学年宁德市同心顺联盟高二下期中数学复习卷2含答案解析.docx
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学年宁德市同心顺联盟高二下期中数学复习卷2含答案解析
2020-2021学年宁德市同心顺联盟高二（下）期中数学复习卷2
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知复数是虚数单位，则复数z的虚部是
A.B.C.D.
2.已知函数的导数为，若使得成立的，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
3.数列满足并且，则数列的第100项为
A.B.C.D.
4.下面是一段演绎推理：
如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；
已知直线平面，直线平面；
所以直线直线，在这个推理中
A.大前提正确，结论错误B.小前提与结论都是错误的
C.大、小前提正确，只有结论错误D.大前提错误，结论错误
5.已知复数z的共轭复数为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于．
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.已知函数均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是
A.B.
C.D.
7.用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为
A.假设至少有一个钝角
B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
8.函数单调递增区间是
A.B.C.D.
9.已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，若，且，f ，则不等式f 的解集为
A.B.C.D.
10.已知a为常数，函数有两个极值点，
A.，B.，
C.，D.，
11.有A，B，C，D，E这5名同学围成一圈，从A起按逆时针方向依次循环报数，规定：
A第一次报的数为2，B第一次报的数为此后，后一个人所报的数总是前两个人所报的数的乘积的个位数字，如此继续下去．则A第10次报的数应该为
A.2B.4C.6D.8
12.下列函数中，在内为增函数的是
A.B.C.D.
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数的图象在处的切线方程是，则 ．
14.若复数，，为虚数单位，则______．
15.定义函数表示k的最大奇因数，例如：
，，，．
______．
______．
16.设函数在处可导，则等于______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.计算：
；
18.分设x，y，z，且xyz求证：
，并说明等号成立的条件．
19.已知
若，求函数的单调区间；
若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
20.某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：
正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．
求关于的函数关系式；在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？
并求此时的值．
21.先解答，再通过结构类比解答：
请用tanx表示，并写出函数的最小正周期；
设，a为非零常数，且，试问是周期函数吗？
证明你的结论．
22.已知函数．
当时，求在处的切线方程；
当时，求在区间上的最小值用a表示．
【答案与解析】
1.答案：
B
解析：
解：
，
则复数z的虚部是．
故选：
B．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题
2.答案：
A
解析：
解：
由函数可得，由于使得成立的，即．
由于 ，，，故有，
故选：
A．
由题意可得，且成立，再由，，可得，从而求得实数的取值范围．
本题主要考查函数的导数的求法，不等式的性质应用，属于基础题．
3.答案：
D
解析：
试题分析：
，数列是常数数列，
设，，，
，
，选D．
考点：
等差数列的性质，裂项相消法．
4.答案：
D
解析：
试题分析：
如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D．
考点：
演绎推理．
5.答案：
D
解析：
由，得z，故复数z对应的点在第四象限．
6.答案：
D
解析：
试题分析：
因为，依题意，得则点所满足的可行域如图所示阴影部分，且不包括边界，其中，，．表示点到点的距离的平方，因为点P到直线AD的距离，观察图形可知，，又，所以，故选D
考点：
本题考查利用导数研究函数的极值，简单的线性规划
点评：
本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．
7.答案：
B
解析：
解析：
解：
因为用反证法证明命题“三角形的三个内角至多有一个钝角”时，对结论加以否定即可，即为假设至少有两个钝角
8.答案：
B
解析：
解：
，
当时，，此时函数单调递增，
故函数的单调递增区间．
故选：
B．
先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解．
本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，属于基础试题．
9.答案：
B
解析：
解：
因为函数是偶函数，所以，
所以，即函数是周期为4的周期函数．
因为，设，
所以，
所以在R上是单调递减，
不等式等价于，即，
所以．
所以不等式的解集为，
故选：
B．
利用函数是偶函数，推出函数是周期为4的周期函数．化简，设，利用函数，推出在R上是单调递减，转化不等式，推出，求解即可．
本题考查函数的导数的应用，考查构造法以及抽象函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
10.答案：
A
解析：
解：
，
令，由题意可得有两个解，
