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尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案（第二版）数学与统计学学院December24,20151第20-21页（拓扑空间）练习1（1.）.写出集合X=a,b上的所有拓扑解1=/0,X；2=a,b,/0,X；3=a,/0,X；4=b,/0,X练习2（2.）.设X=x,y,z，下列子集族是不是X的拓扑？

如果不是，请添加最少子集使它们成为拓扑

（1）X,/0,x,y,z；

（2）X,/0,x,y,x,z；（3）X,/0,x,y,x,z,y,z解

（1）是

（2）不是添加x（3）不是添加x,y,z练习3（3.）.在R上规定子集族=（,a）|aR/0,R，则是拓扑证明只需证明对有限交和任意并是封闭的显然对任意两个实数a,b，不妨假设ab，则（,a）（,b）=（,a）任取AR，令=supA（可以是+），则aA（,a）=（,）1练习4（4.）.设是X上的拓扑，A是X的一个子集，则=AU|U/0也是X的拓扑证明显然/0,X设U1,U2，则（AU1）（AU2）=A（U1U2）任取U，则UU（AU）=A（UUU）.练习5（4.）.证明X上任意一族拓扑之交仍是X上的拓扑证明设|是X的一族拓扑，=1.显然/0,X；（a）任取U1,U2，则对任意的有U1,U2由于是拓扑，有U1U2，所以U1U2；（b）任取A，则A对任意的成立由于是拓扑，有UAU，从而UAU练习6（6.）.R2中的子集A=（x,sin1x）:

x（0,1），求A解首先（1,sin1）A，因它的每个邻域都与A有交；其次01,1A，因为x1,1，点（0,x）的任何邻域与A有交；最后，显然AA除此之外，其它的点都有邻域和A无交，所以A=（01,1）（x,sin1x）:

x（0,12练习7（7.）.在实数集R上装备拓扑=（,a）|a+，求单点集的闭包证明设A=x是实数集的单点集当yx时，任取y的邻域（,a）（其中ay）都包含x，故yA；当yd（x,a）r0=12（d（x,a）+r）r,*即y/Bx,r，再由y的任意性有B（a,r0）Bx,rc反例：

在多于一点的离散空间X，有Bx,1=X，但B（x,1）=x练习9（9.）.设X是拓扑空间，G是X的开集证明GA（GA）证明任取xGA，则对x的任意的开邻域U，有UA=/0因UG是x的开邻域，所以（UG）A=/0，即U（GA）=/0，所以x（GA）练习10（10.）.设A1,An都是X的闭集，并且A1An=X，BX，则B是X的闭集当且仅当对每个i，BAi是Ai的闭集证明如果B是X的闭集，则BAi是Ai的闭集反之，如果每个BAi都是Ai的闭集，则BAi是X的闭集与Ai的交集又因为Ai是X的闭集，所以每个BAi都是X的闭集，从而B=BX=（BA1）（BAn）是X的闭集3练习11（11.）.设Y是X的子空间，xY，则xDY（A）当且仅当xDX（A），即DY（A）=DX（A）Y，这里，DY（A）表示A在Y中的导集证明任取xDY（A），则对x在X中的任意邻域U有（UY）（Ax）=/0，所以U（Ax）=/0，从而xDX（A）又xY，所以xDX（A）Y反之，任取xDX（A）Y，则存在x在X中的邻域U使得U（Ax）=/0因AY，所以U（Ax）=U（Y（Ax）=（UY）（Ax）=/0，因此xDY（A）练习12（12.）.设Y为拓扑空间X的子空间，BA证明：

（1）ClA（B）=ClX（B）A，这里，ClA（B）表示B在A中的闭包

（2）BA=A（AB），这里BA表示B在A中的内部；（3）如果A是X的开集，则BA=B，证明

（1）由上题得：

ClA（B）=DA（B）B=（DX（B）A）（BA）=（DX（B）B）A=ClX（B）A.

（2）AABA（AB）=B，且AAB=A（AB）c是A的开集，所以AABBA另一方面，任取xBA，则存在x在X中的邻域U使得UAB于是，U（AB）=（UA）（AB）=/0，所以x/AB，因此xAAB证明（续）（3）如果A是开集，则由上面的结论可知BA=AAB=A（AB）c是X的开集，从而BAB*另一方面，任取xB，则存在x在X中的开邻域U满足UB这个U=UA也是x在A中的开邻域，因此xBA练习13（13.）.余可数拓扑空间X的序列xn收敛于a的充分必要条件是该序列的尾部是a证明如果xn的尾部是a，则xn显然收敛于a；如果xn收敛于a，取a邻域U=（Xxn|nN）a，则当n充分大时，xn在U内，即存在NN，使得当nN时，有xnU，从而xn=a4练习14（14.）.在R上规定拓扑=（,a）|aR+,，则这个拓扑空间是可分的证明有理数集显然是稠密子集可分性练习15（15.）.证明：

A是X的稠密子集当且仅当X的每个非空开集与A相交证明提示：

X的每个点都是A的闭包点练习16（16.）.证明：

如果A是B的稠密子集，B是X的稠密子集，则A是X的稠密子集证明由于A在B中稠密，所以AB=AB=B，于是BA两边取闭包得BA=A另一方面，B在X中稠密，所以B=X于是有X=BAX，因此A=X练习17（17.）.若A,B都是X的稠密子集，并且A是开集，则AB也是X的稠密子集证明如果A是开集，则有AB=AB事实上，任取xAB，则对x的任意的邻域Ux有Ux（AB）=/0*任取yUxAB，则因yB且UxA是y的邻域，有Ux（AB）=（UxA）B=/0，从而可知xAB，这样我们就证明了ABAB*相反的包含式是显然的由于B=X，所以A=AB=AB又由于A=X，得X=AB，因此AB稠密2第28-29页连续映射练习18（1.）.设f:

