运筹学总复习.docx
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运筹学总复习
基本要求
一、将线性规划化为标准型和写出相应的对偶规划；
二、用图解法求解具有两个决策变量的线性规划问题；
三、用单纯形方法及人工变量法求解线性规划问题；
四、灵敏度分析；
五、整数规划与分枝定界法，0-1规划与隐枚举法，指派问题
六、求解产销平衡的运输问题和产销不平衡的运输问题；
七、动态规划与求解；
八*、带回收的资源利用问题及连续型的动态规划求解；
九*、存储问题求解（无限供货能力下不容许缺货及容许缺货模型）
例题选讲
例：
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品分别需要在A、B、C、D四种不同的设备上加工。
按工艺规定：
产品Ⅰ和Ⅱ在个设备上所需要的加工时数于下表中。
已知各设备在计划期内的有效台时数分别是12、8、16和12。
该工厂每生产一件产品Ⅰ可得利润2圆，每生产一件产品Ⅱ可得利润3圆，问：
应如何安排生产，可获得最大利润。
设备
产品
A
B
C
D
Ⅰ
2
1
4
2
Ⅱ
3
2
1
4
解设生产产品Ⅰ和Ⅱ分别为和件，则由条件可得关系
⑴标准型的概念：
①目标函数为极大化；
②资源常数；
③约束条件关系为等式；
④决策变量。
例：
将下面的线性规划化为标准型
无非负限制
解
二、图解法
例用图解法求解线性规划问题
极大化
解：
最优解
三、单纯形方法
对于具有两个以上决策变量的线性规划问题，我们采用单纯形方法进行求解。
具体过程是：
⑴建立单纯形表，在单纯形表中，务必使基变量的价值系数为零，则检验数行是价值系数行的相反数；
⑵若检验数则当前解为最优解（当前解是基变量取相应的资源常数，非基变量取为零）；若存在检验数，则要进行相应的换基，即：
迭代；
⑶①进基：
进基变量
：
②出基：
出基变量为第行所对应的基变量，由下面的关系确定
③以主元进行迭代，目标：
主元化为1，该列的其余元化为零。
⑷再一次判定当前解是否为最优解。
例用单纯形法求解线性规划
极大化
解引入松弛变量，得到原规划的标准型
极大化
单纯形表为
所以，最优解为最优解值为21.
人工变量法
对于约束条件中没有阶单位阵的线性规划，通过引入适当的人工变量，再加以求解。
1.大法
在大法中，引入的人工变量的价值系数为，而相应的约束条件系数向量为单位向量。
2.二阶段法
例用人工变量法求解线性规划。
s.t.
符号不限。
例求解规划
建立对偶规划的要点
⑴原规划是极大化，则对偶规划是极小化；
⑵原规划的价值系数是对偶规划中的资源常数；
⑶原规划与对偶规划的约束条件系数矩阵为矩阵的转置关系；
⑷原规划中的第个决策变量无非负限制，则对偶规划中的第个约束条件为等式；
⑸原规划中的第个决策变量非正，则对偶规划中的第个约束条件取反向不等式；
例求下面问题的对偶规划
极大化
无非负限制。
解极小化
对偶单纯形法
基本要求：
检验数；资源常数存在负值。
解法：
1．列出对偶单纯形表；
2．将基变量在目标函数中系数化为零，检验数为新目标函数中系数的相反数；
3．判断，若，则当前解为最优解；
若中存在负项，则进行迭代，确定出基和进基变量；
出基：
记为第r行对应的变量；
进基：
，为进基变量；
以为主元进行迭代。
目标：
将主元化为1，该列的其余元化为0。
灵敏度分析
灵敏度分析的任务：
确定各个变量使得最优解保持不变的变化范围；以及在最优解改变的时候求出相应的最优解。
⑴非基变量的价值系数的变化范围，使最优解保持不变。
⑵基变量的价值系数的变化范围，使最优解保持不变。
：
若最优解改变，则对两种情况有
⑶资源常数变化范围使最优基不变：
：
⑷非基变量的系数向量的增量的变化范围使最优解不变：
⑸增加新的决策变量使最优解保持不变：
例：
设线性规划
求：
1.最优解;
2.确定的范围,使最优解不变;取,求最优解;
3.确定的范围,使最优基不变,取求最优解;
4.引入求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
2.因为非基变量,故当时,即时,最优解不变;
为基变量,由公式,当最优解不变,即
时,最优解不变.
现对最优解改变,此时原最优表为
即相应的最优解为
3.此时
得最优基不变.即
最优基不变.
当最优解改变,此时
此时最优表为
即最优解为
4.此时
故最优解改变.
