数学建模大作业Word下载.docx
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（2）所有人员均具备良好素质，即会自觉按照既定路线有序撤离，不会试图超越前方个体；
（3）人群密度ρ（人/）在通道各处相等并随速度（m/s）的增加而减少；
（4）定义人流流量速率q（人/（ms））即为单位时间单位通道截面积通过人数，q=；
（5）在逃离过程中，通道始终完好，受灾人员只要逃出出口即视为安全；
（6）所有人员均从出口撤离，无跳楼或跳窗者；
3.1.2人体基本参数
根据参考文献[1]，结合我国人口素质情况，简略起见取肩宽=0.5m，身体厚度=0.25m。
3.1.3模型建立
拥挤状态下跨步长l（m）等于相邻个体间距。
如图所示，结合对个体生理尺寸参数计算，可得式
（1）：
l=
（1）
参考文献[4]和[5]中给出的速度、步幅等数据，确定人群密度ρ与行走频率f之间存在关系，见式
（2）。
f=k
（2）
通过进一步验证得到k=1.36,n≈0.5,将人群速度表示为密度函数，见式（3）。
v=l∙f=（）k（3）
则人流流量速率为，
q=v=（）k（4）
利用式（3）与式（4）两个模型和相关参数，在Mathmatica2.2中绘制如下图形：
可确定人流密度ρ=2.22人/、相应速度v=1.01m/s之时，q取得极值=2.25人/（m∙s）。
接着给出沿第i条路径第k段（每条撤离路径由多个阶段构成，如在教室内、在走廊内等）撤离过程中某一小段时间）内人流总量与该段时间的关系。
为人在该段时间走过的步数。
为该段撤离路径的路程。
为该段路径中通道宽度。
（区别于q）
=/（5）
与
（2）联立即得：
k=（6）
又=/（7）
得到（8）其中n，k=1.36。
.
由（8）式及
（1）式可解得（9）
将（9）式代入（4）式
q=（）k（10）
则，
==（12）
则=（13）
3.2疏散时间的计算
变量设定
Mi-------通过第i条撤离路径的疏散人数总和;
M-------整栋楼总疏散人数;
T-------整栋楼所有人全部撤离的时间；
Ti-------第i个出口的疏散时间；
tik-------第i个出口中第k段的疏散时间;
D*-------不同门的宽度
3.2.1关于Ti的计算：
因为总时间Ti等于各段时间之和，即：
Ti=通过教室门的时间+通过楼梯门的时间+通过各个段的时间+通过出口的时间
Ti=
+
+
（*）
其中，tik=
3.2.2时间的最优化
由T与Ti的关系有
T=max
现在证明T最小的条件为:
T1=T2=
=Tn
（数学归纳法）
设mi为单位时间通过第i个出口的人流流量。
M=m1T1+m2T2+
+mnTn,Mi=miTi
1 当n=2时：
1.T1<
T2
Ta=T2=
2.T1=T2
Tb=
Tb-Ta=
-
又M1T1+M2T2=（M1+M2）Tb>
M1T1+M2T1
Tb>
T1
所以Tb-Ta<
0
故当T1=T2时，所用时间最少.
2 假设n=k时，有当T1=T2=
=Tn时，T最小；
则当n=k+1时：
1.Tk<
Tk+1
Ta=Tk+1=
2.Tk=Tk+1
Tb-Ta=
同理：
Tb-Ta<
故当T1=T2=
=Tk_+1时，所用时间最少.
综上所述，故当T1=T2=
=Tn时，所用时间最少.
