线性代数公式大全Word文件下载.docx
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AE=A，EA=A
A（kE）=kA，（kE）A=kAAB=E⇔BA=E
与数的乘法的不同之处
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如
A2-2A-3E=（A-3E）（A+E）
无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB=0时⇒/A=0或B=0
由A≠0和AB=0⇒/B=0
由A≠0时AB=AC⇒/B=C（无左消去律）
特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：
AB=AC⇒B=C。
右消去律：
BA=CA⇒B=C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
①AB=0⇒B=0
②AB=AC⇒B=C
可逆矩阵的性质
i）当A可逆时，
AT也可逆，且（AT）-1=（A-1）T。
Ak也可逆，且（Ak）-1=（A-1）k。
数c≠0，cA也可逆，（cA）-1=1A-1。
c
ii）A，B是两个n阶可逆矩阵⇔AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1。
推论：
设A，B是两个n阶矩阵，则AB=E⇔BA=E
命题：
初等矩阵都可逆，且
（E（i,j））-1=E（i,j）
（E（i（c）））-1=
⎛⎛1⎫⎫
Eiç
⎪
⎝⎝⎭⎭
（E（i,j（c）））-1=E（i,j（-c））
准对角矩阵
A11
A=
A22
00
0
0Akk
-111
可逆⇔每个A都可逆，记A-1=0
000
-122
00
-1
kk
伴随矩阵的基本性质：
AA*=A*A=
当A可逆时，
AE
AA*=E得
，（求逆矩阵的伴随矩阵法）
且得：
（A*）-1=
伴随矩阵的其他性质
A=（A-1）*
A
⎛-1
ç
⎝
）*=
A-1
（A-1
）-1=⎫
⎭
A*=
AA-1
②（AT）*=（A*）T,
④（AB）*=B*A*,
⑤（Ak）*=（A*）k，
⎛a-b⎫
n=2时，（A*）*=A
关于矩阵右上肩记号：
T，k，-1，*
A*=ç
-cd⎪
i）任何两个的次序可交换，如（AT）*=（A*）T，
（A*）-1=（A-1）*等
ii）（AB）T=BTAT,（AB）-1=B-1A-1，
（AB）*=B*A*
但（AB）k=BkAk不一定成立！
线性表示
0→α1,α2,,αs
αi→α1,α2,,αs
β→α1,α2,,αs⇔x1α1+x2α2++xsαs=β有解
⇔（α1,α2
,αs
）x=β有解（x=（x1,,xs
）T）
Ax=β有解，即β可用A的列向量组表示
AB=C=（r1,r2,,rs），A=（α1,α2,,αn），则r1,r2,,rs→α1,α2,,αn。
β1,β2,,βt→α1,α2,,αs，
则存在矩阵C，使得（β1,β2,,βt）=（α1,α2,,αs）C
线性表示关系有传递性当β1,β2,,βt→α1,α2,,αs→r1,r2,,rp，
则β1,β2,,βt→r1,r2,,rp。
等价关系：
如果
α1,α2,,αs→←β1,β2,,βt
α1,α2,,αs
与β1,β2,,βt
互相可表示
记作α1,α2,,αs≅β1,β2,,βt。
线性相关
s=1，单个向量α，xα=0
α相关⇔α=0
s=2，α1,α2相关⇔对应分量成比例α1,α2相关⇔a1:
b1=a2:
b2==an:
bn
A=（α1,α2,,αn），Ax=0有非零解⇔
A=0
如果s>
n，则α1,α2,,αs一定相关
Ax=0的方程个数n<
未知数个数s
证明：
设c1,,cs,c不全为0，使得c1α1++csαs+cβ=0
则其中c≠0，否则c1,,cs不全为0，c1α1++csαs=0，与条件α1,,αs无关矛
盾。
于是β=-c1α
c1
-
-csα。
cs
（表示方式不唯一⇔α1αs相关）
记A=（α1,,αs），B=（β1,,βt），
则存在s⨯t矩阵C，使得B=AC。
Cx=0有s个方程，t个未知数，s<
t，有非零解η，Cη=0。
则Bη=ACη=0，即η也是Bx=0的非零解，从而β1,,βt线性相关。
各性质的逆否形式
①如果α1,α2,,αs无关，则s≤n。
②如果α1,α2,,αs有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果α1αs无关，而β→/α1,,αs，则α1,,αsβ无关。
⑤如果β1βt→α1αs，β1βt无关，则t≤s。
若两个无关向量组α1αs与β1βt等价，则s=t。
极大无关组
另一种说法：
取α1,α2,,αs的一个极大无关组（I）
（I）也是α1,α2,,αs,β的极大无关组⇔（I）,β相关。
β→α1,,αs⇔β→（I）⇔（I）,β相关。
⇒γ（β1,,βt）≤γ（α1,,αs）
矩阵的秩的简单性质
0≤r（A）≤min{m,n}r（A）=0⇔A=0
A行满秩：
r（A）=m
A列满秩：
r（A）=n
n阶矩阵A满秩：
A满秩⇔A的行（列）向量组线性无关
⇔A≠0
⇔A可逆
⇔Ax=0只有零解，Ax=β唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
