高中数学 34 第1课时二元一次不等式组与平面区域同步导学案 北师大版必修5Word文件下载.docx
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P在直线上，d＜0
P在直线下方.
3.本节学习的关键就是运用数形结合的思想方法.抓住直线定界、特殊点定域，突破点在直线哪一侧的问题.并熟练地用集合语言对有关问题加以描述.
知能自主梳理
1.二元一次不等式（组）的概念
二元一次不等式是指含有未知数，且未知数的最高次数为的不等式.二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组.
一般地，直线l:
ax+by+c=0把直角坐标平面分为三部分：
（1）直线l上的点（x,y）的坐标满足ax+by+c=0;
（2）直线l一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c>
0.
（3）直线l另一侧的平面区域内的点（x,y）的坐标满足ax+by+c<
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点,从值的正负，即可判断不等式表示的平面区域.
在这里，直线l:
ax+by+c=0叫做这两个平面区域的边界.
一般地，把直线l:
ax+by+c=0画成，表示平面区域包括这一条边界直线；
若把直线l:
ax+by+c=0画成，则表示平面区域不包括这一条边界直线.
3.直线两侧的点的坐标满足的条件
直线l:
ax+by+c=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax+by+c的值具有的符号，并且两侧的点的坐标使ax+by+c的值的符号，一侧都，另一侧都.
4.二元一次不等式表示区域的确定
在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点区域就是所求的区域；
否则l的另一侧就是所求的区域.如果直线不过，则用的坐标来进行判断，比较方便.
［答案］ 1.两个 1
2.（x0,y0） ax0+by0+c 实线 虚线
3.相同 相反 大于0 小于0
4.任取 满足 所在的这一侧 另一侧 原点 原点
思路方法技巧
命题方向 二元一次不等式表示的平面区域
［例1］ 画出下列不等式表示的平面区域.
（1）2x+y-10<
0;
（2）y≤-2x+3.
［分析］ 对于
（1），先画出直线2x+y-10=0（用虚线表示），再取坐标原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-10<
0表示的平面区域.对于
（2），先把y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0的形式，再画出直线2x+y-3=0（用实线表示），取原点（0,0）代入检验，从而判断出2x+y-3≤0表示的平面区域.
［解析］
（1）先画出直线2x+y-10=0（画成虚线）,
取点（0,0），代入2x+y-10，得2×
0+0-10=-10<
0,
∴2x+y-10<
0表示的平面区域是直线2x+y-10=0的左下方的平面区域，如图
（1）所示.
（2）将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0.先画出直线2x+y-3=0（画成实线）.取点（0,0），代入2x+y-3，得2×
0+0-3=-3<
0，∴2x+y-3≤0表示的平面区域是直线2x+y-3=0以及其左下方的平面区域,如图
（2）所示.
［说明］ 画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：
①“直线定界”，即画出边界Ax+By+C=0，要注意是虚线还是实线；
②“特殊点定域”，取某个特殊点（x0,y0）作为测试点，由Ax0+By0+C的符号确定出所求不等式表示的平面区域.当C≠0时，通常取原点（0,0）作为测试点.
变式应用1 画出不等式x+2y-4＜0表示的平面区域.
［解析］ 先画直线x+2y-4=0（画成虚线）.
把原点（0,0）的坐标代入x+2y-4，则0+2×
0-4=-4＜0，所以原点在x+2y-4＜0表示的平面区域内，所以不等式x+2y-4＜0表示的区域如图所示中的阴影部分.
命题方向 二元一次不等式组表示的平面区域
x-y+5≥0
［例2］ 画出不等式组 x+y≥0,表示的平面区域.
x≤3
［分析］ 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
［解析］ 不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0及其右下方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域，x≤3表示直线x=3及其左侧的平面区域，所以不等式组
x-y+5≥0
x+y≥0，表示的平面区域如图所示.
［说明］ 画不等式组表示的平面区域时，只需作出每一个不等式所表示的平面区域，再求出它们的公共部分即可.
x<
3
变式应用2 画出不等式组2y≥x,表示的平面区域.
3x+2y≥6
3y<
x+9
［解析］ 不等式x<
3表示直线x=3左侧的平面区域.不等式2y≥x,即x-2y≤0表示直线x-2y=0及其左上方的平面区域.不等式3x+2y≥6，即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0及其右上方的平面区域.不等式3y<
x+9表示直线x-3y+9=0右下方的平面区域.所以原不等式组表示的平面区域如图所示.
