光的衍射习题及答案.docx
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光的衍射习题及答案
第二章光的衍射
1.单色平面光照射到一小圆孔上,将其波面分成半波带。
求第к个带的半径。
若极点到观察点的距离r0为1m,单色光波长为450nm,求此时第一半波带的半径。
解:
而
将上式两边平方,得
略去项,则
将带入上式,得
2.平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上,设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。
问:
(1)小孔半径满足什么条件时,才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值;
(2)P点最亮时,小孔直径应为多大?
设此时的波长为500nm。
解:
(1)根据上题结论
将代入,得
当k为奇数时,P点为极大值;
k为偶数时,P点为极小值。
(2)P点最亮时,小孔的直径为
3.波长为500nm的单色点光源离光阑1m,光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环,接收点P离光阑1m,求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。
解:
根据题意
有光阑时,由公式
得
按圆孔里面套一个小圆屏幕
没有光阑时
所以
4.波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔,与孔相距1m处放一屏。
试问:
(1)屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点?
(2)要使P点变成与
(1)相反的情况,至少要把屏幕分别向前或向后移动多少?
解:
(1)点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时,
波带数为
故点为亮点.
(2)当点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时,点变成
暗点,此时,点至圆孔的距离为
则点移动的距离为
当点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时,点也变成暗点。
与此对应的到圆孔的距离为
则点移动的距离为
5.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:
r2:
r3:
r4=1:
:
:
用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:
(1)r1;
(2)像点的光强;(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上.
解:
因为5个半波带组成的半波带片上,不透光;透光;至不透光;至透光;至无穷大不透光.
单色平行光
第一条最亮的像点在的轴上,即
(1)
(2) 像点的光强:
所以
(3) 光强极大值出现在轴的位置是(即)
6.波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带(1,3,5,……)。
另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:
I0.
解:
100个奇数半波带通光总振幅
同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光
总振幅为
7.平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.
解:
设P点离焦点的距离为y,透镜的焦距为。
缝宽为,则位相差和光程差的关系式为
故
当缝的两边到P点的位相差为时,P点离焦点的距离为
当缝的两边到P点的位相差为时,P点离焦点的距离为
8.白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.
解:
由单缝衍射次最大值的位置公式可知
得
所以
所以该光为紫色光.
9.波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到
(1)第一最小值;
(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?
解:
根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:
得第一、第三最小值的位置分别为
由单缝衍射的其它最大值(即次最大)位置的近似式
得
10.钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?
若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?
解:
如果近似按夫琅和费单缝衍射处理,则根据公式
得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为
那么
如果改用时
12.一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上,问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少?
(设可见光中最短的紫光波长为400nm,最长的红光波长为760nm)
解:
由光栅方程得
所以
所以
式中
所以
13.用可见光(760~400nm)照射光栅是,一级光谱和二级光谱是否重叠?
二级和三级怎样?
若重叠,则重叠范围是多少?
解:
根据光栅方程
得
,
因为 > 所以 一级和二级不重叠.
而
因为 < 所以二级和三级光谱部分交迭.
设第3级紫光和第2级波长的光重合
则
所以
设第2级红光和第3级波长为的光重合
则
所以
综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的与三级光谱的重叠.
14.用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅,其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10',求该光栅1cm内的缝数是多少?
解:
15.用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。
试问:
(1)光垂直入射时,最多能观察到几级光谱?
(2)光以角入射时,最多能观察到几级光谱?
解:
根据光栅方程 得
可见的最大值与的情况相对应(真正等于1时,光就不能到达屏上).
根据已知条件,并取则得
(此处只能取整数,分数无实际意义)
即能得到最大为第四级的光谱线.
(2)根据平行光倾斜入射时的光栅方程 ,可得
同样,取得
即能得到最大为第六级的光谱线.
16.白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上,试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光?
其颜色如何?
解:
由题意可知
当时, 由公式
得
当时,
所以 这里可取3,4,5
当时 (为红色)
当时 (为绿色)
当时 (为紫色)
17.用波长为624nm的单色光照射一光栅,已知该光栅的缝宽b为0.012mm,不透明部分的宽度a为0.029mm,缝数N为103条。
求:
(1)单缝衍射图样的中央角宽度;
(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱?
(3)谱线的半宽度为多少?
解:
(1)单缝衍射图样的中央角宽度
(2) 单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定
式中为光栅的光栅常数.
所以看到的级数为3.
(3)谱线的半角宽度的公式为:
令
18.NaCl的晶体结构是简单的立方点阵,其分子量M=58.5,密度ρ=2.17g/cm3,
(1)试证明相邻两离子间的平均距离为
nm
式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数;
(2)用X射线照射晶面时,第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.
解:
(1)晶胞的棱边为棱边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为
这里,NaCl分子的质量由下式给出
所以晶胞的棱边由上面两式联立解得
那么相邻两离子间的平均距离为
时
(2)根据布喇格方程 在时
19波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上,晶体原子层的间距为0.28nm问光线与界面成什么角度时,能观察到二级光谱。
解:
光线与界面成18′的角度时,能观察到二级光谱。
20如图所示有三条彼此平行的狭缝,宽度均为b,缝距分别为d和2d,试用振幅矢量叠加法证明正入射时,夫琅禾费衍射强度公式为:
式中
证明:
设单缝衍射的振幅为,三缝衍射的总振幅为,则
=(1+cos+cos)
=(1+sin+sin),
==+= [(1+cos+cos)2+(1+sin+sin)2]
= [3+2(cos+cos2+cos)]
又 =, u=
=
∙
其中 ,得证.
21一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕。
如图所示,以波长的单色光垂直投射,将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方,玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm,试问第一辑主最大方向的改变了多少?
解:
首先求玻璃片的顶角A,
单色平行光经劈后的偏向角为
故玻片未加前的光栅方程为 ,
时,,
将 代入上式,得
玻片加入后的光栅方程为
代入数据得:
即
那么,第一级最大的方向改变为
22一平行单色光投射于衍射光栅上,其方向与光栅的法线成角,在和法线成11°和
53°的方向上出现第一级谱线,且位于法线的两侧。
(1) 试求入射角;
(2) 试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线,而在法线同侧则能观察到二级谱线?
解:
(1)如图(a)所示,若入射方向与衍射方向处于法线的同侧,
根据光程差的计算,
光栅方程为
(1)
如图(b)所示,若入射方向与衍射方向处于法线的两侧,
根据光程差的计算,
光栅方程为:
(2)
(1)-
(2),得 (3)
d
θ0
(b)
将代入(3)得
(2)当位于法线两侧时,满足
一级谱线:
故 (4)
二级谱线:
(5)
将(4)代入(5)得
故当位于法线两侧时,第二级谱线无法观察到。
当位于法线同侧时,满足 ,
(6)
将(4)代入(6)得 故位于法线同侧时,第二级谱线也可观察到。
23波长为600nm的单色光正入射到一透射光栅上,有两个相邻的主最大分别出现在和处,第四级为缺级。
(1)试求光栅常量;
(2)试求光栅的缝可