厦门市数学试题及答案文档格式.docx
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12.一名警察在高速公路上随机观察了6辆车的车速,如下表所示:
车序号
1
2
3
4
5
6
车速(千米/时)
85
100
90
82
70
则这6辆车车速的众数是千米/时.
13.已知图1所示的图形是由6个大小一样的正方形拼接而成的,此图形能否折成正方体?
(在横线上填“能”或“否”).
14.已知摄氏温度(℃)与华氏温度(℉)之间的转换关系是:
摄氏温度=
×
(华氏温度-32).若华氏温度是68℉,
则摄氏温度是℃.
15.已知在Rt△ABC中,∠C=90°
,直角边AC是直角边BC的2倍,则sin∠A的值
是.
16.如图2,在平行四边形ABCD中,AF交DC于E,交BC的延长线于F,若∠DAE=20°
,∠AED=90°
,则∠B=度;
若
=
,AD=4厘米,则CF=厘米.
17.在平面直角坐标系中,O是坐标原点.点P(m,n)在反
比例函数y=
的图象上.若m=k,n=k-2,则k=;
若m+n=
k,OP=2,且此反比例函数y=
满足:
当x>0时,y随x的增大而减小,则k=.
三、解答题(本大题共9小题,共89分)
18.(本题满分8分)计算
÷
+1.
19.(本题满分8分)一次抽奖活动设置了如下的翻奖牌,如果你只能有一次机会在9个数字中选中一个翻牌,
(1)求得到一架显微镜的概率;
(2)请你根据题意写出一个事件,使这个事件发生的概率是
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
一架
显微镜
两张
球票
谢谢
参与
一张
唱片
一副
球拍
翻奖牌正面翻奖牌反面
20.(本题满分8分)已知:
如图3,AB是⊙O的弦,点C在
上,
(1)若∠OAB=35°
,求∠AOB的度数;
(2)过点C作CD∥AB,若CD是⊙O的切线,
求证:
点C是
的中点.
21.(本题满分9分)某种爆竹点燃后,其上升的高度h(米)和时间t(秒)符合关系式
h=v0t-
gt2(0<t≤2),其中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升,
(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?
(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.
22.(本题满分10分)已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件:
①
AC⊥BD;
②AC平分对角线BD;
③AD∥BC;
④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个
条件作为命题的题设,以“四边形ABCD是菱形”作为命题的结论,
(1)写出一个真命题,并证明;
(2)写出一个假命题,并举出一个反例说明.
23.(本题满分10分)已知:
如图4,在△ABC中,D是AB边上的一点,BD>AD,
∠A=∠ACD,
(1)若∠A=∠B=30°
,BD=
,求CB的长;
(2)过D作∠CDB的平分线DF交CB于F,
若线段AC沿着AB方向平移,当点A移到点D时,
判断线段AC的中点E能否移到线段DF上,并说明理由.
24.(本题满分12分)已知抛物线的函数关系式:
y=x2+2(a-1)x+a2-2a(其中x是自变量),
(1)若点P(2,3)在此抛物线上,
①求a的值;
②若a>0,且一次函数y=kx+b的图象与此抛物线没有交点,请你写出一个符合条件的一次函数关系式(只需写一个,不必写出过程);
(2)设此抛物线与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0).若x1<
<x2,且抛物线的顶点在直线x=
的右侧,求a的取值范围.
25.(本题满分12分)已知:
如图5,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,连结OA、OB、OP,
(1)若∠AOP=60°
,求∠OPB的度数;
(2)过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点,
①若∠COP=∠DOP,求证:
AC=BD;
②连结CD,设△PCD的周长为l,若l=2AP,
判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
26.(本题满分12分)已知点P(m,n)(m>0)在直线y=x+b(0<b<3)上,点A、B在x轴上(点A在点B的左边),线段AB的长度为
b,设△PAB的面积为S,且S=
b2+
b,
(1)若b=
,求S的值;
(2)若S=4,求n的值;
(3)若直线y=x+b(0<b<3)与y轴交于点C,△PAB是等腰三角形,当CA∥PB时,求b的值.
数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共7小题,每小题3分,共21分)
题号
选项
A
B
D
D
C
8.3.9.130度.10.
.11.x>2.12.82千米/时.13.能.
14.20℃.15.
.16.70度;
2厘米.17.3;
2.