命题方向 求平面区域的面积
x-y+6≥0
［例3］x+y≥0，所表示的平面区域，并求出平面区域的面积.
x≤3
［分析］ 先画出不等式组表示的平面区域，再求其面积.
［解析］ 先画出直线x-y+6=0（画成实线），不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0及其右下方的平面区域.画出直线x+y=0（画成实线），不等式x+y≥0表示直线x+y=0及其右上方的平面区域.画出直线x=3（画成实线），不等式x≤3表示直线x=3及其左侧的平面区域.所以原不等式组所表示的平面区域如图所示.因此其区域面积即为△ABC的面积.由于直线x-y+6=0与直线x+y=0垂直，所以△ABC为直角三角形.
x=3
由,得B（3,-3）.
x+y=0
x=3
由得C（3,9）.
x-y+6=0
由得A（-3,3）.
所以|AB|=6
|AC|=6
所以S△ABC=
|AB|·
|AC|=
×
6
=36,
所以原不等式组表示的平面区域的面积为36.
［说明］解本题时注意到：
AB⊥AC，联立方程组解得A,B,C三点的坐标，经计算求得△ABC为等腰直角三角形，从而其面积可求.
变式应用3 求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|+1所表示的平面区域的面积.
［解析］ 可将两个原不等式转化成如下两个不等式组:
x≥0,x<
①y≥x,或②y≥-x,
y≤x＋1,y≤-x+1,
y≤2,y≤2.
上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示,它所围成的面积为S=
4×
2-
2×
1=3.
命题方向 求范围问题
［例4］ 已知D是以点A（4,1）,B（-1,-6）,C（-3,2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部），如图所示.
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）若点B（-1,-6）,C（-3,2）在直线4x-3y-a=0的异侧，求a的取值范围.
［分析］ 由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的过程正好互逆.另外，在第
（2）问中由B,C两点位于直线4x-3y-a=0的异侧，可知将B,C两点坐标代入代数式4x-3y-a所得的值的符号正好相反.
［解析］
（1）由A（4,1）,B（-1,-6）,C（-3,2），得直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点（0,0）在区域D内，所以表示区域D的不等式组为
7x-5y-23≤0
x+7y-11≤0.
4x+y+10≥0
（2）将B,C的坐标分别代入4x-3y-a,得4×
（-1）-3×
（-6）-a=14-a,4×
（-3）-3×
2-a=-18-a.由题意，知（14-a）（-18-a）<
0,解得a的取值范围是-18<
a<
14.
［说明］ 点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号；
在异侧的充要条件是Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号.
变式应用4 若点（3,1）和（4,-6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是
（ ）
A.（－24,7）B.（7,24）C.（-7,24）D.（-24,-7）
［答案］ D
［解析］ 把点（3,1）和（4,-6）分别代入3x-2y+a得7+a，24+a,由题意得
（7+a）（24+a）<
0.
∴-24<
-7.
探索延拓创新
命题方向 二元一次不等式组表示实际问题
［例5］ 某工厂生产甲、乙两种产品，需经过制造和装配两个车间.已知制造车间生产1件甲产品需4小时,生产1件乙产品需3小时,总有效工时为480小时;
装配车间生产1件甲产品需2小时,生产1件乙产品需5小时,总有效工时为500小时.若工厂安排生产x件甲产品，y件乙产品，试列出x,y满足的关系，并画出图形.
［分析］ 将已知数据列成下表：
加工时间（小时/件）
总有效工
时（小时）
甲
乙
车间
制造
4
480
装配
2
5
500
［解析］ 依题意，可列出下面的条件：
4x+3y≤480
2x+5y≤500，
x,y∈N+
可行域为如图所示阴影部分（不含坐标轴）内的整点.
［说明］ 用二元一次不等式（组）表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可.
变式应用5 某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围.
［分析］ 设出桌椅数量x、y,把x、y的限制条件列成不等式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围.
［解析］ 设每天生产桌子x张，椅子y把，由题意得
x≥12，
y≥12，
0.3x+0.2y≤12，
x+
≤30，
x,y∈N,
由不等式组画出区域如图阴影部分.
（x,y）的取值范围即图中阴影部分的整点.
名师辨误做答
［例6］ 画出二元一次不等式2y-5x-10>
0表示的区域.
