线段和差问题与截长补短法含答案.docx

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线段和差问题与截长补短法含答案

线段和差问题的截长补短方案（一题多解）系列文章之一

线段和差问题与截长补短法（含答案）

四川崇州平生曜曜

数学好玩，因为定题型、树模型，招式路数皆可寻。

几何中的线段和差问题，截长补短法在实施过程中都有四种截长方案，八种补短方案，可谓十二重关。

本文即将推出一道线段和差问题，希望同学们努力破之。

作者曾闲着没事碰巧把这十二种方案都尝试成功了，所以对于同学而言这十二关障的破解就不再是渺茫的探求，而是一个已经有了答案的考题。

同学们尽管去尝试，要深信这十二种方案皆能破题，但也仅限于本文所推题目而已，至于其它的线段和差问题十二关障能否一一告破就不好说了。

比如本人正在攻克一道线段和差问题，被弄得昏天地转，仍未冲破牛角，现在只得将之当作休闲佐料耳。

作者打心底告诉各位同学，把一道“典型题”做透了，会领悟n多，积淀一抹多。

但说得再多也是空谈，当你正真去把它做实，你才能感受到其中的丰富与藕联，而后你再通过提炼啊，总结啊，什么，什么的，定能铸就非凡的解题技艺。

数学可玩，因为按需补、应需造，综合分析可当道。

好了，大家来凑凑热闹，去感受那应需而生的几何构造是如何美妙？

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN；

（2）、求∠AED的度数；

（3）、求证：

AE+CE=DE；

第一篇章：

探讨第

（1）、

（2）问的解答

第

（1）问的解答

（1）、∵⊿ABC是等边三角形，

∴BC=AC，∠B=∠ACN

又∵BM=CN，∴⊿BCM≌⊿CAN.

第

（2）问的解答

〈分析一〉：

通过量角器测量，可大胆猜想，怎样求证？

由

（1）题，容易证获，

再由外角性质易证，从而

得，那么关键环节来了！

在四边形AECD中，欲证边AD所对

“帆尖角”，考虑到边AD所对另一“帆尖角”，所以只需去求证“A、E、C、D”四点共圆即可。

而我们恰好能证明：

，所以“A、E、C、D”四点共圆即成事实。

〈介绍新知〉：

“四点共圆”模型。

（ⅰ）、四点共圆是什么意思？

答：

某个四边形，它的四个顶点在同一个圆上。

至于这个圆的圆心在哪里？

半径有好长？

我们往往不必追究，我们只需要去享用“四点共圆”带来的好处就可以了。

（ⅱ）、怎样判定某个四边形，四个顶点共圆呢？

答：

方法之一：

证明这个四边形有任意一组对角互补；

方法之二：

证明这个四边形有任意一个“外角”等于它的“内对角”；

方法之三：

证明这个四边形有其中一条边（每一条边都可以比喻为一条帆船）所对的两个“帆尖角”相等。

待初三学完“点和圆的位置关系后”，同学们就会感叹，其实“圆周角”就是“帆尖角”，届时你会觉得四点共圆原本是一个很简单的问题，却因我们的提前涉足而把它弄得乌烟瘴气了！

所以尚未涉足“圆”之前，我们不去证明四点共圆的判定和性质，各位同学姑且先囫囵吞枣吧！

（ⅲ）、“四点共圆”有啥子好处？

答：

其一是两组对角都互补（这不怎么精彩！

）；

其二是每一个“外角”都等于它的“内对角（这不废话嘛！

）”；

其三是每一条边（哦！

不，现在需叫每一条“船”才靠谱！

）所对的两个“帆尖角”都相等（这才是四点共圆能装逼的地方！

）。

〈简单地说〉：

在一个四边形中，如果有一条边所对的两个“帆尖角”相等，那么另外三条边所对的两个“帆尖角”也分别相等。

学完相似形三角形的判定方法后，这个结论容易通过二次相似来得到证明。

（ⅳ）、“四点共圆”现象可以推广。

咋ger推广呢？

答：

可推及五点共圆、六点共圆……结果你懂得，总之，在考卷上几乎用不上了。

但要明白：

在“五点共圆”中，每一条船所对的“3个”帆尖角都相等；

在“六点共圆”中，每一条船所对的“4个”帆尖角都相等；

在“十万八千点共圆”中，每一条船所对的“个”帆尖角都相等（算错的，别去菜市场买菜哈！

算对的，可去火星上种菜喽！

）；

〈熟练新技能〉：

“四点共圆”模型。

①、∵，∴、、、四点共圆；

②、∵，

∴、、、四点共圆，

∴所对：

。

③、在四边形AECD中，

∵所对：

，∴、、、，

∴所对：

=，

所对：

，

所对：

.（在解题中自然应该用啥写啥，不要炫富！

）

〈第

（2）题，解法之一〉：

利用“四点共圆”来解决问题

由

（1）⊿BCM≌⊿CAN

得，

又由外角知：

，

∴，又∵⊿ACD是等边⊿，

∴，∴，

∴四点共圆，∴.

