届高考理科数学二轮复习第三部分 考前基础教材Word下载.docx

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订正4　设非零向量a，b，且〈a，b〉＝θ，则a与b的数量积为|a||b|cosθ；

规定0与任意向量的数量积为0.若a·

0，则θ是钝角或θ＝π（即向量a，b的方向相反）．

订正7　若x＋y＝s（定值），x>

0，y>

0，那么当x＝y时，xy有最大值

若xy＝P（定值），x>

0，那么当x＝y时，x＋y有最小值2

.

二、考前必会的性质、定理

在下面8个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．

1.交集的补集等于补集的并集，即∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；

并集的补集等于补集的交集，即∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．（　　）

2.若p⇒q，且q

p，则p是q的充分不必要条件，綈q是綈p的充分不必要条件．（　　）

3.向量

，

中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得

＝α

＋β

且α＋β＝1.（　　）

4.若a≠0，则a·

b＝0⇔b＝0.（　　）

5.复数z＝a＋bi（a，b∈R）与复平面内的点Z（a，b）与复平面向量

＝（a，b）一一对应．（　　）

6.若ac2>

bc2，则a>

b；

若

<

，则a>

b.（　　）

7.当a，b大于0时，不等式

≤

成立（当且仅当a＝b时，取等号）．（　　）

8.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则cos〈a，b〉＝

＝

[答案]　1.√2.√3.√4.5.√6.7.√

8．√

第4题，非零向量垂直，数量积为0；

第6题，没注意字母的符号．

订正4　若a≠0，则a·

b＝0⇒b＝0或a⊥b.

订正6　若ac2>

，则b>

0>

a，或a>

b且ab>

0.

[查缺补漏]

易混、易错、易忘问题大盘点

1.考生不能正确理解集合中代表元素所表示的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等．如{x|y＝

}与{y|y＝

}以及{（x，y）|y＝

}分别表示函数y＝

的定义域、值域以及函数图象上的点集．

2.考生容易忽视两个集合基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解．如已知A＝

，误把集合A的补集写为

导致漏解；

集合运算时，切莫遗漏空集．

3.考生易混淆充要条件的判断中“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”．

4.考生易混淆向量共线（平行）与直线平行．向量共线（平行）是指两向量所在的直线平行或重合，但两直线平行时一定不会重合．

5.考生要特别注意零向量带来的问题：

0的模是0，方向任意，并不是没有方向；

0与任意非零向量平行；

λ0＝0（λ∈R），而不是等于0；

0与任意向量的数量积等于0，即0·

a＝0；

但不说0与任意非零向量垂直．

6.考生易误认为向量数量积的运算律与实数相同，实际上在一般情况下（a·

b）·

c≠a·

（b·

c）；

a·

b＝0时未必有a＝0或b＝0.

7.复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要解题途径，往往易忽视题目中给出的条件，导致错误．两复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可比较大小．

8.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>

0时，易忽视系数a的讨论，导致漏解或错解，要注意分a>

0，a<

0两种情况进行讨论．

9.考生应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把

≤0直接转化为f（x）·

g（x）≤0，而忽视g（x）≠0.

10.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f（x）＝

＋

的最值，就不能利用基本不等式求解最值；

求解函数y＝x＋

（x<

0）时应先转化为正数再求解．

11.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如

是指已知区域内的点（x，y）与点（－2,2）连线的斜率，而（x－1）2＋（y－1）2是指已知区域内的点（x，y）到点（1,1）的距离的平方等．

12.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象（某一点表面相似）迷惑，应从本质上类比．用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设．

13.在循环体结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．

二、函数与导数

[基础快判]

在下面9个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．

1.设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．（　　）

2.指数函数y＝ax（a>

0，且a≠1）的图象过定点（0,1）；

对数函数y＝logax（a>

0，且a≠1）的图象过定点（1,0）．（　　）

3.设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

x2时，都有f（x1）<

f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数．如果对于任意的x∈I，都有f（x）≤M，则称M是函数y＝f（x）的最大值．（　　）