18.(本题满分8分)
解:
+1=
·
+1……1分
=
+1……5分
=x-1+1……7分
=x.……8分
19.(本题满分8分)
(1)解:
.……4分
(2)解:
如得到“一副球拍”或得到“两张球票”或
得到“一架显微镜或谢谢参与”.……8分
20.(本题满分8分)
∵OA=OB,……1分
∴∠OAB=∠OBA.……2分
∵∠OAB=35°
……3分
∴∠AOB=110°
.……4分
(2)证明:
连结OC,交AB于E.
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD.……5分
∵CD∥AB,∴∠OEB=∠OCD.∴OE⊥AB.……6分
∵OA=OB,∴△AOB是等腰三角形,
∴OE是等腰三角形AOB顶角的平分线.
即∠AOE=∠BOE.……7分
∴
.∴点C是
的中点.……8分
21.(本题满分9分)
由已知得,15=20t-
10×
t2,……1分
整理得,t2-4t+3=0.解得,t1=3,t2=1……2分
当t=3时,不合题意,舍去.……3分
∴当爆竹点燃后1秒离地15米.……4分
由题意得,h=-5t2+20t.……5分
∴顶点的横坐标t=-
……6分
=2.……7分
或:
h=-5(t-2)
+20……6分
∴顶点的横坐标t=2.……7分
又∵-5<0,∴抛物线开口向下.……8分
∴在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,爆竹在上升.……9分
22.(本题满分10分)
(1)真命题:
如图,已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AC⊥BD,AC平分对角线BD,AD∥BC,则四边形ABCD是菱形.……2分
证明:
∵AD∥BC,∴∠CBO=∠ADO.
∵AC垂直平分BD,∴Rt△AOD≌Rt△COB.
∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.……3分
∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.……4分
(2)假命题1:
已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AC⊥BD,AC平分对角线BD,∠OAD=∠ODA,则四边形ABCD是菱形.……6分
反例:
作等腰直角三角形ABD,∠A=90°
,
以BD为一边,作等边三角形BCD,连结AC、BD交于点O.
则AC⊥BD,AC平分对角线BD,∠OAD=∠ODA……9分
但四边形ABCD不是菱形.……10分
假命题2:
已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AC⊥BD,AD∥BC,∠OAD=∠ODA,则四边形ABCD是菱形.……6分
作等腰直角三角形AOD,∠AOD=90°
.延长DO至B,AO至C,
取OB=OC(OB≠OD).连结AB、BC、CD,
则AC⊥BD,AD∥BC,∠OAD=∠ODA.……9分
则四边形ABCD是等腰梯形,不是菱形.……10分
假命题3:
已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.若AC平分对角线BD,AD∥BC,∠OAD=∠ODA,则四边形ABCD是菱形.……6分
作等腰三角形AOD(OA=OD,∠AOD≠90°
).
延长DO至B,AO至C,
取OB=OC=OA=OD.连结AB、BC、CD,则AD≠AB,
AC平分对角线BD,AD∥BC,∠OAD=∠ODA.……9分
则四边形ABCD是矩形,不是菱形.……10分
23.(本题满分10分)
∵∠A=∠ACD=30°
∴∠CDB=60°
.……1分
又∵∠B=30°
∴∠DCB=90°
.……2分
在Rt△BDC中,cosB=
,……3分
∴BC=BD·
cosB=
.……4分
(2)解:
∵∠CDB=∠A+∠ACD,且DF是∠CDB的平分线,
∴2∠FDB=2∠A,∴∠FDB=∠A.∴AC∥DF.……5分
方法1∵∠FDB=∠A,∠B=∠B,
∴△BDF∽△BAC.……6分
.
∵BD>AD,∴
>
.……7分
.……8分
∵E是AC的中点,∴
>1.
即DF>AE.……9分
∴点E可以移到线段DF上.……10分
方法2:
记点M为线段AB的中点,∵BD>AD,
∴点M在线段BD上.过M作MN∥AC交BC于N.
∵∠BMN=∠A,∠B=∠B,
∴△BMN∽△BAC.……6分
.……7分
∴N是BC的中点.
∵MN∥AC,AC∥DF,∴MN∥DF.∵点M在线段BD上,
∴点N在线段BF上.
∴MN<DF.……8分
∵M为AB的中点,N是BC的中点,∴MN=AE.
∴AE<DF.……9分
方法3:
∵∠BMN=∠A,∠B=∠B,
∴△BMN∽△BAC.……6分
∴
.……7分
∵E为AC的中点,∴MN=
AC=AE.
∵MN∥AC,AC∥DF,∴MN∥DF.
∵点M在线段BD上,
∴
<1……8分
∴MN<DF.
∴AE<DF.……9分
方法4:
如图,延长DF至G,使得DG=AC.
