江苏省南京市届高三第三次模拟考试 数学理.docx

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江苏省南京市届高三第三次模拟考试数学理

高三毕业班第三次模拟考试

数学（理科）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

2.若复数满足，其中为虚数单位，表示复数的共轭复数，则（）

A.B.C.D.

3.如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子（豆子大小忽略不计），然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为（）

A.B.C.D.

4.函数的图象大致为（）

ABCD

5.设，若，则（）

A.B.C.D.

6.设点是，表示的区域内任一点，点是区域关于直线的对称区域内的任一点，则的最大值为（）

A.B.C.D.

7.已知三棱锥中，与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A.B.C.D.

8.执行如图所示的程序框图（其中表示等于除以10的余数），则输出的为（）

A.2B.4C.6D.8

9.某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.B.C.D.

10.已知双曲线，是左焦点，，是右支上两个动点，则的最小值是（）

A.4B.6C.8D.16

11.已知中，，，成等比数列，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

12.已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是（）

A.B.C.D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.正三角形的边长为1，是其重心，则.

14.的展开式中，的系数为.

15.已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为1，，，则椭圆离心率为.

16.先将函数的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍（其中），得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最大值为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列是等差数列，，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.

18.为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.

（1）求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；

（2）从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.

19.如图，正方形中，，与交于点，现将沿折起得到三棱锥，，分别是，的中点.

（1）求证：

；

（2）若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.

20.已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.

（1）证明：

直线过定点；

（2）过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.

21.已知函数.

（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（2）若函数在上存在两个极值点，且，证明：

.

22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）过原点的直线分别与曲线交于除原点外的两点，若，求的面积的最大值.

23.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数在上有最大值，求实数的取值范围.

濮阳市2018届高三毕业班第一次模拟考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

CABCB6-10:

DDDAC11、12：

BA

二、填空题

13.14.5615.16.9

三、解答题

17.解：

（1）由题意得，所以，

时，，公差，所以，

时，，公差，所以.

（2）若数列为递增数列，则，

所以，，

，

所以，

，

所以

，

所以.

18.解：

由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.

（1）该出租车公司司机参加送考的人均次数为：

.

（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.

则，

，

.

的分布列：

0

1

2

的数学期望.

19.解：

（1）依题意易知，，，∴平面，

又∵平面，∴.

（2）当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，

中，，作于，∴，∴，

∴为等边三角形，∴与重合，即平面.

以为原点，所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

∴，，，.

设为平面的法向量，

∵，，

∴，

取，

设是平面的法向量，，，

∴，取，

∴，

设二面角大小为，∴.

20.解：

（1）点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，

由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，

联立得，得，，

由于，所以，即，

即.（*）

又因为，，

代入（*）式得，即，

所以或，即或.

当时，直线方程为，恒过定点，

经验证，此时，符合题意；

当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，

所以直线恒过定点.

（2）由

（1），设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.

21.解：

（1）由函数在上是减函数，知恒成立，

.

由恒成立可知恒成立，则，

设，则，

由，知，

函数在上递增，在上递减，∴，

∴.

（2）由

（1）知.

由函数在上存在两个极值点，且，知，

则且，

联立得，即，

设，则，

要证，

只需证，只需证，只需证.

构造函数，则.

故在上递增，，即，

所以.

22.解：

（1）曲线的普通方程为，即，

所以，曲线的极坐标方程为，即.

（2）不妨设，，.

则，，

的面积.

所以，当时，的面积取最大值为.

23.解：

（1）设，

根据图象，由解得或.

所以，不等式的解集为.

（2）由题意得，

由函数在上有最大值可得解得.