4.ab＝N⇔b＝logaN（a>

0，a≠1）是解决“指数、对数”运算问题的关键．（　　）

5.函数y＝f（x）的零点是方程f（x）＝0的实数根，所以方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（　　）

6.几个重要的求导公式：

（xn）′＝nxn－1（n∈N*），（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝sinx，（ax）′＝axlna，（logax）′＝

（a>

0，a≠1）．（　　）

7.如果函数f（x），g（x）是可导函数，则

[f（x）·

g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x），

′＝

（g（x）≠0）．（　　）

8.在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>

0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增；

如果f′（x）<

0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递减．（　　）

9.函数f（x）在x0处有f′（x0）＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′（x）<

0，右侧f′（x）>

0，则f（x0）叫函数y＝f（x）的极大值；

若在点x＝x0附近的左侧f′（x）>

0，右侧f′（x）<

0，则f（x0）叫做函数y＝f（x）的极小值，函数的极大值可能会小于函数的极小值．（　　）

[答案]　1.√　2.√　3.　4.√　5.√　6.　7.√

8．√　9.

第3题，第9题没有理解函数最值和极大（小）值的概念；

第6题，记错y＝cosx，y＝logax的求导公式．

订正3　设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<

f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数．如果对于任意的x∈I，都有f（x）≤M，且存在x0∈I，使得f（x0）＝M，则M是函数y＝f（x）的最大值．

订正6　几个重要的求导公式：

（xn）＝nxn－1（n∈N*），（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，（ax）′＝axlna，（logax）′＝

0，a≠1）．

订正9　函数f（x）在x0处有f′（x0）＝0，且在点x＝x0附近的左侧f′（x）<

0，则f（x0）叫函数y＝f（x）的极小值；

0，则f（x0）叫做函数y＝f（x）的极大值．函数的极大值可能会小于函数的极小值．

在下面10个小题中，有3个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．

1.函数y＝f（x）的图象与直线x＝a（a∈R）的交点可能是0个、1个或2个．（　　）

2.f（x）为奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称，f（x）为偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称．存在既是奇函数又是偶函数的函数：

f（x）＝0.（　　）

3.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（　　）

4.若满足f（x＋a）＝f（x－a），则f（x）是周期函数，T＝2a；

若满足f（x＋a）＝

，则f（x）是周期函数，T＝2a（a≠0，a为常数）．（　　）

5.若f（a＋x）＝f（a－x），则y＝f（x）的图象关于x＝a对称；

如果f（x）满足f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）的图象关于点（a,0）对称．（　　）

6.函数y＝ax与y＝logax（a>

0，a≠1）的图象关于直线y＝x对称，且两函数在各自定义域上具有相同的单调性．（　　）

7.函数零点的存在性：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上，有f（a）·

f（b）<

0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0.如果函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点．（　　）

8.f′（x0）是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线斜率，相应的切线方程是y－y0＝f′（x0）（x－x0）．（　　）

9.f′（x）≥0是可导函数f（x）在x∈（a，b）内是增函数的充要条件；

f′（x0）＝0是可导函数在x＝x0处取得极值的必要条件．（　　）

10.判断极值时，需检验f′（x）在方程f′（x）＝0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f（x）在这个根处取得极大值；

如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f（x）在这个根处取得极小值．（　　）

[答案]　1.　2.√　3.√　4.√　5.√　6.√　7.　

8．√　9.　10.√

第1题，不符合函数定义；

第7题，不满足零点存在定理的条件；

第9题，错误理解函数单调性与导数的关系．

订正1　函数y＝f（x）的图象与直线x＝a（a∈R）的交点可能是0个或1个，即最多有一个交点．

订正7　函数零点的存在性：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f（a）·

0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0.如果函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内有唯一的零点．

订正9　可导函数f（x）在区间（a，b）上为增函数的充要条件是：

对于任意x∈（a，b），有f′（x）≥0,且f′（x）在区间（a，b）的任意子区间上都不恒为零．

1.函数的定义域与值域都是非空数集．求函数相关问题易忽略“定义域优先”原则或求错函数的定义域．如求f（x）＝ln（x2－3x＋2）的单调区间，只考虑t＝x2－3x＋2与函数y＝lnt的单调性，忽视t>