①r（AT）=r（A）
②c≠0时，r（cA）=r（A）
③r（A±
B）≤r（A）+r（B）
④r（AB）≤min{r（A）,r（B）}
⑤A可逆时，r（AB）=r（B）
弱化条件：
如果A列满秩，则γ（AB）=γ（B）
证：
下面证ABx=0与Bx=0同解。
η是ABx=0的解⇔ABη=0
⇔Bη=0⇔η是Bx=0的解
B可逆时，r（AB）=r（A）
⑥若AB=0，则r（A）+r（B）≤n（A的列数，B的行数）
⑦A列满秩时r（AB）=r（B）
B行满秩时r（AB）=r（A）
⑧r（AB）+n≥r（A）+r（B）
解的性质
1．Ax=0的解的性质。
如果η1,η2,,ηe是一组解，则它们的任意线性组合c1η1+c2η2
++ceηe一定也
是解。
2．Ax=β（β≠0）
①如果ξ1,ξ2,,ξe是Ax=β的一组解，则
c1ξ1+c2ξ2++ceξe也是Ax=β的解⇔c1+c2++ce=1
c1ξ1+c2ξ2++ceξe是Ax=0的解⇔c1+c2++ce=0
Aξi=β⋅∀i
A（c1ξ1+c2ξ2++ceξe）=c1Aξ1+c2Aξ2++ceAξe
=（c1+c2++ce）β
当ξ1,ξ2是Ax=β的两个解时，ξ1-ξ2是Ax=0的解
特别的：
②如果ξ0是Ax=β的解，则n维向量ξ也是Ax=β的解⇔ξ-ξ0是Ax=0的解。
解的情况判别
方程：
Ax=β，即x1α1+x2α2++xnαn=β
有解
⇔β→α1,α2,,αn
⇔γ（A|β）=γ（A）⇔γ（α1,α2,,αn,β）=γ（α1,α2,,αn）
无解
⇔γ（A|β）>
γ（A）
唯一解
⇔γ（A|β）=γ（A）=n
无穷多解
⇔γ（A|β）=γ（A）<
n
方程个数m：
γ（A|β）≤m,γ（A）≤m
①当γ（A）=m时，γ（A|β）=m，有解
②当m<
n时，γ（A）<
n，不会是唯一解对于齐次线性方程组Ax=0，
只有零解⇔γ（A）=n（即A列满秩）
（有非零解⇔γ（A）<
n）
特征值特征向量
λ是A的特征值⇔λ是A的特征多项式xE-A的根。
两种特殊情形：
（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。
1
⎛λ**⎫
A=ç
0
⎝0
λ2*⎪
⎪
3⎭
xE-A=
x-λ1
-*
x-λ2
x-λ3
=（x-λ1）（x-λ2）（x-λ3）
（2）r（A）=1时：
A的特征值为0,0,,0,tr（A）
特征值的性质
n阶矩阵A的特征值λ的重数≥n-r（λE-A）
设A的特征值为λ1,λ2,,λn，则
设η是A的特征向量，特征值为λ，即Aη=λη，则
①对于A的每个多项式f（A），f（A）η=f（x）η
②当A可逆时，A-1η=1η，A*η=|A|η
λλ
设A的特征值为λ1,λ2,,λn，则
①f（A）的特征值为f（λ1）,f（λ2）,,f（λn）
②A可逆时，A-1的特征值为1,1
λ1λ2
,1
λn
A*的特征值为|A|,|A|,,|A|
λ1λ2λn
12n
③AT的特征值也是λ,λ,,λ
特征值的应用
①求行列式|A|=λ1,λ2,,λn
②判别可逆性
A-λE可逆⇔λ不是A的特征值。
当f（A）=0时，如果f（c）≠0，则A-cE可逆若λ是A的特征值，则f（λ）是f（A）的特征值⇒f（c）≠0⇒c不是A的特征值⇔AcE可逆。
n阶矩阵的相似关系
f（λ）=0。
当AU=UA时，B=A，而AU≠UA时，B≠A。
相似关系有i）对称性：
A~B⇔B~A
U-1AU=B，则A=UBU-1
ii）有传递性：
A~B，B~C，则A~C
U-1AU=B，V-1BV=C，则
（UV）-1A（UV）=V-1U-1AUV=V-1BV=C
命题当A~B时，A和B有许多相同的性质
①A=B
②γ（A）=γ（B）
③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。
A与B的特征向量的关系：
η是A的属于λ的特征向量⇔U-1η是B的属于λ的特征向量。
Aη=λη⇔B（U-1η）=λ（U-1η）
U-1Aη=λU-1η⇔U-1AUU-1η=λ（U-1η）
正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性
f（x1,x2,,xn）变为g（y1,y2,,yn），则它们同时正定或同时不正定
例如B=CTAC。
如果A正定，则对每个x≠0
xTBx=xTCTACx=（Cx）TACx>
（C可逆，x≠0，∴Cx≠0！
）我们给出关于正定的以下性质
A正定⇔A~-E
⇔存在实可逆矩阵C，A=CTC。
⇔A的正惯性指数=n。
⇔A的特征值全大于0。
⇔A的每个顺序主子式全大于0。
判断A正定的三种方法：
①顺序主子式法。
②特征值法。
③定义法。
基本概念
对称矩阵AT=A。
反对称矩阵AT=-A。
简单阶梯形矩阵：
台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。
如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：
（解的情况）
①写出增广矩阵（Aβ），用初等行变换化（Aβ）为阶梯形矩阵（Bγ）。
②用（Bγ）判别解的情况。
i）如果（Bγ）最下面的非零行为（0,,0d），则无解，否则有解。
ii）如果有解，记γ是（Bγ）的非零行数，则
γ=n时唯一解。
γ<
