一元二次方程测验题及答案解析Word格式.docx

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N：

cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（）

A.如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根

B.如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C.如果5是方程M的一个根，那么

是方程N的一个根

D.如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

11.已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）

A．7B．11C．12D．16

12.设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）

13.

1

若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x2﹣3x1﹣x2﹣6的值是．

14.已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是．

15.已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=．

16.已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=．

17.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数m的个数是．

18.关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为．

19.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形

绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为米．

20.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0

21.

的根的判别式△0（填：

“＞”或“=”或“＜”）．

三．解答题（共8小题）

21．（6分）解下列方程．

（1）x2﹣14x=8（配方法）

（2）x2﹣7x﹣18=0（公式法）

（3）（2x+3）2=4（2x+3）（因式分解法）

22．（6分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．

23．（6分）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；

②求2x2﹣

的值．

24．（6分）关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．

25．（8分）某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．

（1）求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．

（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．

26．（8分）如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米．

（1）求通道的宽度；

（2）晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”

的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50

平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积．

27．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：

信息1：

甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；

信息2：

甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；

信息3：

按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）求甲、乙两种商品的零售单价；

（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？

28．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．

（1）求证：

该一元二次方程总有两个实数根；

（2）若n=4（x1+x2）﹣x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1.方程x（x﹣2）=3x的解为（）

A．x=5B．x1=0，x2=5C．x1=2，x2=0D．x1=0，x2=﹣5

【解答】解：

x（x﹣2）=3x，x（x﹣2）﹣3x=0，x（x﹣2﹣3）=0，x=0，x﹣2﹣3=0，x1=0，x2=5，

故选B．

2.下列方程是一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0

A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

B、由原方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；

C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；

D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；

故选D．

3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3

∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，

∴02+a2﹣1=0，解得，a=±

1，故选C．

4.某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（）

A．12（1+x）=17B．17（1﹣x）=12C．12（1+x）2=17D．12+12（1+x）+12（1+x）2=17

设游客人数的年平均增长率为x，则2016的游客人数为：

12×

（1+x），

2017的游客人数为：

（1+x）2．那么可得方程：

12（1+x）2=17．

故选：

C．

AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（）

设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×

（8﹣t）×

2t=15，

解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．

答：

动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

A．x（x+12）=210B．x（x﹣12）=210C．2x+2（x+12）=210D．2x+2（x﹣12）=210

设场地的长为x米，则宽为（x﹣12）米，根据题意得：

x（x﹣12）=210，

B．

7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中，若b＜0，则这个方程根的情况是（）

A.有两个正根

B.有一正根一负根且正根的绝对值大

C.有两个负根

D.有一正根一负根且负根的绝对值大

x2+bx﹣2=0，

△=b2﹣4×

1×

（﹣2）=b2+8，即方程有两个不相等的实数根，

设方程x2+bx﹣2=0的两个根为c、d，则c+d=﹣b，cd=﹣2，

由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，

由c+d=﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，故选B．

A．﹣1B．

根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x2+xx+x2=2k2，

1122

则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，

解得k=﹣1或

．

当k=

时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．

∴取k=﹣1．故本题选A．

A．有两个正根B．有两个负根

C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大

∵a＞0，b＜0，c＜0，

∴△=b2﹣4ac＞0，

＜0，﹣

＞0，

∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．

A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，

∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；

B、∵“

和

符号相同，

符号也相同，

∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；

C、∵5是方程M的一个根，

∴25a+5b+c=0，

∴a+

b+

c=0，

∴

是方程N的一个根，正确；

D、M﹣N得：

（a﹣c）x2+c﹣a=0，即（a﹣c）x2=a﹣c，

∵a﹣c≠1，

∴x2=1，解得：

x=±

1，错误．故选D．

∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，

∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，

∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．

∵方程有两个实数根，

∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，

∴t≥2，

∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故选D．

方法1、∵方程有两个不相等的实数根，则a≠0且△＞0，

由（a+2）2﹣4a×

9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣

＜a＜

，

∵x1+x2=﹣

，x1x2=9，

又∵x1＜1＜x2，

∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，

那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，即9+

+1＜0，

解得

＜a＜0，

最后a的取值范围为：

＜a＜0．故选D．

方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，

∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣

（不符合题意，舍去），当a＜0时，x=1时，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣，

∴﹣

＜a＜0，故选D．

二．填空题（共8小题）

若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x2﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．

∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，

∴x2﹣2x=5，x+x=2，

1112

∴x2﹣3x﹣x﹣6=（x2﹣2x）﹣（x+x）﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．

1121112

故答案为：

﹣3．

14.

已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值

∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，

∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣

∴ba=（﹣

）2=

15.已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，则m=±

4．

由题意可得|m|﹣2=2，解得，m=±

4．

±

16.已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=8．

x2+6x+9=8，

（x+3）2=8．所以q=8．故答案为8．

17.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等

式组的解集是x＜﹣1，则所有符合条件的整数m的个数是4．

∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，

∴m﹣1≠0且△=（﹣3）2﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜

且m≠1，

，∵解不等式组得

，而此不等式组的解集是x＜﹣1，

∴m≥﹣1，

∴﹣1≤m＜

∴符合条件的整数m为﹣1、0、2、3．故答案为4．

18.关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为2．

由已知得：

△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）≥0，即12﹣4m≥0，

解得：

m≤3，

∴偶数m的最大值为2．故答案为：

2．

19.

如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为1米．

设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．

x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．即：

人行通道的宽度是1米．

故答案是：

1．

20.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0

的根的判别式△＞0（填：

∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，

∴k＞0，b＜0，

∴△=（﹣2）2﹣4（kb+1）=﹣4kb＞0．故答案为＞．

21.解下列方程．

（1）x2﹣14x=8（配方法）

（2）x2﹣7x﹣18=0（公式法）

（4）2（x﹣3）2=x2﹣9．

（1）x2﹣14x+49=57，

（x﹣7）2=57，

x﹣7=±

所以x1=7+

，x2=7﹣

；

（2）△=（﹣7）2﹣4×

（﹣18）=121，

所以x1=9，x2=﹣2；

（3）（2x+3）2﹣4（2x+3）=0，

（2x+3）（2x+3﹣4）=0，

2x+3=0或2x+3﹣4=0，

所以x1=﹣

，x2=

（4）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，

（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，所以x1=3，x2=9．

22.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：

m=2．

当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，

∴x1=﹣1，x2=2，

∴方程的另一个根为2．

（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，

∴，

m＞

且m≠1，

∴当m＞

且m≠1时，方程有两个不同的实数根．

23.关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．

②求2x2﹣

（1）根据题意△=64﹣4×

（a﹣6）×

9≥0且a﹣6≠0，解得a≤

且a≠6，

所以a的最大整数值为7；

（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，

△=64﹣4×

9=28，

∴x=

∴x1=4+

，x2=4﹣

②∵x2﹣8x+9=0，

∴x2﹣8x=﹣9，

所以原式=2x2﹣

=2x2﹣16x+

=2（x2﹣8x）+

=2×

（﹣9）+

=﹣

24.关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．

（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴△=[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，解得：

k＜

（2）∵k＜

∴x1+x2=2k﹣3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，

∴x1＜0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=﹣2k+3，

∵x1x2+|x1|+|x2|=7，

∴k2+1﹣2k+3=7，即k2﹣2k﹣3=0，

∴k1=﹣1，k2=2，又∵k＜

∴k=﹣1．

25.某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律．

（2）若某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．

（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（90，100），（100，80）代入y=kx+b得，

y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．

（2）根据题意得：

w=（x﹣80）（﹣2x+280）=﹣2x2+440x﹣22400=1350；

解得（x﹣110）2=225，

解得x1=95，x2=125．

销售单价为95元或125元．

26.如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方

形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为

40米．

的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了