0的限制条件；

求函数f（x）＝

的定义域时，只考虑到x>

0，x≠0，而忽视lnx≠0的限制．

2.考生应注意函数奇偶性的定义，易忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制条件；

求函数的单调区间，易盲目在多个单调区间之间添加符号“∪”．

3.不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax（a>

0，a≠1）的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>

0；

0，a≠1）忽视真数与底数的限制条件．

4.考生易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

5.不能准确记忆基本初等函数的图象，不能准确利用函数图象平移、伸缩变换得到所需函数的图象，如画出函数f（x）＝lg（1－x）的图象时，不能通过对y＝lgx的图象正确进行变换得到．

6.不能准确把握常见的函数模型，导致函数建模出错，易忽视函数实际应用中的定义域等；

遗漏运算结果后面的单位与最后题目的结论（答案）．

7.不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点（x0，f（x0））既在切线上，又在函数图象上，导致某些求函数的问题不能正确解出．

8.考生易错记基本初等函数的导数以及错用函数求导法则，导致错求函数的导数．

9.考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′（x0）＝0是函数y＝f（x）在x＝x0处有极值的充分条件．

10.考生易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类问题，求解函数的单调区间直接转化为f′（x）>

0或f′（x）<

0的解集；

而已知函数在区间M上单调递增（减），则要转化为f′（x）≥0或f′（x）≤0的恒成立问题．

三、三角函数、三角变换与解三角形

在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用“√”或“”判定，并改正过来．

1.三角函数的定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝

（x≠0）．（　　）

2.同角三角函数的基本关系式：

sin2α＋cos2α＝1，tanα＝

3.三角函数的诱导公式可简记为：

“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是

的倍数的奇偶；

“变与不变”指的是三角函数的名称变化；

“符号看象限”的含义是：

把α看作锐角时，

±

α所在象限的相应三角函数值的符号．（　　）

4.y＝sinx与y＝cosx是有界函数，它们的值域都是[－1,1]．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形；

正切曲线的对称中心是（kπ，0）（k∈Z），没有对称轴．（　　）

5.两角和（差）的正弦、余弦公式：

sin（α±

β）＝sinαcosβ±

cosαsinβ，cos（α±

β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ.两角差的正切变形公式：

tanα－tanβ＝tan（α－β）·

（1＋tanαtanβ）．（　　）

6.二倍角余弦变形公式：

2cos2α＝1－cos2α，2sin2α＝1＋cos2α，cos2α＝sin2α－cos2α.（　　）

7.在△ABC中，A<

B⇔sinA<

sinB；

A<

B⇔cosA>

cosB．（　　）

[答案]　1.√2.√3.√4.5.√6.7.√

第4题，盲目类比，记错正切曲线的对称中心；

第6题，混淆二倍角余弦的变形公式．

订正4　y＝sinx与y＝cosx是有界函数，它们的值域都是[－1,1]．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形也是轴对称图形；

正切曲线的对称中心是

（k∈Z），没有对称轴．

订正6　二倍角余弦变形公式：

2cos2α＝1＋cos2α，2sin2α＝1－cos2α，cos2α＝cos2α－sin2α.

1.函数f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数，则φ＝kπ＋

，k∈Z；

函数g（x）＝cos（x＋φ）是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z.（　　）

2.函数f（x）＝sinωx（ω>

0）的最小正周期是T＝

y＝|sinx|与y＝sin|x|的最小正周期是T＝π.（　　）

3.函数y＝tanx在

，k∈Z内都是增函数，且函数的值域是R.（　　）

4.函数y＝sin

的单调增区间是

，k∈Z.（　　）

5.将函数y＝f（x）的图象向右平移

个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝cos2x的图象，则函数f（x）的解析式是f（x）＝sin2x.（　　）