〈分析二〉：

由于“四点共圆”对于初二的同学来讲属于“飞升技能”，所以此题必然有更容易让人释怀的方法，我们不妨探寻一番。

①、欲证，可否先在ED上截取EF=EA，然后再通过证明⊿AEF为等边⊿来得到目的呢？

……此……构……想……我……没……有……走……通……，……同学……可……以……去……尝……试……,…有无出路，…谁晓得？

……

②、欲证，考虑到已有，那么能否将问题转化为求证呢？

于是在ED上截取EF=EC，能证明⊿ECF是等边⊿吗？

……………此……构……想……我……仍……然……没……有……走……通……………

……………不……知……怎……样……才……能……破……此……牛……角……………

〈点评〉：

为什么会想到去尝试以上“①、②”两种构想？

因为要证明一个角是，我们可把这个角甩到一个等腰三角形中去，然后通过证明这个三角形是等边⊿来得到目的。

另一方面，当已知条件有某个角为时，我们对它有两种“甩法”，一是甩到Rt⊿中，再背角的口诀来解题；二是甩到等腰⊿中，再利用等边⊿的性质去寻求解题的突破口。

〈启示〉：

既然如上所说，那么已知和都等于，该作何构想？

……………请……君……暂……时……停……止……往……下……阅……读……………

……………根……据……刚……才……的……启……示……去……破……题……………

〈第

（2）题，解法之二〉：

利用已知去构造“等边⊿”来解决问题

（一）、利用去构造等边⊿

解：

由

（1）⊿BCM≌⊿CAN

得，

又由外角知：

，

∴，延长EN至点F，使EF=EC，连接CF，

则⊿ECN是，

……………请……自……行……完……成……后……面……的……解……答……………

……………而……后……你……会……收……获……意……外……之……喜……………

是不是在解出第

（2）题的同时也把第（3）题给轻松解决了？

如此看来，我们对的“两种甩法”并非一无是处。

〈第

（2）题，解法之二〉：

利用已知去构造“等边⊿”来解决问题

（二）、利用去构造等边⊿

…………………请……自……行……实……施……这……个……构……想…………………

………………第（3）问……同……样……会被你……顺……带……摘……走………………

解：

第二篇章：

探讨第（3）问的解答

截长补短十二种方案的尝试

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE

（请用十二方案破解）；

哪十二种方案

1、延长至点，使,连接，意图去证明；

2、延长至点，使,连接，意图去证明；

3、延长至点，使,连接，意图去证明；

4、延长至点，使,连接，意图去证明；

5、延长至点，使,连接，意图去证明；

6、延长至点，使,连接，意图去证明；

7、延长至点，使,连接，意图去证明；

8、延长至点，使,连接，意图去证明；

9、在上截取，使，连接，意图去证明；

10、在上截取，使，连接，意图去证明；

11、在上截取，使，连接，意图去证明；

12、在上截取，使，连接，意图去证明；

重要假设与预先解惑

〈假设〉：

第

（2）题可利用“四点共圆”来破解，我们仍可以在以上任何一种方案中继续使用“、、、四点共圆”的好处（即性质）去破题。

所以大家要把“船老板儿”当好哈！

请各位同学把船帆挂稳当，不要把四点共圆这条帆船给搞翻der了！

我们这船人只求共缘，不求共怨。

记到，这是在对后面的破题方案作赤裸裸的暗示。

〈解惑〉：

为什么以上“十二种”方案皆“易”推行，其关键在于本题中的、、、恰好都是，这是本题十二方案容易推行的温床。

我们利用去构造等边⊿之后所得的结论，能与其它已知条件迅速发酵顺推。

这让我们能够不断地综合已知，看到可知，直至顺利捕捉到那些对破题有效的信息，从而使得辅助线设定的意图能够快速地得以实现。

其实这一切皆得益于本题“图形骨架”的题品好，乃至于我们的人品有幸粘享了该骨架的运气与灵气。

但在这个过程中我们也并非一无是处啊，当我们“主动去”推行“利用构造等边⊿”的那一关键举措时，我们的这一构想随之成就了图形骨架的身形，也成全了命题者的心意，更成长了我们考试的分数。

但不要认为就只能往“等腰⊿”里面甩，其实还可以往“Rt⊿”里面甩。

请谨记：

在几何构造中，有这两种常见甩法，不然以后要吃亏。

……………马……上……去……突……破……十……二……关……口……吧……………

……………马……上……去……突……破……十……二……关……口……吧……………

……………马……上……去……突……破……十……二……关……口……吧……………

截长补短方案之

（1）

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE（请用十二方案破解）；

〈方案1之解答〉：

延长至点，使,连接，则：

截长补短方案之

（2）

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE（请用十二方案破解）；

〈方案2之解答〉：

延长至点，使,连接，则：

截长补短方案之（3）

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE（请用十二方案破解）；

〈方案3之解答〉：

延长至点，使,连接，则：

截长补短方案之（4）

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE（请用十二方案破解）；

〈方案4之解答〉：

延长至点，使,连接，则：

截长补短方案之（5）

问题重现：

如图，等边⊿ABC中M、N分别为线段AB、BC上的两点，且BM=CN，AN、CM相交于点E，将⊿ABC绕点C旋转，使CB与CA重合得到⊿ACD，连结DE.

（1）、求证：

⊿BCM≌⊿CAN（已证）；

（2）、求∠AED的度数（已求出）；

（3）、求证：

AE+CE=DE（请用十二方案破解）；

〈方案5之解答〉：

延长至点，使,连接，则：

截长补短方案之（6）

问题重现：