函数有且只有两个零点
在上的唯一的极值不等于0．
．
当时，，单调递增，因此至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
当时，令，解得，
，，函数单调递增；时，，函数单调递减．
是函数的极大值点，则，即，
，，即．
故当时，有两个根，，且，又，
，从而可知函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减．
，．
故选：
A．
先求出，令，由题意可得有两个解，函数有且只有两个零点在上的唯一的极值不等于利用导数与函数极值的关系即可得出．
本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11.答案：
D
解析：
解：
有A，B，C，D，E这5名同学围成一圈，
从A起按逆时针方向依次循环报数，规定：
A第一次报的数为2，B第一次报的数为3．
这五名同学所报的数字是由2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8，
这组数列从五位起后面的数字以8，4，2，8，6，8为周期进行循环，
A第10次报的数是这个数列的第46个数，
，
第10次报的数应该为8．
故选：
D．
这五名同学所报的数字是由2，3，6，8，8，4，2，8，6，8，8，4，2，8，6，8，这组数列从五位起后面的数字以8，4，2，8，6，8为周期进行循环，A第10次报的数是这个数列的第46个数，由此能求出A第10次报的数．
本题考查A第10次报的数的求法，考查归纳推理的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是基础题．
12.答案：
B
解析：
解：
A中，在内是增函数，不满足条件；
B中，在R上是增函数，在内是增函数，满足条件；
C中，令，得，或；在和上是增函数，不满足条件；
D中，令，得；在上是增函数，不满足条件；
故选：
B．
利用函数的周期性判定A中函数，利用导数研究函数的单调性判定B、C、D是否满足条件．
本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．
13.答案：
3
解析：
z主要考查了导数基本概念．
解：
点 既在函数 的图象上，
又在切线 上，所以．
又 ，所以
故答案为3．
14.答案：
5
解析：
解：
，．
故答案为：
5．
先求出，再计算即可．
本题考查复数的差运算，复数的模计算．属于基础题．
15.答案：
；
解析：
解由题意，，
记，
则；
，
故；
则
．
故答案为：
，．
由题意，，
记，从而可推出，从而求出；从而可得．
本题考查了合情推理的应用及等差、等比数列的应用，属于中档题．
16.答案：
解析：
解：
根据导数的定义，
故答案为：
根据导数的定义，
本题考查极限的运算，导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题．
17.答案：
解：
原式．
原式
原式．
解析：
利用复数的运算法则即可得出．
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.答案：
证明：
，
当且仅当，且时，即等号成立．
解析：
本题考查基本不等式，准确变形是解决问题的关键，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论．
19.答案：
解：
由得或，
当时，
由，得．
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和．
当时，
由，得，
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和，
综上：
当时，f单调递减区间为，单调递增区间为和，
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和，
依题意，不等式恒成立，
等价于在上恒成立，可得，在上恒成立，
设，则，
令，得，舍，当时，；当时，，
当x变化时，，变化情况如下表：
x
1
0
单调递增
单调递减
当时，取得最大值，，．
的取值范围是．
解析：
分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间．
分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．
20.答案：
解：
正三棱锥展开如图所示．
当按照底边包装时体积最大，
设正三棱锥侧面的高为，高为 ．
由题意得 ，解得
则
，
所以，正三棱锥体积 ．
设 ，
求导得 ，令 ，得 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，
当 时， ， 函数 在 上单调递减，
所以，当 时， 取得极大值也是最大值．
此时 ，所以 ．
答：
当底面边长为 时，正三棱锥的最大体积为 ．
解析：
本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定正三棱锥体积是关键，设正三棱锥侧面的高为，高为h，求出正三棱锥体积，利用导数的方法求解即可．
21.答案：
解：
由两角和的正切公式可得；
函数的最小正周期为；
是以8a为其一个周期的周期函数，下面证明：
，
，
是周期函数，其中一个周期为8a．
解析：
本题考查两角和与差的正切函数，涉及三角函数的周期性，属中档题．
由两角和的正切公式可得示，易得函数的周期；
类比可得是以8a为其一个周期的周期函数，由周期的定义证明即可．
22.答案：
解：
，时，，
，
故，，
故切线方程是；
时，由已知得，
时，由，得在递增，
时，由，
时，在递增，在递减，在递增，
，
时，在递增，在递减，在递增，
；
综上，．
解析：
求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
求出的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出的最小值即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查切线方程问题，是一道中档题．
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