倒立摆系统的建模及Matlab仿真学习资料.docx
《倒立摆系统的建模及Matlab仿真学习资料.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《倒立摆系统的建模及Matlab仿真学习资料.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
倒立摆系统的建模及Matlab仿真学习资料
第1页共11页
倒立摆系统的建模及Matlab仿真
1.系统的物理模型
考虑如图
（1）所示的倒立摆系统。
图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
图
（1）倒立摆系统
假设倒立摆系统的参数以下。
摆杆的质量：
摆杆的长度：
l=1m小车的质量：
M=1kg重力加速度：
s2
摆杆的质量在摆杆的中心。
设计一个控制系统，使合适给定任意初始条件（由搅乱引起）时，最大超调量≤10%，调治时
间ts≤4s，经过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直地址。
2.系统的数学模型
2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。
为简化问题，在数学模型中第一假设：
1）摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽
略小车与接触面间的摩擦。
设小车瞬时地址为z,摆心瞬时地址为（z
lsin
）,在u作用下，小车及摆均产生加速远动，
依照牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与
u平衡，于是有
M
d2z
m
d2
lsin
）
u
dt
2
2（z
dt
即：
（Mm）zml
cos
ml2sin
u
①
绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，所以有
第2页共11页
d2
lsin）lcos
mglsin
m
2（z
dt
即：
zcos
2
l
2
sincos
gsin
②
lcos
以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化办理。
由于控制的目的是保持倒立摆直
立，在试驾合适的外力条件下，假设θ很小，凑近于零时合理的，则sin
cos1，且可忽略
2
项。
于是有
（M
m）z
ml
u
③
zl
g
④
联立求解可得
z
mg
1u
M
M
（Mm）
1
Ml
u
Ml
2.2列写系统的状态空间表达式。
采用系统变量x1,x2,x3,x4，xx1,x2,x3,x4T则
x1
x2
x2
mgx3
1u
M
M
x3
x4
x4
（Mm）x3
1u
Ml
Ml
即
z
0
1
0
0
0
0
0
mg
0
1
d
z
M
M
x
1x
uAxBu
dt
00
0
0
0
（M
m）g
0
1
0
Ml
Ml
yx11000xCx
代入数据计算获取：
0
1
0
0
A
0
0
1
0,B010
1T,C1000,D0
0
0
0
1
0
0
11
0
第3页共11页
3.设计控制器
3.1判断系统的能控性和牢固性
0
1
0
1
QkBABA2B
A3B
1
0
1
0
，rank（
k
故被控对象完好可控
0
1
0
11
Q）=4,
1
0
11
0
由特色方程
I
A
2
（2
11）
0解得特色值为
0
，，
11
。
出现大于零的特色值，故被
0
控对象不牢固
3.2确定希望的极点
希望的极点n=4，选其中一对为主导极点s1和s2，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导
极点决定，远极点只有渺小影响。
依照二阶系统的关系式，先确定主导极点
pe1
2
0.6；取误差带
0.02有ts
4，则n
可得
，于是取
1.67，闭环
n
主导极点为s1,2
n
j1
2=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离
的5倍，取s3,4
15
3.3采用状态反响方法使系统牢固并配置极点
状态反响的控制规律为u
kx，k
k0
k1
k2k3
；状态反馈系统的状态方程为
x
（ABK）x
Bv，其特色多项式为
I
（A
BK）
4
（k1
k3）3
（k0
k2
11）2
10k1
10k0
⑤
希望特色多项式为
（
15）2（
1
0.8j）（
10.8j）
4
323
2
369
⑥
比较以上两式系数，解得状态反响矩阵k
第4页共11页
4.设计全维察看器
4.1判断系统的能观性
1
0
0
0
0
1
0
0
QgCATC（AT）2C（AT）3C
0
1
，rank（Qg）=4,故被控对象完好可观
0
0
0
0
0
1
4.2确定察看器的反响增益
全维察看器的动向方程为x（AGC）xBvGCx；其特色多项式为
I
（A
GC）
4
g0
3
（g111）
2
（11g0
g2）
（
11g1
g3）
⑦
取察看器的希望极点为：
-45，-45，-3+3j
，-3-3j
；则希望特色多项式为
（
15）2（
1
0.8j）（
10.8j）
4
96
3
2583
2
13770
34650
⑧
比较以上两式系数，解得察看器反响矩阵
G
96
2594
1482664984T
5.降维状态察看器的设计
5.1建立倒置摆三维子系统动向方程
设小车位移z由输出传感器测量，所以无需估计，可以设计降维（三维）状态察看器，经过重新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态察看器估计的状态变量与输出传感器测得的状态变量分别开。
将z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为
z
0
1
0
0
z
1
d
0
0
1
0
0
dt
0
11
0
0
u
1
z
1
0
0
0
z
0
⑨
z
y0001
z
第5页共11页
x1
A11
A12
x1
b1
u
x2
A21
A22
x2
b2
简记为：
x1
yy
0
I1x2
式中
0
1
0
x1z
T
0
0
1
，A12
000T，b1[101]T
，A11
0
11
0
x2zy，A21100T，A21=0，b20，I11被控系统的n-q维子系统动向方程的一般形式为
x1A11x1v，zA21x1
式中vA21yb1ub1u,zyA22yb2uyz
zz为子系统输出量。
故倒置摆三维子系统动向方程为
z
0
1
0
z
1
d
0
0
1
0
u
dt
0
11
0
1
z
z100
5.2.判断子系统的可察看性
A1=[0-10;001;0110];C1=[100];
Qg1=obsv（A1,C1）;r=rank（Qg1）
运行Matlab程序；结果为r=3,故该子系统可察看
降维状态察看器动向方程的一般形式为
A11
hA21
b1hb2u
A11hA21hA12hA22y
x1
hy
式中h=h0h1h2
T。
考虑被控对象参数，单倒置摆降维察看器动向方程的一般形式为
h0
1
0
1
h02
h1
h1
0
1
0u
h0h1
h2
y
h2
11
0
1
h0h2
11h1
h0
x1
h1
y
h2
第6页共11页
5.3确定三维状态察看器的反响矩阵h
三维状态察看器的特色多项式为
IA11hA21
3
h0
2
11h1
11h0h2
设希望的察看器闭环极点为-45，-3+3j，-3-3j，则希望特色多项式为
4533j33j
3
512
288
810
比较以上两式系数，解得h=51
299
-1371
故所求三维状态察看器的动向方程为
51
1
0
1
2302
299
0
1
0u
13878y
1371
11
0
1
66632
1
0
0
0
51
x
x1
0
1
0
0
299
y
0
0
1
0
y
1371
0
0
0
0
1
仿真解析
6.1源程序
经过Matlab对用全维状态察看器实现状态反响的倒置摆系统进行仿真解析，下面是文件名为的源程序
%倒立摆系统建模解析
%a）判断系统能控性和能观性
clearall;
clc
A=[0100;00-10;0001;00110];
B=[0;1;0;-1];
C=[1000];
D=0;
Uc=ctrb（A,B）;rc=rank（Uc）;
升级会员 