特征值与特征向量定义与计算.docx

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特征值与特征向量定义与计算

特征值与特征向量

特征值与特征向量的概念及其计算

定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵，l是一个未知量，

称为A的特征多项式，记¦（l）=|lE-A|，是一个P上的关于l

的n次多项式，E是单位矩阵。

¦（l）=|lE-A|=ln+a1ln-1+…+an=0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。

特征方程¦（l）=|lE-A|=0的根（如：

l0）称为A的特征根（或特征值）。

n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值l0代入（lE-A）X=q，得方程组（l0E-A）X=q，是一个齐次方程组，称为A的关于l0的特征方程组。

因为|l0E-A|=0，（l0E-A）X=q必存在非零解X（0），X（0）称为A的属于l0的特征向量。

所有l0的特征向量全体构成了l0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法

对于矩阵A，由AX=l0X，l0EX=AX，得：

[l0E-A]X=q即齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是：

即说明特征根是特征多项式|l0E-A|=0的根，由代数基本定理

有n个复根l1,l2,…,ln，为A的n个特征根。

当特征根li（I=1,2,…,n）求出后，（liE-A）X=q是齐次方程，li均会使|liE-A|=0，（liE-A）X=q必存在非零解，且有无穷个解向量，（liE-A）X=q的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

例1.求矩阵的特征值与特征向量。

解：

由特征方程

解得A有2重特征值l1=l2=-2，有单特征值l3=4

对于特征值l1=l2=-2，解方程组（-2E-A）x=q

得同解方程组x1-x2+x3=0

解为x1=x2-x3（x2,x3为自由未知量）

分别令自由未知量

得基础解系

所以A的对应于特征值l1=l2=-2的全部特征向量为

x=k1x1+k2x2（k1,k2不全为零）

可见，特征值l=-2的特征向量空间是二维的。

注意，特征值在重根时，特征向量空间的维数£特征根的重数。

对于特征值l3=4，方程组（4E-A）x=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=2得基础解系

所以A的对于特征值l3=4得全部特征向量为x=k3x3

例2.      求矩阵的特征值与特征向量

解：

由特征方程

解得A有单特征值l1=1，有2重特征值l2=l3=0

对于l1=1，解方程组（E-A）x=q

得同解方程组为

同解为

令自由未知量x3=1，得基础解系

所以A的对应于特征值l1=1的全部特征向量为x=k1x1（k1¹0）

对于特征值l2=l3=0，解方程组（0E-A）=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，得基础解系

此处，二重根l=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数<特征根的重数，这种情况下，矩阵A是亏损的。

所以A的对应于特征值l2=l3=0得全部特征向量为x=k2x3

例3．  矩阵的特征值与特征向量

解：

由特征方程

解得A的特征值为l1=1,l2=i,l3=-i

对于特征值l1=1，解方程组（E-A）=q，由

得通解为

令自由未知量x1=1，得基础解系x1=（1,0,0）T，所以A的对应于特征值l1=1得全部特征向量为x=k1x1

对于特征值l2=i，解方程组（iE-A）=q

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，得基础解系x2=（0,i,1）T，所以A对应于特征值l2=1的全部特征向量为x=k2x2（k2¹0）。

对于特征值l3=-i，解方程组（-E-A）x=q，由

得同解方程组为

通解为

令自由未知量x3=1，，得基础解系x3=（0,-i,1）T，所以A的对应于l3=-i的全部特征向量为x=k3x3。

特征根为复数时，特征向量的分量也有复数出现。

特征向量只能属于一个特征值。

而特征值li的特征向量却有无穷多个，他们都是齐次线性方程组（liE-A）x=q的非0解。

其中，方程组（liE-A）x=q的基础解系就是属于特征值li的线性无关的特征向量。

性质1.n阶方阵A=（aij）的所有特征根为l1，l2，…,ln（包括重根），则

证第二个式子：

由伟达定理，l1l2…ln=（-1）nan

又|lE-A|=ln+a1ln-1+…+an-1l1+an中用l=0代入二边，得：

|-A|=an，而|A|=（-1）nan=l1l2…ln，

性质2.若l是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

可见是A-1的一个特征根。

其中l¹0，这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若li=0,

|A|=l1l2…ln=0，A奇异，与A可逆矛盾。

性质3.若l是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则

lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

证：

1）Ax=lx，二边左乘A，得：

A2x=Alx=lAx=llx=l2x，

可见l2是A2的特征根；

2）若lm是Am的一个特征根，Amx=lmx，

二边左乘A，得：

Am+1x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1x，

得lm+1是Am+1的特征根

用归纳法证明了lm是Am的一个特征根。

性质4.设l1，l2，…,lm是方阵A的互不相同的特征值。

xj是属于li的特征向量（i=1,2,…,m），则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。

性质4可推广为：

设l1，l2，…,lm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于lm的线性无关特征向量。

则向量组x11,x12,…,x1,k1,…,xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。

即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。