空间解析几何与向量代数.docx

空间解析几何与向量代数.docx

《空间解析几何与向量代数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间解析几何与向量代数.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

空间解析几何与向量代数

第七章空间解析几何与向量代数

一、知识考点精要

向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量、方向数与方向余弦。

曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直线方程，平面与平面，平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标的旋转曲面的方程，常用的二次曲面方程及其图莆，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

（一）向量代数

1.向量的概念

具有大小和方向的量称为向量（失量），我们只研究与起点无关的自由向量。

只有大小，没有方向的量叫做标量（数量）

向量a的大小（或长度）称为它的模，记做|a|。

模为零的向量称为零向量，记做0。

模为1的向量称为单位向量，向量a的单位向量记做，显然。

设向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则，，称为向量a的方向余弦，它们满足等式

=1

把向量a与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为

把向量a的起点与空间直角坐标系原点相重合，则其终点的坐标（ax，ay，az），于是有

0={0，0，0}，

设，为空间两点，以M1为始点，M2为终点的向量，其模为，其模为（即为点M1到M2的距离）。

于是

2．向量的运算

（1）加法。

把向量b的起点移到向量a的终点，则以a的起点为起点，b的终点的向量称为向量a与b的和，记做c=a+b。

用坐表示，若，，则a+b={}

（2）数乘。

实数与向量a=数乘是一个向量，记做a，当>0时，向量a与a

同向，当<0时，a与a反向，且|a|=|||a|，用坐标表示有

a={}。

加法与数乘有以下性质

①a+b=b+a②（a+b）+c=a+（b+c）③a+0=a（4）a+（-a）=0

⑤（a）=（a）⑥（+）a=a+a⑦（a+b）=a+b

（3）点乘（数量积或内积）。

向量与b=的点乘是一个数

|a|b|（其中表示之间的夹角）记做a·b，

即a·b=|a|b|。

用坐标表示为a·b=。

点乘的性质

①a·b=b·a②（a）·b=（a·b）③（a+b）·c=a·c+b·c

④a⊥b的充要条件是a·b=0，简记a⊥ba·b=0

这里a⊥b表示a与b垂直（或正交），常把a·a记做a2=|a|2。

（4）叉乘（向量积或外积）。

两个向量与叉乘是一个向量，记做ab，它的模为|ab|=|a||b|sin，方向垂直于a,b,且使a,b,ab成右手系。

若向量a或b为零向量时，则定义ab=0，用坐标表示为

叉乘的性质：

①②③④a∥b的充要条件是,简记a∥b,其中记录“∥”有示两向量平行。

（5）混合积：

称为向量的混合积，其几何意义是以向量a,b,c为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。

用坐标表示为

混合积的性质：

①混合积中相邻的两个向量位置互换一次，则混合积变号，即

②三个向量a,b,c共面的充要条件是。

3．向量在有向轴上的投影

已知空间一点A以及一有向轴u，通过点A作轴u的垂直平面π，那么平面π与轴u的交点称为点A在轴u上的投影。

u°是与轴u同方向的单位向量，若向量u°,那么称为轴u上的有向线段，并称λ为有向线段的值。

空间一向量的起点和终点在轴u上的投影记为和，则有向线段的值称为向量在轴u上的投影，记做。

向量b在向量上的投影为

，其中

（二）空间解析几何

1．直线、平面和曲面

平面方程

点法式方程

其中为平面上一定点，n={A,B,C}为平面的法向量

一般式方程

n={A,B,C}为平面的法向量

截距式方程

其中a,bc依次为平面在x,y,z轴上的截距

三点式方程

平面过空间三点

直线方程

点向（对称）式方程

其中为直线上一定点，s={l,m,n}为直线的方向向量

参数式方程

直线过点，它的方向向量s={l,m,n}

交线式方程

其中为两个平面的法向量，∥

曲面方程

椭球面方程

当或b=c或c=a时为旋转椭球面

双曲面方程

单叶双曲面

双叶双曲面

（二次）锥面方程

抛物面方程

其中pq>0

柱面方程

F（y,z）=0,母线平行于x轴F（x,z）=0,母线平行于y轴F（x,y）=0，母线平行于z轴

旋转曲面方程

母线

2.点、直线、平面之间的关系

（1）两个平面之间的关系

平面，其中为平面的法向量，平面，其中为平面的法向量。

两平面相交

？

即不成立

两平面垂直

两平面平行

两平面重合

设与之间的夹角？

满足

（2）两条直线之间的关系

设直线，其中为的方向向量，为经过的一点。

直线，其中为的方向向量，为经过的一点。

两直线不共面

，即混合积，这里

两直线不共面但相互重直

，但

两直线垂直相交

，且

两直线平行

∥,即

两直线重合

∥∥

直线与直线之间的夹角满足

（3）平面与直线关系

设平面，直线，这里为平面的法向量，为直线方向向量

平面π与直线L相交不成立，即

平面π与直线L垂直n∥s，即

平面π与直线L平行，即

直线L在平面π上且，这里为直线L上的一点。

直线L与平面π的夹角满足

（4）空间一点到平面的距离

（5）空间点到直线的距离为为L上的点

（6）直线与不平行，则与的距离为

（7）过直线的平面束方程为或x+B1y+C1z+D1+（）=0，其中，为参数（两个线性方程的系数不成比例）。

3．母线平行坐标轴的柱面方程及空间曲线在坐标平面上的投影

设空间，消去联立方程组中的变量中的变量后得方程为，该方程表示一个以C为准线，母线平行z轴的柱面，称为空间曲线C关于xOy坐标面的交线：

，称为空间曲线C在xOy面上的投影曲线。

三教材习题同步解析

习题7-1

8．在yOz面上，求与三点A（3,1,2）,B（4,-2,-2）和C（0,5,1）等距离的点。

