应用回归分析第2章课后习题参考答案.docx
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应用回归分析第2章课后习题参考答案
应用回归分析-第2章课后习题参考答案
LT
2.5.证明是的无偏估计。
证明：
若要证明是的无偏估计，则只需证明E（）=。
因为，的最小二乘估计为其中
E（）=E（）=E（）=E[]
=E[]
=E（）+E（）+E（）
其中
==
由于=0，所以=
==
=）==0
又因为一元线性回归模型为
所以E（）=0所以
E（）+E（）+E（
=
=
所以是的无偏估计。
2.6解：
因为，，
联立式，得到。
因为，，所以
2.7证明平方和分解公式：
SST=SSE+SSR
证明：
2.8验证三种检验的关系，即验证：
（1）；
（2）
证明：
（1）因为，所以
又因为，所以
故得证。
（2）
2.9验证（2.63）式：
证明：
其中：
注：
各个因变量是独立的随机变量
2.10用第9题证明是的无偏估计量
证明：
注：
2.11验证
证明：
所以有
以上表达式说明r²与F等价，但我们要分别引入这两个统计量，而不是只引入其中一个。
理由如下：
r²与F，n都有关，且当n较小时，r较大，尤其当n趋向于2时，|r|趋向于1，说明x与y的相关程度很高；但当n趋向于2或等于2时，可能回归方程并不能通过F的显著性检验，即可能x与y都不存在显著的线性关系。
所以，仅凭r较大并不能断定x与y之间有密切的相关关系，只有当样本量n较大时才可以用样本相关系数r判定两变量间的相关程度的强弱。
F检验检验是否存在显著的线性关系，相关系数的
显著性检验是判断回归直线与回归模型拟合的优劣，只有二者结合起来，才可以更好的回归结果的好坏。
2.12如果把自变量观测值都乘以2，回归参数的最小二乘法估计和会发生什么变化？
如果把自变量观测值都加上2，回归参数的最小二乘估计和会发生什么变化？
解:
解法
（一）：
我们知道当，时，用最小二乘法估计的和分别为当时
有将带入得到
当时
有
将带入得到·
解法
（二）：
当，时，有
当时
当，，
由最小二乘法可知，离差平方和时，其估计值应当有。
即回归参数的最小二乘估计和在自变量观测值变化时不会变。
2.13如果回归方程相应的相关系数r很大，则用它预测时，预测误差一定较小。
这一结论能成立吗？
对你的回答说明理由。
解：
这一结论不成立。
因为相关系数r表示x与线性关系的密切程度，而它接近1的程度与数据组数有关。
n越小，r越接近1。
n=2时，|r|=1。
因此仅凭相关系数说明x与有密切关系是不正确的。
只有在样本量较大时，用相关系数r判定两变量之间的相关程度才可以信服，这样预测的误差才会较小。
2.14解：
（1）散点图为：
（2）x与y大致在一条直线上，所以x与y大致呈线性关系。
（3）得到计算表：
X
Y
1
10
4
100
20
6
（-14）2
（-4）2
2
10
1
100
10
13
（-7）2
（3）2
3
20
0
0
0
20
0
0
4
20
1
0
0
27
72
72
5
40
4
400
40
34
142
（-6）2
和15
100
和Lxx=10
Lyy=600
和Lxy=70
和100
SSR=490
SSE=110
均3
均20
均20
所以回归方程为：
（4）=
所以，
（5）因为，的置信区间为；
同理，因为，所以，的置信区间为。
查表知，
所以，的置信区间为（-21.21,19.21），的置信区间为（0.91,13.09）。
（6）决定系数
（7）计算得出，方差分析表如下：
方差来源
平方和
自由度
均方
F值
SSR
490
1
490
13.364
SSE
110
3
36.667
SST
600
4
查表知，F0.05（1,3）=10.13，F值>F0.05（1,3），故拒绝原假设，说明回归方程显著。
（8）做回归系数β1的显著性检验
计算t统计量：
查表知，，所以，t>t0.05/2（3），所以接受原假设，说明x和Y有显著的线性关系。
（9）做相关系数r的显著性检验：
因为
所以，相关系数
因为查表知，n-2等于3时，%的值为0.959，%的值为0.878。
所以，%<|r|<%，故x与y有显著的线性关系。
（10）残差表为：
序号
残差
1
1
10
6
4
2
2
10
13
-3
3
3
20
20
0
4
4
20
27
-7
5
5
40
34
6
残差图为：
（11）当X0=4.2时,
其95%的置信区间近似为，即为:
（17.1，39.7）。
2.15解：
（1）画散点图；
图形→旧对话框→散点图，得到散点图（表1）如下：
（2）x与y之间是否大致呈线性关系？
由上面
（1）散点图可以看出，x与y之间大致呈线性关系。
用最小二乘估计求出回归方程；
分析→回归→线性，得到“回归系数显著性检验表（表2）”如下：
Coefficientsa
Model
UnstandardizedCoefficients
StandardizedCoefficients
t
B
Std.Error
Beta
1