XY，证明下列命题等价：

（1）f连续；

（2）对X的每一子集A，有f（A）f（A）；（3）对Y中的每一子集B，有f1（B）f1（B）；（4）对Y中的每一子集B，有f1（B）f1（B）5证明：

（1）

（2）假设对Y的任意闭集F，f1（F）是X的闭集下证对X的任意子集A，有f（A）f（A）首先注意Af1f（A）f1f（A）*因为f（A）是Y的闭集，由假设知f1f（A）是X闭集*所以有Af1f（A）=f1f（A），*于是得f（A）f（f1f（A）f（A）证明：

（2）（3）假设对X的任意子集A，有f（A）f（A）下证对Y的任意子集B，有f1（B）f1（B）对集合f1（B）应用假设条件，并注意ff1（B）B，得f（f1（B）ff1（B）B,*所以f1（B）f1f（f1（B）f1（B）证明：

（3）

（1）假设对Y的每一个子集B，有f1（B）f1（B）则对Y的闭子集F有f1（F）=f1（F）f1（F）f1（F）,*即f1（F）=f1（F），于是f1（F）是X的闭集。

证明：

（4）

（1）（4）

（1）假设对Y中的每一子集B，有f1（B）f1（B）*则对Y的开集B有f1（B）=f1（B）f1（B）f1（B）,所以有f1（B）=f1（B），因此f1（B）是X的开集。

*

（1）（4）设f连续，则f1（B）是开集由于f1（B）f1（B），所以有f1（B）f1（B）6练习19（2.）.设BY，i:

BY是包含映射证明f:

XB连续当且仅当if:

XY连续证明包含映射显然连续，这是因为对Y的任意开集V，有i1（V）=VB是B的开集如果f连续，则if连续下设if连续，则对Y的任意开集V有（if）1（V）是X的开集但（if）1（V）=f1（i1（V）=f1（VB），所以对B的任意开集VB其f原像是X的开集，即f连续练习20（3.）.设f:

XY为同胚映射，AX，则f|A:

Af（A）也是同胚映射证明f|A连续且f1|f（A）连续，直接验证可得f1|f（A）是f|A的逆练习21（4.）.证明下面几个空间相互同胚：

（）X1=R2O；（）X2=（x,y,z）R3|x2+y2=1；（）X3=（x,y,z）R3|x2+y2z2=1证明设f:

X2X1为f（x,y,z）=（xez,yez），f1:

X1X2为f的逆，则f1（u,v）=（ueu2+v22,veu2+v22,u2+v22），而且连续，所以f是同胚。

设g:

X3X2为g（x,y,z）=（xx2+y2,yx2+y2,z），g1:

X2X3为g的逆，则g1（u,v,w）=（u1+w2,v1+w2,w）也连续，所以g是同胚。

练习22（5.）.拓扑空间X的覆盖C是局部有限的是指有对任意的xX，存在邻域U只与C的有限个成员相交。

设X具有局部有有限闭覆盖C=C|，且f:

XY在C的每个成员上的限制是连续的，则f是连续的。

7证明对任意的xX，令U是x的邻域，它只与C的有限个闭集C1,Cn相交则U=UX=U（C）=U（C1Cn）=（UC1）（UCn）,*即U是它的有限个闭集之并*因fi=f|Ci连续，所以它在UCi上也连续，由焊接引理可知在U上连续练习23（6.）.设f:

XY连续，xnx，则f（xn）f（x）证明由f的连续性可知，对f（x）的任意邻域V，存在x的邻域U，使得f（U）V再由序列的收敛性可知，存在正整数N，当nN时，有xnU于是当nN，有f（xn）V，所以f（xn）f（x）练习24（7.）.设f:

XY连续满射，其中X是可分的，证明Y也是可分的证明设A是X的可数稠密子集，则A=X由于f是满射，有f（A）=f（X）=Y另一方面，由于f连续，有Y=f（A）f（A）Y，所以f（A）=Y因此（f（A）Y=f（A）Y=Y，即f（A）是Y的可数稠密子集练习25（8.）.证明恒等映射id:

（R,c）（R,f）是连续映射，但不是同胚证明任取Vf，则id1（V）=VC，所以id:

（R,c）（R,f）连续设U=Nc，则Uc，但（id1）1（U）=U/f，所以恒等映射的逆不连续8练习26（9.）.设f:

R0,1）R为f（x）=x,x0,x1,x1,证明f连续，但不是同胚证明为证f连续，只需证明f在1R0,1）处连续为此注意f

（1）=0对R中0的任意邻域（,），在R0,1）中存在1的邻域1,1+），使得f（1,1+）=0,）（,），所以f在1处连续*设g是f的逆映射，则g（y）=f1（y）=y,y0,y+1,y0.*只需证明g在y=0处不连续为此注意g（0）=1*对1的1/2-邻域U1/2=（1/2,3/2），以及0的任意-邻域V，有g（V）=（,0）1,1+）*U1/2，所以g在0处不连续练习27（10.）.举例说明开映射不必是闭映射，闭映射也不必是开映射解设X=1,2,3，1=/0,X,2,3，2=/0,X,1,3,3开映射不必是闭映射*令f:

（X,1）（X,2）为f（x）=3，则f是开映射*