高考全国二卷文科数学原题+解析.docx
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高考全国二卷文科数学原题+解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试
（课标全国卷Ⅱ）
文 数
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B=（ ）
A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}
2.设复数z满足z+i=3-i,则=（ ）
A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i
3.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示,则（ ）
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（ ）
A.12πB.πC.8πD.4π
5.设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,曲线y=（k>0）与C交于点P,PF⊥x轴,则k=（ ）
A.B.1C.D.2
6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=（ ）
A.-B.-C.D.2
7.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为（ ）
A.20πB.24πC.28πD.32π
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A.B.C.D.
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=（ ）
A.7B.12C.17D.34
10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=
11.函数f（x）=cos2x+6cos的最大值为（ ）
A.4B.5C.6D.7
12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x）,若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xm,ym）,则=（ ）
A.0B.mC.2mD.4m
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.已知向量a=（m,4）,b=（3,-2）,且a∥b,则m= .
14.若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为 .
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是 .
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
（Ⅰ）求{an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
18.（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位:
元）,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（Ⅰ）记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P（A）的估计值;
（Ⅱ）记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P（B）的估计值;
（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值.
19.（本小题满分12分）
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
（Ⅰ）证明:
AC⊥HD';
（Ⅱ）若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.
（Ⅰ）当a=4时,求曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线方程;
（Ⅱ）若当x∈（1,+∞）时,f（x）>0,求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知A是椭圆E:
+=1的左顶点,斜率为k（k>0）的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
（Ⅰ）当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时,证明:
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4—1:
几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合）,且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
（Ⅰ）证明:
B,C,G,F四点共圆;
（Ⅱ）若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23.（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
24.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲
已知函数f（x）=+,M为不等式f（x）<2的解集.
（Ⅰ）求M;
（Ⅱ）证明:
当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷Ⅱ）
一、选择题
1.D 由已知得B={x|-32.C z=3-2i,所以=3+2i,故选C.
3.A 由题图可知A=2,=-=,则T=π,所以ω=2,则y=2sin（2x+φ）,因为题图经过点,所以2sin=2,所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,当k=0时,φ=-,所以y=2sin,故选A.
4.A 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.
设球的半径为R,则2R=a,即R=,所以球的表面积S=4πR2=12π.故选A.
5.D 由题意得点P的坐标为（1,2）.把点P的坐标代入y=（k>0）得k=1×2=2,故选D.
6.A 由圆的方程可知圆心为（1,4）.由点到直线的距离公式可得=1,解得a=-,故选A.
易错警示 圆心的坐标容易误写为（-1,-4）或（2,8）.
7.C 由三视图知圆锥的高为2,底面半径为2,则圆锥的母线长为4,所以圆锥的侧面积为×4π×4=8π.圆柱的底面积为4π,
圆柱的侧面积为4×4π=16π,从而该几何体的表面积为8π+16π+4π=28π,故选C.
8.B 行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P==,故选B.
9.C 执行程序框图,输入a为2时,s=0×2+2=2,k=1,此时k>2不成立;再输入a为2时,s=2×2+2=6,k=2,此时k>2不成立;再输入a为5,s=6×2+5=17,k=3,此时k>2成立,结束循环,输出s为17,故选C.
10.D 函数y=10lgx的定义域、值域均为（0,+∞）,而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.
易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
11.B f（x）=1-2sin2x+6sinx=-2+,当sinx=1时,f（x）取得最大值5,故选B.
思路分析 利用二倍角余弦公式及诱导公式将f（x）=cos2x+6cos转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].
12.B 由题意可知f（x）的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|=|（x-1）2-4|的图象也关于直线x=1对称,所以两个图象的交点关于直线x=1对称,且每对关于直线x=1对称的交点的横坐标之和为2,所以xi=m,故选B.
疑难突破 关于直线x=1对称的两点横坐标之和为2,由题意得出f（x）与y=|x2-2x-3|的图象均关于直线x=1对称是解题的关键.
二、填空题
13.答案 -6
解析 因为a∥b,所以=,解得m=-6.
易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
14.答案 -5
解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示（包括边界）.当直线x-2y-z=0过点B（3,4）时,z取得最小值,zmin=3-2×4=-5.
15.答案
解析 由cosC=,0由cosA=,0所以sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）
=sinAcosC+sinCcosA=,
根据正弦定理得b==.
16.答案 1和3
解析 丙的卡片上的数字之和不是5,则丙有两种情况:
①丙的卡片上的数字为1和2,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和3,满足题意;②丙的卡片上的数字为1和3,此时乙的卡片上的数字为2和3,甲的卡片上的数字为1和2,这时甲与乙的卡片上有相同的数字2,与已知矛盾,故情况②不符合,所以甲的卡片上的数字为1和3.
疑难突破 先对丙分类讨论,确定出丙卡片上的数字情况再确定乙、甲是解决问题的关键.
三、解答题
17.解析 （Ⅰ）设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.
解得a1=1,d=.（3分）
所以{an}的通项公式为an=.（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,bn=.（6分）
当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤<5,bn=4.（10分）
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.（12分）
疑难突破 充分挖掘[x]的意义,进而将{bn}的表达式类比分段函数给出,从而求出数列{bn}的前10项和.
18.解析 （Ⅰ）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,
故P（A）的估计值为0.55.（3分）
（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,
故P（B）的估计值为0.3.（6分）
（Ⅲ）由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
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