灾情巡视问题进一步优化.docx

灾情巡视问题进一步优化.docx

《灾情巡视问题进一步优化.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《灾情巡视问题进一步优化.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

灾情巡视问题进一步优化

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的参赛报名号（如果赛区设置报名号）：

所属学校（请填写完整的全名）：

淮北师范大学

参赛队员（打印并签名）：

1.孙三山

2.孙丰凯

3.郭婉璐

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

李昌文

日期：

2011年8月14日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

灾情巡视问题

摘要

本题所研究的分组巡视的最佳路线与多个旅行推销员的问题相似，但也有不同，因为此题还有均衡性要求。

这是一类图上的点的遍历性问题，即用若干条闭链覆盖图上所有的顶点，并使某些指标达到最优。

首先，将乡村公路示意图转化为赋权连通图，并通过最小生成树法将原权图划分为若干个子图，然后，利用Hamilon圈法分别求出各个子图的最佳巡视路线。

最后，利用本文中自定义的均衡公式：

合，来衡量分组的均衡性，如果均衡度越小，那么分组的均衡性就越好，据此来判断分组是否满足题意。

而题中，在基于最小生成树法将原权图划分为若干个子图的划分情况下，就必然使得总巡视路程相对较短，而均衡度不够令人满意，此时根据实际需要，若要使总巡视路程优先，达到相对较短，则采用原划分的子图分组；若要使均衡度优先，达到满意要求，则我们可以对各分组部分边界点进行重划分调整。

【关键词】：

均衡度最小生成树Hamilon圈最佳巡视路线

一、问题重述

下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

今年夏天该县遭受水灾。

为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。

巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。

问题一：

若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。

问题二：

假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度v=35公里/小时。

要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题三：

在上述关于T,t和v的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题四：

若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和v改变对最佳巡视路线的影响。

二、问题分析

本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线。

将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小。

针对问题一，我们采用最小生成树法求解并得到结果。

若分三组巡视，最小生成树法求解各组的巡视路程分别为159.3km、242.2km、186.4km，总路程为587.9km，路程均衡度为34%。

此结果下的总路程相对较短，而均衡度偏高。

如果要优先考虑均衡度，在最小生成树法求解发改进的基础上得到：

197.6km、204.9km、206.8km，总路程为609.3km，路程均衡度为4.4%。

针对问题二，基于计算可以发现至少分4组，并求出了各组的最佳巡视路线。

各组巡视的路程和时间分别为125.5km／19.6h、154.3km／22.4h、203.9km／23.8h、158.8km／21.5h，时间均衡度为18%。

针对问题三，巡视离县城最远的乡镇（点H）所需的时间6.43小时作为最短巡视时间，所以我分析不同的组，仍以权衡为衡量最佳路线的一个重要的标准，但同时也考虑到所用车辆尽量小，最后侧重不同角度经分析得出两种不同的分组，分别为22和7组。

针对问题四，实际上是一个变量讨论问题。

在分析乡（镇）停留时间T，村庄停留时间t和汽车行驶速度v的改变对最佳巡视路线的影响时，我们通过控制不同变量的变化，初步的得出了当两个变量变化时另一变量对我们选择最佳巡视路线的影响。

三、模型假设

1、公路不考虑等级差别，也不受灾情或交通情况的影响；

2、各条公路段上汽车行驶的速度可以认为是均匀的；

3、巡视人员在各乡（镇）、村停留的时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；

4、各巡视组巡视的乡（镇）、村不受行政区划的影响，即某乡（镇）与隶属于它的村不一定要分在同一组内；

5、忽略不计巡视人员上、下车所用的时间。

四、符号说明

:

巡视人员的分组数;

：

赋权连通图；

：

赋权连通图的第个子图;

：

子图中的最佳回路；

：

最佳回路的各边权之和；

：

最佳回路的巡视时间;

：

第个乡、村到第个乡、村的距离；

：

巡视员在各乡（镇）的停留时间；

：

巡视人员在各村停留的时间；

：

汽车行驶的速度，单位公里／小时。

五、模型建立与求解

1、问题一模型的建立及求解：

根据题意现要分三组进行巡视，则我们需要把图分成三个子图，在每个子图中寻找最佳回路。

因为最小生成树中能包含图中所有的顶点，而且最小树的边权是相邻两顶点间的距离，它描述了顶点之间的相近程度，故可以采用最小生成树进行分组。

在无向赋权连通图G中任取一个回路,去掉这个回路中权数最大的边,得一新的网络图,在新图中再任取一回路,去掉这个回路中权数最大的边,得另一网络图，如此继续下去,直到剩下的子图中不再含回路为止,最后的这个子图为G的最小生成树如图1：