∴四边形ADGC是平行四边形.
∴CG∥AB.
∴∠CGF=∠FDB,∠GCF=∠FBD.
∴△CFG∽△BFD.……6分
∵CG=AD,AD<DB.
<1.……7分
即
<1.∴GF+FD<2FD.∴
∴FD>
AC.……8分
又∵E是AC的中点,
∴FD>AE.……9分
24.(本题满分12分)
(1)①解:
由题意得,3=4+2(a-1)×
2+a2-2a,……1分
整理得,a2+2a-3=0.……2分
解得,a1=-3,a2=1.……4分
②解:
y=x-2.……7分
(2)由题意得,x2+2(a-1)x+a2-2a=0……8分
解得,x1=-a,x2=-a+2.……9分
∵x1<
<x2,∴-a<
<-a+2.
解得-
<a<2-
.……10分
可以解得顶点坐标为(1-a,-1).……11分
∴1-a>
,解得a<
∴-
<a<
.……12分
25.(本题满分12分)
∵PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,
∴∠OAP=90°
∵∠AOP=60°
,∴∠OPA=30°
.……2分
∴∠OPB=∠OPA=30°
.……3分
(2)①证明:
∵∠COP=∠DOP,∠CPO=∠DPO,PO=PO,
∴△OCP≌△ODP.……4分
∴CP=DP.……5分
∵PA、PB是⊙O的切线,∴PA=PB.……6分
∴AC=BD.……7分
②证明1:
连结CD.∵l=2AP,PA=PB,
∴CD=AC+BD.……8分
∵OA=OB,且∠OAC=∠OBD=90°
∴将△OAC绕点O逆时针旋转,使点A与B重合.……9分
记点C的对称点为C1,∴AC=BC1,OC=OC1.
∵∠OAC=∠OBD=90°
,∴点C1在PB的延长线上.
∵OC1=OC,DC1=DC,OD=OD,
∴△OC1D≌△OCD.……10分
∴过O作OE⊥CD,E是垂足.即OE是点O到直线CD的距离,
C1D×
OB=
CD×
OE.
∴OB=OE.……11分
∴直线CD与⊙O相切.……12分
证明2:
过O作OE⊥CD.设OE=d,CE=x,DE=y.
∴d2=AC2+AO2-x2,d2=BD2+AO2-y2,
∴AC2-BD2+y2-x2=0……8分
∴(AC+x)(AC-x)=(BD+y)(BD-y)
∵l=2AP,PA=PB,∴x+y=AC+BD.……9分
∴AC-x=y-BD.
∴(AC+x)(y-BD)=(BD+y)(BD-y).
∴(y-BD)(AC+x+BD+y)=0.……10分
∵(AC+x+BD+y)≠0,∴y-BD=0.
∴BD=y.……11分
∴d=AO.∴直线CD与⊙O相切.……12分
26.(本题满分12分)
(1)解:
∵b=
,∴S=
+
……1分
∵S=4,∴4=
b.……3分
∴b2+b-6=0.解得b=-3(舍去),b=2.……4分
∴AB的长度为
∵S=
n,∴
n=4.……5分
∴n=3.……6分
(3)解:
∵S=
b,S=
n,
∴
b·
n=
b.∵b≠0,
∴n=b+1.∴m+b=b+1.∴m=1.
∴P(1,b+1).……7分
过P作PD垂直x轴于点D,则点D(1,0).
PD-AB=b+1-
b=1-
b.……8分
∵0<b<3,∴1-
b>0.……9分
∴PD>AB.∵PA≥PD,PD>AB,∴PA≥PD>AB,即PA>AB.
∴PA≠AB.同理PB≠AB……10分
∵△PAB是等腰三角形,∴PA=PB.∴A(1-
b,0),B(1+
b,0)
方法1:
∵CA∥PB,∴∠OAC=∠DPB,∴Rt△AOC∽Rt△BDP.
.∴
.……11分
∴4b2-b-3=0.∴b=1或b=-
(不合题意,舍去).
∴b=1.……12分
方法2:
延长PA交y轴于点C1,∵PA=PB,
∴∠CAO=∠PBA=∠PAB=∠OAC1.∴Rt△AOC≌Rt△AOC1.
∴OC1=OC,∴C1(0,-b).设直线PA的解析式为:
y=kx+t.
则有
解得,
∴直线PA的解析式为:
y=(2b+1)x-b.……11分
∴0=(2b+1)(1-
b)-b.∴4b2-b-3=0.
∴b=1或b=-
(不合题意,舍去).∴b=1.……12分