（Constant）
.118
.355
.333
每周签发的新保单数目x
.004
.000
.949
8.509
a.DependentVariable:
每周加班工作时间y
由上表可知:
=0.118=0.004
所以可得回归方程为：
=0.118+0.004x
（4）求回归标准误差；
分析→回归→线性，得到“方析分析表（表3）”如下：
ANOVAb
Model
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
1
Regression
16.682
1
16.682
72.396
.000a
Residual
1.843
8
.230
Total
18.525
9
a.Predictors:
（Constant）,每周签发的新保单数目x
b.DependentVariable:
每周加班工作时间y
由上表可得，
SSE=1.843n=10
故回归标准误差为：
====0.23
==0.48
（5）给出与的置信度为95%的区间估计；
由表2可以看出，当置信度为95%时，
的预测区间为：
[-0.701，0.937]
的预测区间为：
[0.003，0.005]
（6）计算x与y的决定系数；
分析→回归→线性，得到“模型概要表（表4）”如下：
ModelSummaryb
Model
R
RSquare
AdjustedRSquare
Std.ErroroftheEstimate
1
.949a
.900
.888
.4800
a.Predictors:
（Constant）,每周签发的新保单数目x
b.DependentVariable:
每周加班工作时间y
由上表可知，x与y的决定系数为0.9，可以看到很接近于1，这就说明此模型的拟合度很好。
（7）对回归方程作方差分析；
由“方差分析表（表3）”可得，F-值=72.396，
我们知道，当原假设:
=0成立时，F服从自由度为（1，n-2）的F分布（见），临界值（1，n-2）=（1，8）=5.32
因为F-值=72.396>5.32，
所以拒绝原假设，说明回归方程显著，即x与y有
显著的线性关系。
（8）做回归系数显著性的检验；
由“回归系数显著性检验表（表2）”可得，
的t检验统计量为t=8.509，对应p-值近似为0，p<，
说明每周签发的新报单数目x对每周加班工作时间y有显著的影响。
（9）做相关系数的显著性检验；
分析→相关→双变量，得到“相关分析表（表5）”如下：
Correlations
每周签发的新保单数目x
每周加班工作时间y
每周签发的新保单数目x
PearsonCorrelation
1
.949**
Sig.（2-tailed）
.000
N
10
10
每周加班工作时间y
PearsonCorrelation
.949**
1
Sig.（2-tailed）
.000
N
10
10
**.Correlationissignificantatthe0.01level（2-tailed）.
由上表可知，相关系数为0.949，说明x与y显著线性相关。
（10）对回归方程作残差图并作相应的分析；
从上图可以看出，残差是围绕e=0随即波动的，满足模型的基本假设。
（11）该公司预计下一周签发新保单=1000张，需要的加班时间是多少？
当=1000张时,=0.118+0.004×1000=4.118小时。
（12）给出的置信水平为95%的精确预测区间和近似预测区间。
（13）给出E（）置信水平为95%的区间估计。
最后两问一起解答：
在计算回归之前，把自变量新值输入样本数据中，因变量的相应值空缺，然后在Save对话框中点选Individul和Mean计算因变量单个新值和因变量平均值E（）的置信区间。
结果显示在原始数据表中，如下图所示（由于排版问题，中间部分图省略）:
的精确预测区间为：
[2.519，4.887]
E（）的区间估计为：
[3.284，4.123]
而的近似预测区间则根据2手动计算，结果为：
[4.118-2×0.48，4.118+2×0.48]=[3.158，5.078]
2.16解答：
（1）绘制y对x的散点图，可以用直线回归描述两者之间的关系吗？
如图所示：
（2）由上图可以看出，y与x的散点分布大致呈直线趋势，所以可以用直线回归描述两者之间的关系。
（3）建立y对x的线性回归。
利用SPSS建立y对x的线性回归，输出结果如下：
表1
模型汇总
模型
R
R方
调整R方
标准估计的误差
1
.835a
.697
.691
2323.256
a.预测变量:
（常量）,x。
表2方差分析表
Anovab
模型
平方和
df
均方
F
Sig.
1
回归
6.089E8
1
6.089E8
112.811
.000a
残差
2.645E8
49
5397517.938
总计
8.734E8
50
a.预测变量:
（常量）,x。
b.因变量:
y
表3系数表
系数a
模型
非标准化系数
标准系数
t
Sig.
B
标准误差
试用版
1
（常量）
12112.629
1197.768
10
升级会员 