图1

由最小生成树进行分组结合最短路径得到下图

（2）

图2

把图2转化成表格形式即为表1：

表1

编号

路线

路线长度/公里

路线总长度/公里

Ⅰ

O-P-26-27-28-30-Q-29-R-

A-33-31-32-35-34-B-1-O

159.3

587.9

Ⅱ

O-25-20-L-19-18-J-13-14-H-15-

I-16-17-22-K-21-23-24-N-M-O

242.2

Ⅲ

O-2-5-6-7-E-11-G-12-10-

F-9-8-4-D-3-C-O

186.4

为了衡量分组的合理性，于是我们定义分组的路程均衡度公式：

；

显然，值越小，说明分组的均衡性越好，根据表一计算得均衡度。

从上述图表中不难看出，第二组走的路程过长而第一组走的路程过短，两者之间的差值较大，也就是说这样分组的均衡性较差。

因此，我们需在基于最小生成树的原则之上对原来的分组进行适当的调整，适当优化后得如下分组图（3）。

图3

把图3转化成表格形式即为表2：

表2

编号

路线

路线长度/公里

路线总长度/公里

Ⅰ

O-P-26-N-24-27-28-Q-30-29-

R-A-33-31-32-35-34-B-1-O

194.0

605.5

Ⅱ

O-23-21-K-22-17-16-18-I-15-

H-14-13-J-19-L-20-25-M-O

225.1

Ⅲ

O-2-5-6-7-E-11-G-12-

10-F-9-8-4-D-3-C-O

186.4

根据上表计算均衡度。

分析表3可知，第二组与第三组走的路程间的差值还是比较大，也就是说这样分组的均衡性还有待改善。

于是，我们在基于最小生成树的原则之上对初步改进后的分组进行适当的调整。

为了缩小第二、三组间的路程差，首先，我们将第二组的H点分到第三组；然后采用上述中同样的方法求解得到最终改进后各组的巡视路线图见表3。

表3

编号

路线

路线长度/公里

路线总长度/公里

Ⅰ

O-P-26-N-23-24-27-28-Q-30-29-

R-A-33-31-32-35-34-B-1-O

197.6

609.3

Ⅱ

O-P-26-N-25-21-K-22-17-16-18-I-15-

14-13-J-19-L-20-25-M-O

204.9

Ⅲ

O-C-3-D-4-8-E-9-F-10-

F-12-H-12-G-11-E-7-6-5-2-O

206.8

根据上表计算。

图4

综上所述，通过我们科学严谨的计算，三次逐步的精确，不断优化，最终得到了均衡度相对比较小且总路程相对也比较小的路线，可信度比较高。

2、问题二模型的建立及求解：

此问添加了巡视组在各乡（镇）停留的时间小时，在各村停留的时间小时以及汽车的行驶速度公里／小时的条件后，要求在24小时内完成巡视的最少分组数以及相应的最佳巡视路线。

此时需访问的乡（镇）共有17个，村共有35个，于是可以计算出巡视人员在乡（镇）及村停留的总时间为小时。

此外，从问题一的结果中可知，巡视的总路程至少为500公里，则汽车行驶所需的时间和将超过14小时。

由此可知，各组巡视所需的总时间之和超过83小时，要想在24小时内完成巡视则应满足：

（i为分的组数）。

得i最小为4，故至少要分4组。

根据表1的最小生成树与最短路径图，并运用哈密顿回路法找出各个组的最佳巡视路线如图5。

并计算出各组最佳巡视路线的总长度及汽车行驶所需时间，同时算出各组的停留时间,从而得到各组完成巡视的最佳时间，如表4所示。

图5

表4

编号

路线

路线长度

停留时间

行驶时间

总时间

Ⅰ

O-1-B-A-34-35-33-31

-32-30-Q-29-R-O

125.5

16

3.6

19.6

Ⅱ

O-P-28-27-26-N-24-23-22-17

-16-17-K-21-25-M-O

154.3

18

4.4

22.4

Ⅲ

O-M-20-18-I-15-14-H-12-G-11

-G-13-J-19-L-20-M-O

203.9

18

5.8

23.8

Ⅳ

O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E

-8-4-D-3-C-O

158.8

17

4.5

21.5

从上述图表中可以看出所分的四个组的巡视时间均小于24小时，符合题意。

此外，计算得到该分组的时间均衡度公式为：

；

此时，计算得到均衡度：

。

故如图5所示的4组路线可行且符合题意。

3、问题三模型的建立及求解：

此问题就是要求如果有足够多的巡视人员，怎样确定最佳路线是完成巡视的时间最短。

实际上，完成巡视的最短时间受到单独巡视离县城最远的乡（镇）、村所需时间的制约，同时我们可以求出离县城最远的点是H点，距离为77.5公里。

因此，单独巡视返回该乡所需的时间为小时。

由