高考数学总复习 86 抛物线但因为测试 新人教B版.docx

高考数学总复习 86 抛物线但因为测试 新人教B版.docx

《高考数学总复习 86 抛物线但因为测试 新人教B版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学总复习 86 抛物线但因为测试 新人教B版.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学总复习86抛物线但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习8-6抛物线但因为测试新人教B版

1.（文）（2011·惠州调研）若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为（　　）

A．－2　　　B．2　　　　

C．－4　　　D．4

[答案]　D

[解析]　椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝＝2，

∴右焦点（2,0），由题意知＝2，∴p＝4.

（理）（2011·东北三校联考）抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为（　　）

A．1　　　　B.　　　

C.　　　D.

[答案]　A

[解析]　抛物线y2＝8x的焦点F（2,0）到双曲线－＝1的渐近线y＝±x的距离d＝1.

2．（文）（2011·陕西文，2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是（　　）

A．y2＝－8xB．y2＝－4x

C．y2＝8xD．y2＝4x

[答案]　C

[解析]　由抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，∴抛物线方程为y2＝8x.故选C.

（理）（2010·河北许昌调研）过点P（－3,1）且方向向量为a＝（2，－5）的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，（m≠0）的焦点，则抛物线的方程为（　　）

A．y2＝－2xB．y2＝－x

C．y2＝4xD．y2＝－4x

[答案]　D

[解析]　设过P（－3,1），方向向量为a＝（2，－5）的直线上任一点Q（x，y），则∥a，∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2（－4－y）＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F，∴m＝－4，故选D.

3．（文）（2011·茂名一模）直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　　）

A．48B．56

C．64D．72

[答案]　A

[解析]　由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A（9,6），B（1，－2），而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝（|AP|＋|QB|）·|PQ|＝48，故选A.

（理）（2011·石家庄模拟）直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋（y－1）2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为（　　）

A．16B.

C．4D.

[答案]　B

[解析]　由得x2－3x－4＝0，

∴xA＝－1，xD＝4，yA＝，yD＝4，

∵直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F（0,1）．

∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，

∴＝＝.故选B.

4．（2010·福州市质检）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋（y－4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（　　）

A．5B．8

C.－1D.＋2

[答案]　C

[解析]　抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），圆x2＋（y－4）2＝1的圆心为C（0,4），设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥（|PC|－1）＋|PF|≥|CF|－1＝－1.

5．（2010·福建福州）若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M（4,4）且与l相切的圆共有（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[答案]　C

[解析]　经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．

故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．

6．（2011·湖北文，4）将两个顶点在抛物线y2＝2px（p>0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（　　）

A．n＝0B．n＝1

C．n＝2D．n≥3

[答案]　C

[解析]　由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x轴对称，所以过抛物线焦点F作斜率为（或斜率为－）的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．

7．（2010·延边州质检）抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为______．

[答案]　y2＝－4x

[解析]　由c2＝9－4＝5得F（－，0），

∴抛物线方程为y2＝－4x.

8．（文）若点（3,1）是抛物线y2＝2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.

[答案]　2

[解析]　设弦两端点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

则，两式相减得，＝＝2，

∵y1＋y2＝2，∴p＝2.

（理）已知点A（2,0）、B（4,0），动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．

[答案]　（0,0）

[解析]　设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为（0,0）．

9．（文）（2011·湖南六校联考）AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点到直线x＋＝0的距离为________．

[答案]　

[解析]　由题可知|AB|＝4，所以A、B两点分别到准线x＝－的距离之和为4，所以AB的中点到准线x＝－的距离为2，所以AB的中点到直线x＝－的距离为2＋＝.

（理）（2011·黑龙江哈六中期末）设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则AB的长为________．

[答案]　10

[解析]　2p＝8，∴＝2，∴E到抛物线准线的距离为5，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝2×5＝10.

10．（文）（2011·福建文，18）如图，直线l：

y＝x＋b与抛物线C：

x2＝4y相切于点A.

（1）求实数b的值；

（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

[解析]　

（1）由

得x2－4x－4b＝0（*）

∵直线l与抛物线相切

∴△＝（－4）2－4×（－4b）＝0　（*）

∴b＝－1

（2）由

（1）知b＝－1，方程（*）为x2－4x＋4＝0

解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A（2,1）

∵圆A与抛物线准线y＝－1相切

∴r＝|1－（－1）|＝2.

所以圆A的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝4.

（理）（2011·韶关月考）已知动圆过定点F（0,2），且与定直线L：

y＝－2相切．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0,2），分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：

AQ⊥BQ.

[解析]　

（1）解：

依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦点，L：

y＝－2为准线的抛物线，

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹方程是x2＝8y.

（2）证明：

因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：

y＝kx＋2.A（x1，y1），B（x2，y2）．

由可得x2－8kx－16＝0，

∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.

抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，

k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.

所以AQ⊥BQ.

11.（文）（2011·温州模拟）已知d为抛物线y＝2px2（p>0）的焦点到准线的距离，则pd等于（　　）

A.p2B．p2

C.D.

[答案]　D

[解析]　抛物线方程可化为x2＝y，

∴d＝，则pd＝，故选D.

（理）（2011·山东文，9）设M（x0，y0）为抛物线C：

x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（　　）

A．（0,2）B．[0,2]

C．（2，＋∞）D．[2，＋∞）

[答案]　C

[解析]　设圆的半径为r，因为F（0,2）是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又因为点M（x0，y0）为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M（x0，y0）在圆x2＋（y－2）2＝r2上．所以x＋（y0－2）2＝r2>16，所以8y0＋（y0－2）2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6（舍），

∴y0>2.故选C.

12．（文）（2010·山东文）已知抛物线y2＝2px（p>0），过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝2D．x＝－2

[答案]　B

[解析]　设A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB的中点（，），∴＝2，①－②得y－y＝2p（x1－x2），∴kAB＝＝＝，

∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，

∴准线方程为：

x＝－1，故选B.

（理）（2011·山东济宁一模）已知抛物线y2＝2px（p>0）上一点M（1，m）（m>0）到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　B

[解析]　根据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.

把M（1，m）代入y2＝16x得m＝4，即M（1,4）．

在双曲线－y2＝1中，A（－，0），则

kAM＝＝.

解得a＝.

13．（2011·台州二检）已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：

①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是（　　）

A．①③　　B．①④　　

C．②③　　D．②④

[答案]　A

[解析]　因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．

14．（2011·烟台检测）已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．

[答案]　4

[解析]　

建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A（4，－2），故可求得抛物线的方程为y＝－x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4米．

15．（文）已知点A（0，－2），B（0,4），动点P（x，y）满足·＝y2－8.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设

（1）中所求轨迹与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：

OC⊥OD（O为原点）．

[解析]　

（1）由题意可得

·＝（－x，－2－y）·（－x,4－y）＝y2－8，

化简得x2＝2y.

（2）证明：

将y＝x＋2代入x2＝2y中得，

x2＝2（x＋2）．

整理得x2－2x－4＝0，

可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.

∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，

∴y1·y2＝（x1＋2）（x2＋2）＝x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝4.

∴kOC·kOD＝·＝＝－1，

∴OC⊥OD.

（理）（2011·淄博模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