n

2．已知两个平面垂直，下列命题：

①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确的个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°

，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P－ABC中共有直角三角形个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

4．“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是（　　）

A．直线l与平面α内的任意一条直线垂直

B．过直线l的任意一个平面与平面α垂直

C．存在平行于直线l的直线与平面α垂直

D．经过直线l的某一个平面与平面α垂直

5．已知直线l，m和平面α，则下列结论正确的是（　　）

A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l∥α，m⊂α，则l∥m

6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；

②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；

③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.

A．①②B．③④C．①③D．②④

7．（2019·

沈阳东北育才学校联考）设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（　　）

A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n

8．已知在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不正确的是（　　）

A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

9.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：

①AE⊥BC；

②EF⊥PB；

③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.

其中真命题的序号是________．

10．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α且b∥α，则a∥b；

②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；

③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；

④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.

上面命题中，所有真命题的序号是________．

1．已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：

①β⊥γ；

②l⊥α；

③m⊥β；

④α⊥β.

其中正确的是（　　）

A．①④B．②④C．②③D．③④

2.如图所示，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有（　　）

A．平面ABD⊥平面ADC

B．平面ABD⊥平面ABC

C．平面ADC⊥平面BDC

D．平面ABC⊥平面BDC

4．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在直线进行翻折，在翻折过程中（　　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直

5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊥α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中的真命题是________．（填序号）

6.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′＝________.

1．A　2.B　3.A　4.D　5.B　6.D　7.B

8．C　9.①②④　10.②③④

1．B　2.D

3．C　[∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BDC，

∴AD⊥平面BDC，

又AD⊂平面ADC，

∴平面ADC⊥平面BDC.]

4．B　[在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，连接CE.在翻折过程中，AE⊥BD，假设存在某个位置使AC⊥BD，则BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，由条件知BD与CE不垂直，故A错误；

对于C，在翻折过程中，若AD⊥BC，则AD⊥平面ABC，得AD⊥AC，从而△ACD为直角三角形，得∠CAD＝90°

，而CD<

AD，这种情况是不可能的，故C错误；

若AB⊥CD，由BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，则CD⊥AC，则AB＝CD＝1，BC＝AD＝，可得AC＝1，那么存在AC＝1这样的位置，使得AB⊥CD成立，故B正确，D错误．]

5．①④

解析　若m⊥α，m⊂β，由线面垂直的相关性质可得面面垂直，即α⊥β，①正确；

若m⊥α，n⊂α，m∥β，n∥β，由线面垂直与线面平行的相关性质可得α⊥β，②错误；

如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，也可出现n与α平行，