八年级数学第一章勾股定理文档格式.docx

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类型一:

勾股定理

例1:

已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A、25B、14C、7D、7或25

针对训练：

已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，求S△ABC

点评：

应用勾股定理的前提条件是直角三角形，并要分清斜边和直角边。

若不明则分类。

类型二:

勾股定理的简单应用（已知直角三角形的两边长，求第三边）

例2.一个长10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？

试说明理由。

（针对训练）如图,一长方体,底面长3cm,宽4cm,高12cm,求上下两底面的对

角线BD1的长.

类型三:

勾股定理与方程思想的综合运用

例3.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm

．求此时AD,CE的长．

（针对训练）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？

类型四:

用拼图证明勾股定理（面积法）

例4:

课堂上，我们已经利用各种拼图方法说明了勾股定理的正确性，右图是美国总统Garfield于1876年给出的另一种方法，你能根据图中所给的数据验证勾股定理吗？

请写出推理过程。

（针对训练）已知：

在△ABC中，∠C=90°

，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

反思：

还可以拼其它图形证明吗？

类型五:

勾股定理与最短距离

例5:

如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,B

要爬行的最短路程（

取3）是（）

B

A.20cm;

B.10cm;

C.14cm;

D.无法确定.A

如图5是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是.

方法点拨：

立体图形表面上的最短路径问题，一般将表面展

开转化为平面图形，利用“两点之间，线段最短”，

再转化为直角三角形问题解决。

（针对训练）1.如图是一个木箱，它的长为3m，宽为2.5m，高为0.75m，箱子的点B处有一块糖，在箱底A处有一只小蚂蚁要找到这块糖，则它所行走的路线最短是多少?

B

2.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

这类问题在考试中经常出现。

利用轴对称将同侧两点转变为异侧两点，由“两点之间，线段最短”设计方案，然后构造直角三角形求解。

（对比）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B。

已知AB=25kmCA=15km，DB=10km。

试问：

图书室E应建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

类型六：

勾股数，勾股树，

例6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

所有正方形的面积之和为___________cm2。

大正方形的面积=两个小正方形的面积的和

（针对训练）1.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．试探索这三个圆的面积之间的关系．

2.如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积．

例7.（勾股数：

满足a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数。

对于任何一组已知的勾股数，都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数。

常见的勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）（7,24,25）（8,15,17）（9,40,41）等）

（1）、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

（2）、已知

、

是△ABC的三边，且

（

＞

且

为自然数），△ABC是直角三角形吗？

为什么？

类型七：

作根号n的线段及与勾股定理有关的证明（证线段的平方关系）

例8.如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：

AB2－AP2=PB×

PC。

（针对训练）如图，已知在△ABC中，∠C=90°

D为AC上一点，AB2-BD2与AC2-DC2有怎样的关系？

试证明你的结论。

例9.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的周长和面积。

方法归纳：

计算不规则图形的面积常用割补法

（针对训练）右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一个直角三角形，要求三边长度是无理数且互不全等

（特别提醒）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，a.b.c分别为∠A.∠B∠C对边,

（1）若△ABC为等腰直角三角形，则a:

b;

c=,

（2）若∠A=30°

则a:

c=

（此结论有很重要）。

如等边三角形的高为4

　，则边长为，面积为。

类型八:

勾股定理与勾股定理逆定理的综合应用

例10.如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°

，AB=13m，BC=12m。

求这块地的面积。

1.判定一个三角形是否是直角三角形：

①首先确定最大边②验证最大边的平方与较小两边的平方和是否具有相等关系，2.要求三角形的面积，可以考虑先确定它的形状，因为直角三角形的面积计算简单。

（针对训练）⑴如图，∠A=∠D=90O，AB=CD=12cm,AD=BC=25cm,E是AD上一点，且AE：

ED=16：

9。

试判断∠BEC是直角，并说明理由。

⑵已知正方形ABCD中，AE=BE,AF=（1／4）AD，求证CE⊥EF

当堂检测

一、填空题

1、已知一个直角三角形的三边长是三个连续的偶数，那么这个直角三角形斜边上的高为　

2、三角形的两边长为3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长是　　　　　

3、△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，则AC＝　　　　

4、如图所示，一个梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了米

5、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是

二、选择题

6、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是　　（　　）

A、a=9、b=41、c=40B、a=b=5、c=

C、a∶b∶c=3∶4∶5Da=11、b=12、c=15

7、在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是　　　　　　　　　　（　　）

A、14B、4C、14或4D、以上都不对

8、2002年在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的最短边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A、13B、19C、25D、169

9、如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，

DA=13cm，且∠ABC=90°

，则四边形ABCD的面积是（　）cm2

A、84　　　B、36　　　C、

　　　D、无法确定

10、如图，已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，

BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）

A、3　　B、4　　　C、5　　D、6

三、解答题

11、在Rｔ△ABC中，∠C＝90°

⑴　已知ｃ＝25，ｂ＝15，求ａ；

⑵　已知ａ＝

，∠A＝60°

，求ｂ、ｃ

12、阅读下列解题过程：

已知ａ、ｂ、ｃ为△ABC的三边，且满足

，试判断△ABC的形状

　解：

∵　

　　　　　　　　①

　　　∴

　　　　②

∴

③

∴△ABC为直角三角形。

问：

⑴上述解题过程，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号；

⑵错误的原因是；

⑶本题正确的结论是。

八年级数学第一章《勾股定理》课后作业

一．选择题（10×

4′=40′）

1．已知一个Rt△的两边长分别为5和4，则第三边长的平方是（）

A、25B、14C、9D、9或41

2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）

A、a=1.5，b=2,c=3B、a=7,b=24,c=25

C、a=6,b=8,c=10D、a=3,b=4,c=5

3．已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（）

A.

B.

C.

D.

4.直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（）

A.10cmB.3cmC.4cmD.5cm

5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）

A、56B、48C、40D、32

6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>

1），那么它的斜边长是（　　）

A、2nB、n+1C、n2－1D、n2+1

7．已知Rt△ABC中，∠C=90°

，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2

8．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是（）

A.等边三角形;

B.钝角三角形;

C.直角三角形;

D.锐角三角形.

9．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2

10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里

二．填空题（9×

4′=36′）

11．在Rt△ABC中，∠C=90°

，①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；

③若c=61，b=60，则a=__________；

④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

12．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。

13.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

14.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲

到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。

15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。

16．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。

三．解答题（共24分）

17．（8分）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

18

一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?

已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.

19．在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米。

今一小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？

（画出草图然后解答）