［误解］ 作出直线2y-5x-10＝0,即5x-2y+10=0.
将（0，0）代入5x-2y+10可得5×
0-2×
0+10>
∴所示区域为含有（0，0）的一侧，如图所示.
［辨析］ 取特殊点检验时，应代入原式（2y-5x-10），而不能代入变形后的（5x-2y+10）进行检验.
［正解］ 设F（x,y）=2y-5x-10,作出直线2y-5x-10=0.
∵F（0,0）=2×
0-5×
0-10＝-10<
0，
∴所求区域为不含（0，0）的一侧，如图所示.
课堂巩固训练
一、选择题
1.不在3x+2y＜6表示的平面区域内的点是（ ）
A.（0,0）B.（1,1）C.（0,2）D.（2,0）
［解析］ 只有（2，0）点不满足3x+2y＜6.
y＜x
2.不等式组x+y≤1表示的区域为D，点P1（0，-2）,点P2（0，0），则（ ）
y≥3
A.P1
D，P2
DB.P1
D，P2∈D
C.P1∈D,P2
DD.P1∈D,P2∈D
［答案］ A
［解析］ P1点不满足y≥3，P2点不满足y＜x,∴选A.
3.表示图中阴影部分的区域的二元一次不等式组为（ ）
x+y-1≥0x+y-1≤0
A.B.
x-2y+2≥0x-2y+2≤0
x+y-1≥0x+y-1≤0
C.D.
x-2y+2≤0x-2y+2≥0
［答案］ A
［解析］ 取原点0（0，0）检验满足x+y-1≤0，故异侧点应为x+y-1≥0排除B、D,O点满足x-2y+2≥0，排除C.
二、填空题
4.已知集合A={（x,y）||x|+|y|≤1},B={（x,y）|y2-x2≤0}，M=A∩B，则集合M所表示的平面区域的面积等于.
［答案］ 1
［解析］ 如图，A表示的区域为横条阴影部分，B表示的区域为竖条阴影部分，M=A∩B为阴影重叠部分，其面积为2×
（
）2=1.
5.点（1，2）和点（-1，3）在直线2x+ay-1=0的同一侧，则实数a的取值范围是.
［答案］ （-∞,-
）∪（1,+∞）
［解析］ ∵（2a+1）（3a-3）＞0,∴a＜-
或a＞1.
三、解答题
6.如图所示,在△ABC中,A（3,-1）,B（-1,1）,C（1,3）,写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组.
［解析］ 解法一:
由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简.
AB:
x＋2y-1=0,BC:
x-y+2=0;
CA:
2x+y-5=0.
∵原点（0,0）不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组
x+2y-1≥0
x-y+2≥0
2x+y-5≤0
解法二：
由AB的方程及三角形区域在AB右方，得不等式x+2y-1≥0.
同理得x-y+2≥0.
由CA的方程及三角形区域在CA左方，
得不等式2x+y-5≤0.
x＋2y-1≥0
从而可得不等式组x-y+2≥0.
课后强化作业
1.不等式x+3y-1<
0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A.右上方B.右下方
C.左下方D.左上方
［答案］ C
［解析］ 画出不等式x+3y-1<
0表示的平面区域如图所示.
2.不等式x-y+1≥0表示的平面区域是（ ）
［答案］ B
［解析］ 将点（0，0）代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点（-2,0）代入不等式，得-1≥0,不成立，排除A，故选B.
x≥0,
3.（2011·
湖北文，8）直线2x+y-10=0与不等式组y≥0,表示的平面区域的公共点有（ ）
x-y≥-2,
4x+3y≤20
A.0个B.1个C.2个D.无数个
［解析］ 本题考查不等式（组）表示平面区域，考查学生
分析问题的能力.不等式（组）表示可行域的画法，“直线定界，
特殊点定域”.
可行域如图所示.
由于-2<
-
且直线2x+y-10=0过（5,0）点，所以交点个数为
1个，是（5,0）.
4.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2:
3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是（ ）
2x+3y≤550x+40y≤2000
A.B.
x、y∈N＋
=
5x+4y≤2005x+6y＜100
C.
D.
x、y∈N＋
［答案］ C
［解析］ 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资预算为2000元，
∴50x+40y≤2000即5x+4y≤200.x、y表示人数∴x、y∈N＋，∴答案为C.
