高中导数题的解题技巧.docx
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高中导数题的解题技巧
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：
导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求：
了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2006年辽宁卷）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
A.B.C.D.
[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力
[解答过程]，，
即：
，所以.
故选A.
例2.（2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是（）
A.（-∞,1）B.（0,1）C.（1,+∞）D.[1,+∞）
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由
综上可得MP时,
考点2曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f（x）在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f（x）在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2004年重庆卷）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是_____________.
思路启迪：
求导来求得切线斜率.
解答过程：
y′=x2，当x=2时，y′=4.∴切线的斜率为4.
∴切线的方程为y－4=4（x－2），即y=4x－4.
答案：
4x－y－4=0.
例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）
A．B．
C．D．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在（1，1）处导数为4，此点的切线为.
故选A.
例5．（2006年重庆卷）过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为（）
A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：
设切线的方程为
又
故选A.
解法2:
由解法1知切点坐标为由
故选A.
例6.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：
先对求导数.
解答过程：
函数的导数为，曲线在点P（）处的切线方程为，即 ①
曲线在点Q的切线方程是即
②
若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为.
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;2.求函数的值域;3.解决单调性问题;4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8.设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为，求出函数的解析式.
思路启迪：
先设，再利用图象关于原点对称确定系数.
解答过程：
设，因为其图象关于原点对称，即
，得
由，
依题意，，，
解之，得.
故所求函数的解析式为.
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪：
求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。
此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：
由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对
（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（）解：
由（）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．（2006年山东卷）设函数f（x）=ax－（a+1）ln（x+1），其中a-1，求f（x）的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表
—
0
+
极小值
从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：
（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
又
所以
由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f`（x）＝－[x2＋（a－2）x＋b－a]e3－x,
由f`（3）=0，得－[32＋（a－2）3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则f`（x）＝[x2＋（a－2）x－3－2a－a]e3－x
＝－[x2＋（a－2）x－3－3a]e3－x＝－（x－3）（x＋a+1）e3－x.
令f`（x）＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f`（x）<0，f（x）为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f`（x）>0，f（x）为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f`（x）<0，f（x）为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f`（x）<0，f（x）为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f`（x）>0，f（x）为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f`（x）<0，f（x）为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）＝－（2a＋3）e3<0，f（4）＝（2a＋13）e－1>0，f（3）＝a＋6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0故a的取值范围是（0，）.
例14（2004年天津卷）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）讨论f
（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求出此切线方程.
思路启迪：
（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.
（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.
解答过程：
：
（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，
（1）=（－1）=0，
即
解得a=1，b=0.
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.
令（x）=0，得x=－1，x=1.
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.
所以f（－1）=2是极大值，f
（1）=－2是极小值.
（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.
∵（x0）=3x02－3，
∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.
代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.
解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
小结：
过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
考点4导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗不计）.有人应用数学知识作了如下设计：
如图（a）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方形，该长方体的高为小正方形的边长，如图（b）.
请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积；
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