6.正弦定理：

＝2R（R为△ABC外接圆的半径）⇔a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．（　　）

7.余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．（　　）

[答案]　1.√2.3.√　4.　5.√　6.√　7.√

第2题，误认为y＝sin|x|是周期函数；

第4题，错求为函数的单调减区间．

订正2　函数f（x）＝sinωx（ω>

y＝|sinx|的最小正周期T＝π；

但函数y＝sin|x|不是周期函数．

订正4　函数y＝sin

＝－sinx－

（k∈Z）．

1.考生应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为

，也可以表示为

2.解三角形问题时，易忽视正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性．

3.考生应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常数函数就不存在最小正周期．求函数y＝Asin（ωx＋φ），y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期时，如果没有ω>

0的限制条件，则其最小正周期是

求函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期时，如果没有ω>

4.考生易混淆y＝Asin（ωx＋φ）的图象的变换顺序，不清楚x轴上的变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．

5.y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋

（k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）；

y＝cosx的对称轴为x＝kπ（k∈Z），对称中心为

（k∈Z）；

y＝tanx的对称中心为

（k∈Z）（注：

以上都要加条件k∈Z）而不是（kπ，0）（k∈Z）．函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）来说，对称中心对应于零点，对称轴与最值点对应．

6.三角变形中，常忽视常数“1”的代换，如1＝sin2x＋cos2x＝tan

＝sin

＝cos0＝….

7.你还记得三角化简的通性通法吗？

（从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧：

切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角．异角化同角，异名化同名，高次化低次）．

8.利用辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝

sin（x＋φ），将函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）形式，注意，这个化简过程中，有一个易错点，就是其中的“φ”经常求错．

9.对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是

，选正、余弦皆可；

若角的范围是（0，π），选余弦较好；

若角的范围是

，选正弦较好．

10.运用正弦定理，易忽视

＝2R（R为△ABC外接圆的半径）的形式；

解三角形时，易忽视隐含条件导致错误．

四、数　　列

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列．（　　）

2.设Sn是数列{an}的前n项和，则an＝

（　　）

3.如果数列{an}中，

＝q（q是不为0的常数，n≥2），则数列{an}是等比数列．（　　）

4.若等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，Sn＝na1＋

d.（　　）

5.若等比数列{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1，Sn＝

6.“数列{an}为常数列”是“{an}既成等差数列又成等比数列”的必要不充分条件．（　　）

7.若an＋1－an＝f（n），则累加法求an＝f（n－1）＋f（n－2）＋…＋f

（1）＋a1（n≥2）；

＝f（n），则累乘法求an＝f（n－1）·

f（n－2）·

…·

f

（1）·

a1（n≥2）．（　　）

8.如果数列{an}的通项an＝

，由裂项相消法可求前n项和Sn＝

[答案]　1.√2.√3.4.√5.6.√7.√

第3题，不能保证

＝q；

第5题，当q≠1时，Sn＝

才成立．

订正3　如果数列{an}中，

＝q（q是不为0的常数，n∈N*），则数列{an}是等比数列．

订正5　若等比数列{bn}的公比为q，则bn＝b1qn－1；

当q＝1时，Sn＝n·

b1，当q≠1时，Sn＝

1.数列{an}是等差数列⇔2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）；

数列{an}是等比数列⇔a

＝an·

an＋2（n∈N*）．（　　）

2.在等差数列{an}中，an＝am＋（n－m）d；

若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.（　　）

3.在等比数列{bn}中，bn＝bm·

qn－m；

若m＋n＝p＋q，则bm·

bn＝bp·

bq.（　　）

4.若{an}是等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列；

若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．（　　）

5.设Sn是数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列的充要条件是Sn＝an2＋bn（a，b为常数）．（　　）

6.如果数列{an}成等比数列，且an>

0，那么数列{logaan}（a>

0，且a≠1）必成等差数列．（　　）

7.若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么数列{an·

bn}的前n项和，常用“错位相减法”，将其和转化为“一个新的等比数列的和”求解．（　　）

[答案]　1.　2.√　3.√　4.　5.√　6.√　7.√

第1题，当an·

an＋2≠0时，数列{an}是等比数列⇔a

an＋2；

第4题，若{an}是等比数列，当Sn≠0时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n