解设所求的点的坐标为D（0,y,z），则|DA|=|DB|=|DC|，即

，解得y=1,z=-2，故所求的点为（0,1,-2）。

9．试证明以三点A（4,1,9）,B（10,-1,6）,C（2,4,3）为顶点的三角形是等腰直角三角形。

证明

显然。

故以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形。

习题7-2

2．如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。

图7-2

P269

证明依题意，。

，故ABCD是平行四边形。

3．把ΔABC的BC边五等份，设分点依次为，再把各分点与点A连接。

试以表示向量和。

解

图7-3

P270

习题7-3

2．一向量的终点在点B（2,-1,7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7。

求这个向量的起点A的坐标。

解设点A（x,y,z），依题意，2-x=4,-1-y=-4,7-z=7，从而x=-2,y=3,z=0。

故点A的坐标为（-2，3，0）。

4．设已知两点和。

计算向量的模、方向余弦和方向角。

解

。

7．设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k。

求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量。

解a=4m+3n-p=13i+7j+15k。

从而向量a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j。

+

8．求平行于向量a={6,7,-6}的单位向量。

解

习题7-4

2．设a,b,c为单位向量，且满足a+b+c=0求。

解=

=）故。

3．已知和。

求与同时垂直的单位向量。

解。

图7-4

P271

4．设质量为100kg的物体从点沿直线移动到点，计算重力所作的功（长度单位为m，重力方向为z轴负方向。

）

解

。

5．在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用

着，在O的另一侧与点O的距离为的点处，有一与成角的力作用着（图7-4）。

问符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

解要使杠杆保持平衡，必须保证力矩为零，即

6．求向量在向量上的投影。

解

7．设a={3,5,-2},b={2,1,4},问λ与μ有怎样的关系，能使得与z轴垂直？

解,要使与z轴垂直，只要，即，从而。

8．试用向量证明直径所对的圆周角是直角。

证明

图7-5

P272

故。

9．已知向量和，计算：

（1）

（2）（3）。

解

（1）

=

（2）

（3）

10．已知，求ΔOAB的面积。

解

。

11．已知，

（1）试利用行列式的性质证明

（2）试利用混合积的几何意义证明三向量a,b,c共面的充分必要条件是：

证明

（1）

同理故

故（ab）·c=（bc）·a=（ca）·b

（2）a,b,c共面以a,b,c为棱的平行六面体的体积V=0，V=|[abc]|=

V=0=0

12.试用向量不等式证明不等式

，其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数。

并指出等号成立的条件。

证明设a=,b={}，

则=

故。

当||=1，即ab，亦即时，等号成立。

习题7-5

3.方程表示什么曲面？

解由，得，因此方程表示以为球心，以为半径的球面。

4．求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1:

2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面。

解设为曲面上任一点，则为球心，以为半径的球面。

5．将xOz坐标面上的抛物线绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解，即。

7．将xOy坐标面上的双曲线分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程为：

。

绕y旋转一周所生成的旋转曲面方程为

习题7-6

3．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程。

解从方程组中消掉x得即为通过曲线而母线平行于x轴的柱面方程。

从方程组中消掉y得即为通过曲线而母线平行于y轴的柱面方程。

4．求球面与平面x+z=1的交线在xOy面上的投影的方程。

解由x+z=1得z=1-x，代入得。

从而所求的投影曲线方程为。

5．将下列曲线的一般方程化为参数方程：

（1）

（2）

解

（1）将y=x代入得令，则z=3sint，故所求的参数方程为

（2）将z=0代入得，令，则,故所求的参数方程为

6．求解旋线，在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。

解由得，从而在xOy面上的投影曲线方程为

由得代入得，故螺旋线在yOz面上的投影曲线方程为

将，从而螺旋线在xOz面上的投影曲线方程为。

7．求上半球与圆柱体的公共部分在xOy和xOz面上的投影。

解由，知在xOy面上的投影曲线方程为，从而立体在xOy面上的投影为。

由，知在xOz面上的投影曲线方程为，从而立体在xOz面上的投影为。

8．求旋转抛物面在三个坐标面上的投影。

解由得，从而抛物面在xOy面上的投影为。

由得，从而抛物面在yOz面上的投影为

同理抛物面在xOz面上的投影为。

习题7-7

3．求过A（1,1,-1）、B（-2,-2,2）和C（1,-1,2）三点的平面方程。

解，故所示方程为，即

5．求平面与各坐标面的夹角的余弦。

解设平面与yOz面，xOz面及xOy面的夹角分别为，且记n={2,-2,1}则

。

6．一平面过点（1,0,-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0},试求这平面方程。

解。

所求平面方程为x-1+y-3（z+1）=0，即x+y-3z-4=0。

7．求三平面的交点。

解解方程组得所以（1,-1