n时无穷多解。
iii）唯一解求解的方法（初等变换法）
去掉（Bγ）的零行，得（Bγ），它是n⨯（n+c）矩阵，B是n阶梯形矩阵，从而是上三角
矩阵。
则bnn≠0⇒bn-1n-1≠0⇒bii都不为0。
（Aβ）−−行→（Br）−−行→（Eη）
η就是解。
a11a21
一个n阶行列式
an1
①是n!
项的代数和
a12a22
an2
a1na
的值：
ann
②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!
项
排列。
a1j1a2j2anjn其中j1j2jn是1,2,,n的一个全
③a1j1a
njn
前面乘的应为（-1）τ（j1j2jn）
τ（j1
j2jn
）的逆序数
=∑（-1）τ（j1j2jn）a
a2j2
anjn
j1j2jn
代数余子式
Mij为aij的余子式。
Aij
=（-1）i+jM
ij
定理：
一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。
一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。
范德蒙行列式
11
a1a1
1
an
=∏（aji<
j
-ai）
C2个
乘法相关
AB的（i,j）位元素是A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和。
乘积矩阵的列向量与行向量
（1）
设m⨯n矩阵A=（α,α
,α
），n维列向量β=（b,b,,b
）T，则
Aβ=b1α1+b2α2++bnαn
矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式
Ax=β，（β=（b,b,,b
12m
方程组的向量形式
x1α1+x2α2++xnαn=β
（2）设AB=C，
AB=（Aβ1,Aβ2,,Aβs）
ri=Aβi=b1iα1+b2iα2++bniαn
AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分
量。
AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分
矩阵分解
当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B
的乘积
特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题
（α,α
⎛λ00
）ç
0λ20
0⎫
0⎪=（λα,λα
,λα）
12nç
00⎪
1122nn
⎝00
0λn⎭
对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量
于是AE=A，EA=A
A（kE）=kA，（kE）A=kA
两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘
对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂
对一个n阶矩阵A，规定tr（A）为A的对角线上元素之和称为A的迹数。
于是（αβT）k
=（βTα）k-1αβT=[tr（αβT）]k-1αβT
αTα=tr（ααT）
其他形式方阵的高次幂也有规律
⎛1
例如：
A=ç
01⎫
20⎪
0⎭
初等矩阵及其在乘法中的作用
（1）E（i,j）：
交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列
（2）E（i（c））：
用数c（≠0）乘E的第i行或第i列
（3）E（i,j（c））：
把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。
初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换
乘法的分块法则
一般法则：
在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。
两种常用的情况
（1）A,B都分成4块
⎛A11
A12⎫
⎛B11
B12⎫
⎪，B=ç
ABB
⎝21
22⎭
其中Ai1的列数和B1j的行数相等，Ai2的列数和B2j的行数相关。
⎛A11B11+A12B21A11B12+A12B22⎫
AB=ç
AA
+
AB+AB⎪
⎝2111
2221
21122222⎭
（2）准对角矩阵
00⎫
0A22
0⎪
⎪
A
⎫⎛B
⎪ç
⎛A11B11
0A22
0⎪ç
B22
0⎪=ç
A22B220⎪
⎪ç
⎪ç
⎪
⎪ç
00A0
⎪ç
0B00AB
矩阵方程与可逆矩阵
两类基本的矩阵方程（都需求A是方阵，且A≠0）
（I）Ax=B
（I）的解法：
（AB）−−行→（Ex）
（II）xA=B
（II）的解法，先化为ATxT
（ATBT）→（ExT）。
=BT。
通过逆求解：
Ax=B，x=A-1B
可逆矩阵及其逆矩阵
定义：
设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH=E，且HA=E，则称A是可逆矩
n阶矩阵A可逆⇔A≠0
求A
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