3.3理论最优疏散方案设计
由以上分析所得当T1=T2=
=Tn时，所用时间最少，再结合3.1.1中式（12）和（13）可知，只有通过合理安排不同教室的人的撤离路径以及控制每条撤离路径的承载的撤离人数使得各条路径上的之和最为接近，才能使得整体撤离时间最短化。
显然，要使疏散方案达到最优化，方案的复杂性极高，实际可行性不大。
4实例分析
以我校思源西楼为实例，来设计火灾时人员疏散具体方案并计算疏散时间。
为计算方便，再做出如下假设：
（1）将教师与学生作为整体分析；
（2）教学楼人员均为身体健康，具有正常判断能力的无差别个体；
（3）所有的人均以安全出口为原则；
（4）所有上课的学生均没有逃课；
（5）没有人跳楼或爬窗逃生；
（6）每扇门都可以完全打开；
（7）一有火灾立刻有人按火灾警报所有人都立刻开始撤离。
（8）撤离过程中人流始终保持较为拥挤状态，此时q保持在2.25人/s左右，v保持在1m/s左右。
4.1平面图的确定
思源西楼一层
思源西楼二层
4.2疏散人数的确定
题设中给出火灾时间为某一天的上午学生正在上课之时且只考虑一二层的人，在这里我们假定当天为周一。
周一上午大一学生在思西一二层上微积分和大学物理，所以当时这两层每个教室都有课且上课人数较多，为计算方便我们假定每个教室100人。
在该情况下一二层疏散人数几乎已达最大值，此时计算出的疏散总时间T即为所有可能情况的最大值（其余情况即为有教室没有课的情况）。
4.3疏散方案确定
由3.1.3和3.2.2可知理论最优方法的撤离路径以及各条撤离路径上的人数安排过于复杂，结合实际情况，和人类心理的偏向（比如一般都会优先考虑离自己较近的楼梯口等等），以下给出几种较为合理的的方案并进行比较评估，得出一套相对较好的方案。
（1）对于一楼的人员，根据上述数学模型并结合大出口与小出口的瞬时通行量的比例（约为为3：
1），及一楼教室情况等，安排以下方案进行疏散撤离：
101，106，107从大出口撤离，105从小出口撤离；
并且每个教室的每一个门撤出的人数均为教室人数的一半。
（2）对于二楼的人员，考虑到二楼教室与楼梯口分布不均，各个教室到各个楼梯口的距离不等且在疏散时必有大量人群涌向楼梯，以及一个教室的人有可能从不同的楼梯口逃离等等实际情况，现给出四种较为合理的撤离方案，其中每一方案分为两个模块（从二楼到一楼楼梯口，从一楼楼梯口到最终出口两部分）：
（简图表示）
方案一：
①
到达一楼后
②
在一层④楼梯口的人小出口
203
③
④
方案二：
203
方案三：
202
204
205
方案四：
以下给出测量所得的数据（为计算简便做了一定的简化处理）：
方案中在二楼的数据表
撤离所对楼梯号
教室
a1门对应楼梯口距离（m）
a2门对应楼梯口距离（m）
在楼梯间通过距离
①
201
6
14.7
19.5
2.4
12.6
③
无
8.4
4.2
9
13.8
④
21
方案中在一楼的数据表
楼梯号
从楼梯到大出口距离（m）
从楼梯到小出口距离（m）
10.8
11.1
29.1
24
4.8
其他数据
教室门宽（m）
走廊宽（m）
楼梯口门宽（m）
楼梯宽（m）
大出口宽（m）
小出口宽（m）
D
1.2
1.68
4.02
4.4人员疏散方案分析
根据T=max
原理，各方案的优劣由各方案中各个流通路径中时间最长的路径决定。
由分析得四个方案的时间最长的路径分别为：
方案一
（204
）++
大出口
方案二
）一半++
方案三
（202的a2门出一半+203的a2门出一半+204的a1门出一半
）++
方案四
）一半++
由基本假设（8）“撤离过程中人流始终保持较为拥挤状态，此时q保持在2.25人/s左右，v保持在1m/s左右。
”结合3.2.1中式（*）分别计算四个方案的最终撤离时间，比较分析得出第三个方案为最优方案，并算得其撤离时间为T=205.95。
5模型总结
通过建立思源西楼人流疏散模型，从理论上预测所得趋势与日常经验相符合，并且量值上的结果与实际情况较为吻合。
通过模型建立，还得出了理论最优时间的撤离方案要求，并通过几个合理方案验证了当方案与理论方案越接近时，疏散时间越短。
综上，此模型对火灾发生撤离方案的确定有一定可信性和借鉴意义，希望能为今后建筑火灾人员疏散提供参考。
5.1优化方向
A.可以考虑火灾中产生的烟雾及有毒气体对人群疏散速度的影响。
B.可以考虑火灾发生位置不同对撤离方案的影响。
C.可以考虑火灾发生的季节时间以及温度湿度等对火灾撤离方案的影响。
D.可以考虑撤离时间内人员健康受影响（比如受烟气影响）的程度来对思源西楼抗火灾能力进行评估。
5.2对思源西楼平时管理的建议
A.注意平时保持楼内通道的畅通和易行进（防止有水和油渍）。
B.楼梯口的两扇门应尽量都保持畅通，不要只开半扇（有几扇坏的要及时修好）。
C.注意保持楼与外界，教室与外界的通风状况良好。
参考文献：
[1]JJFruin.PedestrianPlanningandDesign[M].MetropolitanAssociationofUrbanDesignersandEnvironmentalPlanners,Inc.,1971.
[2]StephenPheasant,Bodyspace:
Anthropometry,ErgonomicandtheDesignoftheWork2ndEd[M].USATaylor&
FrancisInc.,2001.
[3]DepoartmentofNationalHeritage,GuidetoSafetyatSportsGrounds4thEd[M].H.M.S.O.Publications,1997.
[4]姜起源,数学模型[M].北京:
高等教育出版社,1993.
[5]G.keithStill,CrowdDynamics,http:
//www.
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