最短路径问题专项汇总1.docx
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最短路径问题专项汇总1
探究点1：
牧人饮马问题
最短路径问题
想一想：
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点P，都保持PB与PB′的长度相等？
要点归纳：
（1）作点B关于直线l的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AP+BP最短吗？
（1）
（2）
证明：
当点P在点C左侧时，PA+PB=PA+PB'＞AB'（两边之和大于第三边）当点P在点C右侧时，PA+PB=PA+PB'＞AB'（两边之和大于第三边）
只有当点P和点C重合时，PA+PB=PA+PB'=AB'；此时可以得到线段AB'为AP+BP的最小值。
要点归纳:
在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
接下来我们来研究一下这个模型的特点，点A和B为直线外的两个定点，并且在直线的同侧，点P是直线上一个动点，像这样，已知两个定点，一个动点和动点所在的直线这种模型，我们把它称为“两定一动一直线”模型。
【例1】（2017•天津）如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是
AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BCB．CEC．ADD．AC
【分析】点P为AD上一个动点，点B和E为AD同侧的两个定点，符合“两定一动一直线”解题模型。
第一步：
找出定点的对称点，这道题容易知道点B和点C是对称点，不需要再作图；第二步：
连接对称点和另外一个定点。
易知答案为B。
【例2】（2018天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）
A．ABB．DEC．BDD．AF
【分析】审题后得知符合“两定一动一直线”解题模型，连接CE，CE就是AP+EP最小值，但是选项没有CE（出题老师真坏），不过由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，我们可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：
D．
研究完了“牧人饮马”这个基本问题，接下来咱们继续研究几个和“牧人饮马”相关的图形。
图形一：
点A和B在直线l同侧，点P为直线上的一个动点，问点P在何处时|PA﹣PB|最大？
【分析】
连接直线AB交直线l于点P’，移动点P的位置，分别在P’左侧，和P’重合，在P’右侧三种情况。
可知当点P和P’重合时，|PA﹣PB|最大。
利用三角形三边关系中的两边之差大于第三边可以进行证明，在这里不再赘述。
对图形一我们还可以继续思考，既然|PA﹣PB|有最大值，那么有最小值吗？
通过画图我们可以知道当P运动到第二个图的时候，我们发现PA=PB，此时|PA﹣PB|=0，最小值就是0，那么这个点P是如何找到的呢？
我们知道PA=PB，根据线段垂直平分线的判定，我们知道点P在AB的垂直平分线上。
又因为点P直线上，此时我们可以确定点P在AB垂直平分线和直线的交点处。
如下图所示:
【例3】如图，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一点，且DM=3，N是AC上的一动点，求|DN﹣MN|的最小值与最大值．
【分析】当N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN﹣MN|=0，再利用三角形三边的关系得到|DN﹣MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，从而得到|DN﹣MN|的最大值．
【解答】解：
当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN﹣MN|=0，因为|DN﹣MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN﹣MN|=DM=3，
所以|DN﹣MN|的最小值为0，最大值为3．
图形二：
点A和B在直线l两侧，点P为直线上的一个动点，问点P在何处时|PA﹣PB|最大？
在何处最小呢？
【分析】我们已经知道两个定点在同侧的情形，此时我们可以借鉴轴对称的知识把“两侧问题”转化为“同侧问题”，也就是把未知的知识转化为已知的知识。
第一步：
作点B的对称点B’；第二步：
连接AB’，交直线于点P’，此时P’满足|PA﹣PB|最大为AB’的长。
当点P为线段AB’的垂直平分线和直线的交点时|PA﹣PB|最小为0
【例4】（2018•东营）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，
7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．【需要利用八年级下学期一次函数的知识】
【分析】要使得MB﹣MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解答】解：
取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．设直线AB′解析式为：
y=kx+b
把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入
∴直线AB′为：
y=﹣2x﹣3，当y=0时，x=﹣
∴M坐标为，0）故答案为：
（﹣，0）
探究二、角的内部定点问题（一定两动两直线问题）
问题一：
点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD周长最小。
【分析】作图方法如下所示
可知当△PCD周长最小时，周长等于P’P’’的长。
当△PCD周长最小时，请大家思考以下几个问题；
思考一：
，连接OP’和OP’’，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？
【分析】由对称知OP=OP’，OP=OP’’，∴OP’=OP’’，∴△OP’P’’为等腰三角形。
思考二：
若∠AOB=30°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？
若∠AOB=45°，△OP’P’’是什么特殊的三角形呢？
【分析】由对称知∠1=∠2，∠3=∠4.∠2+∠3=30°，则∠1+∠4=30°，从而
∠1+∠2+∠3+∠4=60°，即∠P’OP’’=60°。
∵OP’=OP’’∴△OP’P’’是等边三角形。
同理可知当∠AOB=45°时，∠P’OP’’=90°，△OP’P’’是等腰直角三角形，在这里不再专门画
图解释。
思考三：
若∠AOB=30°，0P=2，△OP’P’’的周长是多少呢？
△PCD的周长是多少呢？
由思考一和思考二知：
OP=OP’=OP’’=P’P’’=2，可知△OP’P’’的周长为6，△PCD的周长
=P’P’’=2。
【练习】（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；
PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【解答】解：
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；故选：
B．
【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
思考四：
如果△PCD的周长等于OP的长，∠AOB为多少度呢？
∵△PCD的周长=P’P’’，△PCD的周长等于OP
∴OP=OP’=OP’’=P’P’’
∴△OP’P’’为等边三角形。
即∠P’OP’’=60°
∵∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠2+∠3=30°即∠AOB=30°
思考五：
若∠AOB=x°，你能用含x的式子表示∠PCD+∠PDC吗？
你能用含x的式子表示
∠CPD吗？
（1）∠PCD+∠PDC=2x°
证明：
在四边形OEPF中，∠PEO=∠PFO=90°可知∠AOB+∠EPF=180°在△PP’P’’中，∠PP’P’’+∠PP’’P’+∠P’PP’’=180°
得∠PP’P’’+∠PP’’P’=∠AOB=x°由于P’C=PC，PD=P’’D
所以∠CP’P=∠CPP’，∠DPP’’=∠DP’’P
因为∠PCD为△CP’P的外角，∠PDC为△PDP’’的外角
则∠PCD=∠CP’P+∠CPP’=2∠CP’P，∠PDC=∠DPP’’+∠DP’’P=2∠DP’’P
所以∠PCD+∠PDC=2∠CP’P+2∠DP’’P=2（∠CP’P+∠DP’’P）=2（∠PP’P’’+∠PP’’P’）
=2∠AOB=2x°。
（2）∠CPD=180°-2x°
由
（1）知∠PCD+∠PDC=2x°，根据三角形内角和可以得知∠CPD=180°-2x°
【例5】（2012•兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD
上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出
∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：
作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选：
B．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
总结：
如果这道题利用思考五给的公式我们可以进行秒杀，不信我们来试试
∵∠BAD=120°∴∠C=60°，∴∠AMN+∠ANM=2∠C=120°。
【练习5】（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°
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