导学案推理与证明.docx

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导学案推理与证明

【课题】：

2．1．1合情推理1

【学习目标】：

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

【重点】：

归纳推理

【难点】：

归纳推理

【合作探究】：

归纳推理

问题1:

哥德巴赫猜想：

观察6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜想：

.

问题2：

由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出.

【新知】：

归纳推理就是由某类事物的,推出该类事物的

的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由

的推理.

【自主学习】：

导练1.观察下列等式：

1+3=4=，

1+3+5=9=，

1+3+5+7=16=，

1+3+5+7+9=25=，

……

你能猜想到一个怎样的结论？

变式：

观察下列等式：

1=1

1+8=9，

1+8+27=36，

1+8+27+64=100，

……

你能猜想到一个怎样的结论？

导练2.已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.

变式：

在数列{}中，,（），试猜想这个数列的通项公式.

【动手试试】：

练1.应用归纳推理猜测的结果.

练2.在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式.

【学习小结】：

1．归纳推理的定义.

2.归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.

※知识拓展

1.费马猜想：

法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：

对所有的自然数，任何形如的数都是素数.后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.

2.四色猜想：

1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：

“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.

【当堂检测】：

1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.

A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程

B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程

C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确

D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2.若，下列说法中正确的是（）.

A.可以为偶数B.一定为奇数

C.一定为质数D.必为合数

3.已知，猜想的表达式为（）.

A.B.

C.D.

4.，经计算得

猜测当时，有.

5.从中得出的一般性结论是.

【课题】：

2．1．1合情推理2

【学习目标】：

1.结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；

2.能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

【重点】：

归纳推理

【难点】：

归纳推理

【复习】：

1.已知，考察下列式子：

；；.

我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为.

2.猜想数列的通项公式是.

【自主探究】：

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：

火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.

【新知】：

类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由到的推理.

导练1.类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.

类比角度

实数的加法

实数的乘法

运算结果

运算律

逆运算

单位元

变式：

找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.

圆的概念和性质

球的类似概念和性质

圆的周长

圆的面积

圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长

以点为圆心，r为半径的圆的方程为

导练2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

变式：

用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.

三角形

四面体

三角形的两边之和大于第三边

三角形的中位线平行且等于第三边的一半

三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）

新知：

和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.

动手试试：

1.如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？

2.在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？

学习小结

1．类比推理是由特殊到特殊的推理.

2.类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.

3.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.

当堂检测

1.下列说法中正确的是（）.

A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理

C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理

2.下面使用类比推理正确的是（）.

A.“若,则”类推出“若,则”

B.“若”类推出“”

C.“若”类推出“（c≠0）”

D.“”类推出“

3.设，

，n∈N，则（）.

A.B.－C.D.－

4.一同学在电脑中打出如下若干个圆

若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.

5.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.

6.在等差数列中，若，则有

成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？

7.在各项为正的数列中，数列的前n项和满足

（1）求；

（2）由

（1）猜想数列的通项公式；（3）求

【课题】：

2．1．2演绎推理

【学习目标】：

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；

2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

【重点】：

归纳推理

【难点】：

归纳推理

【复习】：

1：

归纳推理是由到的推理.

类比推理是由到的推理.

2：

合情推理的结论.

【合作探究】：

探究任务一：

演绎推理的概念

问题：

观察下列例子有什么特点？

（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；

（2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此；

（3）在一个标准大气压下，水的沸点是，所以在一个标准大气压下把水加热到时，

；

（4）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；

（5）三角函数都是周期函数，是三角函数，所以；

（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么.

【新知1】：

演绎推理是从出发，推出情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由到的推理.

探究任务二：

观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？

所有的金属都导电铜是金属铜能导电

已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断

大前提小前提结论

【新知1】：

“三段论”是演绎推理的一般模式：

大前提—；

小前提—；

结论—.

试试：

请把探究任务一中的演绎推理

（2）至（6）写成“三段论”的形式.

导练1在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足.求证：

AB的中点M到D，E的距离相等.

新知：

用集合知识说明“三段论”：

大前提：

小前提：

结论：

导练2证明函数在上是增函数.

小结：

应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.

导练3下面的推理形式正确吗？

推理的结论正确吗？

为什么？

所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提）

菱形是所有边长都相等的凸多边形，（小前提）

菱形是正多边形.（结论）

小结：

在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确.

动手试试

1.用三段论证明：

通项公式为的数列是等比数列.

2.在中，，CD是AB边上的高，求证.

证明：

在中，，

所以，于是.

指出上面证明过程中的错误.

学习小结

1.合情推理；结论不一定正确.

2.演绎推理：

由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.

当堂检测

1.因为指数函数是增函数，是指数函数，则是增函数.这个结论是错误的，这是因为

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.非以上错误

2.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”

结论显然是错误的，是因为

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.非以上错误

3.用三段论证明：

为奇函数.

【课题】：

2．2．1综合法和分析法1

【学习目标】：

1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

分析法和综合法；

2.会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

3.根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.

【重点】：

综合法和分析法

【难点】：

结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法

【复习】：

1：

两类基本的证明方法:

和.

2：

直接证明的两中方法:

和.

【合作探究】：

探究任务一：

综合法的应用

问题：

已知,求证:

.

新知：

一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫.

框图表示：

要点：

顺推证法；由因导果.

导练1已知，，求证：

变式：

已知，，求证：

.

小结：

用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.

导练2在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c

成等比数列.求证：

为△ABC等边三角形.

变式：

设在四面体中,D是AC的中点.

求证:

PD垂直于所在的平面.

小结：

解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.

动手试试

1.求证：

对于任意角θ，

2.为锐角，且，求证：

.

（提示：

算）

学习小结

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.

当堂检测

1.已知的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（）

A．B．C．D．

3.设，则（）

A．