相应的最优表为
例用分枝定界法求解整数规划
用隐枚举法求解0-1规划
运输问题（产销平衡）的求解方法：
表上作业法
1.用最小元素法求初始解；
2.用位势法求出当前解所对应的位势：
若为基变量，则行位势和列位势满足关系
3.用位势法计算非基变量的影响系数：
若为非基变量，则影响系数与行位势和列位势满足关系
4.最优解的判定：
若影响系数则当前解为最优解；否则通过解的调整求出最优解；
5.解的调整：
⑴记：
⑵令为所对应的非基变量，以为当前变量，构造闭回路；
⑶在闭回路上确定最大调整量；
⑷求出新解
6.重新判定当前解是否为最优解。
产销不平衡的运输问题的求解方法：
设置虚拟产地或销地以达到产销平衡.
指派问题的求解：
1.的指派问题的最小值解的求解方法：
⑴用行缩减和列缩减在每行和每列至少产生一个零；
⑵用划线法判定是否有个独立的零；
⑶如果有个独立的零，则可以求出最小值解；
⑷若没有个独立的零，重新进行调整，以求出个独立的零。
2.的指派问题的最小值解的求解方法：
设置虚拟变量，其价值系数取为零。
3.指派问题中的最大值求解。
例求下面运输问题的最小值解：
1
2
3
4
1
3
11
3
10
7
2
1
9
2
3
4
3
7
4
10
5
9
3
6
5
6
解：
由最小元素法得到初始解：
v1=2
v2=9
v3=3
v4=10
1
9
3
4
u1=0
1
3
11
3
10
7
4
3
u2=-1
2
1
9
2
3
4
3
1
u3=-5
3
7
4
10
5
9
6
3
3
6
5
6
则：
，最小值为-6，非基变量为，闭回路，最大调整量为1，得新解：
，
重新计算位势及影响系数，得下表：
v1=8
v2=9
v3=3
v4=10
1
2
3
4
u1=0
1
3
11
3
10
7
5
2
u2=-7
2
1
9
2
3
4
3
1
u3=-5
3
7
4
10
5
9
6
3
3
6
5
6
，最小值为-5，非基变量为，闭回路，最大调整为2，得新解：
重新计算位势及影响系数，得下表：
v1=3
v2=4
v3=3
v4=5
1
2
3
4
u1=0
1
3
11
3
10
7
2
5
u2=-2
2
1
9
2
3
4
1
3
u3=0
3
7
4
10
5
9
6
3
3
6
5
6
，此时，，故当前解为最优解。
最优解值为：
。
产销不平衡的运输问题：
对产销不平衡的运输问题，求解的基本方法是设置虚拟变量，其单位运输成本为0，从中求出最优解。
例：
求下面运输问题的最小运费解：
1
2
3
4
1
2
11
3
4
7
2
10
3
5
9
5
3
7
8
1
2
7
2
3
4
6
例:
求解运输问题
1
2
3
4
1
3
2
7
6
50
2
7
5
2
3
60
3
2
5
4
5
25
60
40
20
15
例：
求下面指派问题的最小值解：
解：
故最优解为：
，最优解值为
。
例：
求下面指派问题的最小值及最大值解：
例：
求下面指派问题的最大值解：
例：
最短路问题：
求下面从到的最短线路和最短距离：
解：
；
所以：
所以：
。
例：
设有某种肥料共6个单位，准备给4块粮田用，其每块粮田施肥数量与增产粮食的关系如下表所示。
试求对每块田施多少单位重量的肥料，才能使总的粮食增产最多。
施肥
粮田
1
2
3
4
1
20
25
18
28
2
42
45
39
47
3
60
57
61
65
4
75
65
78
74
5
85
70
90
80
6
90
73
95
85
解：
表1，对两块田的施肥：
0
1
2
3
4
5
6
收益
田1
田2
1
20+0
0+25
25
0
1
2
42+0
20+25
0+45
45
1
1
3
60+0
42+25
20+45
0+57
67
2
1
4
75+0
60+25
42+45
20+57
0+65
87
2
2
5
85+0
75+25
60+45
42+57
20+65
0+70
105
3
2
6
90+0
85+25
75+45
60+57
42+65
20+70
0+73
120
4
2
表2，对三块田的施肥：
0
1
2
3
4
5
6
收益
1
2
3
1
25+0
0+18
25
0
1
0
2
45+0
25+18
0+39
45
1
1
0
3
67+0
45+18
25+39
0+61
67
2
1
0
4
87+0
67+18
45+39
25+61
0+78
87
2
2
0
5
105+0
87+18
67+39
45+61
25+78
0+90
106
2
1
2
6
120+0
1
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