椭圆的简单几何性质教案绝对经典.docx

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椭圆的简单几何性质教案绝对经典

椭圆的简单几何性质教案（绝对经典）

第2课时　椭圆的简单几何性质

考点一　椭圆的性质

【例1】

（1）已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

（2）已知椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：

3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　

（1）以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，又与直线bx－ay＋2ab＝0相切，

所以圆心（0，0）到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2，即＝.

∴e＝＝＝＝＝.

（2）设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.

∵|AF|＋|BF|＝4，

∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.

设M（0，b），则≥，∴1≤b<2.

离心率e＝＝＝＝∈.

答案　

（1）A　

（2）A

规律方法　求椭圆离心率的方法

（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.

（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解.

【变式练习1】

（1）已知O为坐标原点，F是椭圆C：

＋＝1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

（2）设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.

解析　

（1）设M（－c，m），则E，OE的中点为D，

则D，又B，D，M三点共线，

所以＝，

所以a＝3c，所以e＝.

（2）由题意知F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以（a2－c2）＝2ac，又e＝且0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝（e＝－舍去）.

答案　

（1）A　

（2）

考点二　椭圆性质的应用

【例2】

（1）已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋y2＝1D.＋y2＝1

（2）已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是（　　）

A.0B.1C.2D.2

解析　

（1）依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），由已知可得抛物线的焦点为（－1，0），所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1，故选A.

（2）椭圆的标准方程为＋y2＝1，因为原点O是线段F1F2的中点，所以＋＝2，即|＋|＝|2|＝2|PO|，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO|的最小值为b＝1，所以|＋|的最小值为2.

答案　

（1）A　

（2）C

规律方法　利用椭圆几何性质的注意点及技巧

（1）在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.

（2）求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.

【变式练习2】

（1）以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（　　）

A.1B.C.2D.2

（2）（2017·全国Ⅰ卷）设A，B是椭圆C：

＋＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（　　）

A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，]∪[9，＋∞）

C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，]∪[4，＋∞）

解析　

（1）设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，

所以×2cb＝1，bc＝1，

而2a＝2≥2＝2

（当且仅当b＝c＝1时取等号），故选D.

（2）①当焦点在x轴上，依题意得

0

∴0

②当焦点在y轴上，依题意m>3，且≥tan＝，∴m≥9，

综上，m的取值范围是（0，1]∪[9，＋∞）.

答案　

（1）D　

（2）A

考点三　直线与椭圆（多维探究）

命题角度1　弦及中点弦问题

【例3－1】已知椭圆＋y2＝1，

（1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（2）求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.

解　

（1）设弦的端点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中点是M（x，y）.

①－②得＝－＝－，

所以－＝，

化简得x2－2x＋2y2－2y＝0（包含在椭圆＋y2＝1内部的部分）.

（2）由

（1）可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，

因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.

规律方法　弦及弦中点问题的解决方法

（1）根与系数的关系：

直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；

（2）点差法：

利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.

命题角度2　直线与椭圆的位置关系（易错警示）

【例3－2】已知P点坐标为（0，－2），点A，B分别为椭圆E：

＋＝1（a>b>0）的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.

解　

（1）由△ABP是等腰直角三角形，得a＝2，B（2，0）.

设Q（x0，y0），则由＝，得

代入椭圆方程得b2＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.

联立

消去y并整理得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0.（*）

因直线l与E有两个交点，即方程（*）有不等的两实根，

故Δ＝（－16k）2－48（1＋4k2）>0，解得k2>.

设M（x1，y1），N（x2，y2），

由根与系数的关系得

因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，

所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，

又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1－2）（kx2－2）

＝（1＋k2）x1x2－2k（x1＋x2）＋4

＝（1＋k2）·－2k·＋4>0，

解得k2<4，综上可得

则

则满足条件的斜率k的取值范围为∪.

规律方法　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

2.设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

则|AB|＝

＝（k为直线斜率）.

易错警示　

（1）设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.

（2）利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.

【变式练习3】已知椭圆E：

＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k>0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（1）当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

（2）当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.

解　

（1）设M（x1，y1），则由题意知y1>0.

当t＝4时，E的方程为＋＝1，A（－2，0）.

由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.

因此直线AM的方程为y＝x＋2.

将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0，

解得y＝0或y＝，所以y1＝.

因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.

（2）由题意t>3，k>0，A（－，0），将直线AM的方程y＝k（x＋）代入＋＝1得（3＋tk2）x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.

由x1·（－）＝得x1＝，

故|AM|＝|x1＋|＝.

由题设，直线AN的方程为y＝－（x＋），

故同理可得|AN|＝.

由2|AM|＝|AN|得＝，

即（k3－2）t＝3k（2k－1），

当k＝时上式不成立，因此t＝.

t>3等价于＝<0，

即<0.

由此得或解得

因此k的取值范围是（，2）.

课后练习

A组（时间：

40分钟）

一、选择题

1.直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

A.（1，＋∞）B.（1，3）∪（3，＋∞）

C.（3，＋∞）D.（0，3）∪（3，＋∞）

解析　由得（m＋3）x2＋4mx＋m＝0.

由Δ>0且m≠3及m>0得m>1且m≠3.

答案　B

2.设椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　　）

A.B.C.D.

解析　在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.

答案　D

3.已知椭圆：

＋＝1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值为（　　）

A.1B.C.D.

解析　由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－（|AF2|＋|BF2|）≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3.所以b2＝3，即b＝.

答案　C

4.已知椭圆C：

＋＝1（a>b>0）及点B（0，a），过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF＝（　　）

A.60°B.90°C.120°D.150°

解析　由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y＝kx＋a（k>0），与椭圆方程联立，消去y整理得（b2＋a2k2）x2＋2ka3x＋a4－a2b2＝0，

由Δ＝（2ka3）2－4（b2＋a2k2）（a4－a2b2）＝0，

得k＝，从而y＝x＋a交x轴于点A，

又F（c，0），易知·＝0，故∠ABF＝90°.

答案　B

5.设F1（－c，0），F2（c，0）分别是椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　如图，由题意可知，|PF1|>|PF2|且|PF1|>|F1F2|，所以要使△PF1F2为等腰三角形，则只能是|F1F2|＝|PF2|，设P点坐标为，则直线x＝与x轴的交点为D，

则|PF2|＝|F1F2|＝2c≥－c，

即3c2－a2≥0，即e2≥.

解得≤e<1.

答案　D

二、填空题

6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.

解析　由题意知解得

又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.

当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，

当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.

答案　＋＝1或＋＝1

7.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1）为中点的弦所在直线方程是________.

解析　设过M（