5.原点和点（1，1）在直线x+y-a=0两侧，则a的取值范围是（ ）
A.a<
0或a>
2B.a=2或a=0
C.0<
2D.0≤a≤2
［解析］ 根据点（0，0）和点（1，1）位于直线x+y-a=0的两侧可得（-a）（2-a）<
解得0<
2.
2x+y-6≤0
6.不等式组x+y-3≥0，表示的平面区域的面积为（ ）
y≤2
A.4B.1C.5D.无穷大
［答案］ B
［解析］ 如图，作出可行域，△ABC的面积，即为所求，易得A（1,2）,B（2,2）,C（3,0）,则
S△ABC=
1×
2＝1.
（x-y+1）（x+y+1）≥0
7.不等式组表示的平面区域是（ ）
-1≤x≤4
A.两个三角形B.一个三角形
C.梯形D.等腰梯形
［答案］ B
［解析］ 如图,∵（x-y+1）（x+y+1）≥0表示如图A所示的对角形区域.且两直线交于点
A（-1，0）.故添加条件-1≤x≤4后表示的区域如图B.
x+y-1≥0
8.在平面直角坐标系中，若不等式组x-1≤0,（a为常数）所表示的平面区域的面积
ax-y+1≥0
等于2，则a的值为（ ）
A.-5B.1C.2D.3
［答案］ D
y=ax+1
［解析］ 由,得A（1，a+1）,
x=1
由,得B（1,0），
x+y-1=0
由,得C（0,1）.
∵S△ABC=2,且a>
-1,
∴S△ABC=
|a+1|=2,
∴a=3.
二、填空题
9.已知点P（1,-2）及其关于原点的对称点均在不等式2x-by+1>
0表示的平面区域内，则b的取值范围是.
［答案］ （-
，-
）
［解析］ 由点P（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），它们均在2x-by+1>
0表示的平
2+2b+1>
面区域内，则故-
<
b<
.
-2-2b+1>
0,
10.点P（1，a）到直线x-2y+2=0的距离为
，且P在3x+y-3＞0表示的区域内，则a=
.
［答案］ 3
［解析］ 由题意，得
，∴a=0或3，
又点P在3x+y-3＞0表示的区域内，
∴3+a-3＞0，∴a＞0，∴a=3.
11.不等式|x|+|y|≤2所表示的平面区域的面积为.
［答案］ 8
［解析］ 不等式|x|+|y|≤2等价于不等式组
x+y-2≤0（x≥0,y≥0）
x-y-2≤0（x≥0,y<
0）
x-y+2≥0（x<
0,y≥0）
x+y+2≥0（x<
0,y<
0）
画出不等式组表示的平面区域如图所示.
由图可知，四边形ABCD为正方形，|AB|=2
，∴S=（2
）2=8.
（x-y+5）（x+y）≥0
12.不等式组，表示的平面区域的形状是.
0≤x≤3
［答案］ 等腰梯形
［解析］ 画出不等式组表示的平面区域如图所示.
由图可知，平面区域为等腰梯形.
三、解答题
13.画出下列不等式表示的平面区域.
（1）x-y+1<
（2）2x+3y-6≥0.
［解析］
（1）画出直线x-y+1=0（画成虚线），取原点（0，0），代入x-y+1,得0-0+1=1>
∴原点不在x-y+1<
0表示的平面区域内，
∴不等式x-y+1>
0表示的平面区域如图
（1）所示.
（2）画出直线2x+3y-6=0（画成实线），取原点（0，0），代入2x+3y-6,得2×
0+3×
0-6=-6<
∴原点不在2x+3y-6≥0表示的平面区域内，
∴不等式2x+3y-6≥0表示的平面区域如图
（2）所示.
x+y≤5
14.画出不等式组x-2y>
3，表示的平面区域.
x+2y≥0
［解析］ 不等式x+y≤5表示直线x+y=5及其左下方的区域，
不等式x-2y>
3表示直线x-2y=3右下方区域，
不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及其右上方区域，
故不等式组表示的平面区域如图所示.
15.画出
≤0表示的平面区域.
［解析］
≤0
x+2y+1≥0
（Ⅰ）
x-y+4＜0
x+2y+1≤0
或（Ⅱ）
x-y+4＞0
则所求区域是（Ⅰ）和（Ⅱ）表示区域的并.不等式x+2y+1≥0表
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