《菱形的性质与判定》名师教案Word格式文档下载.docx

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答案：

AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD.

解析：

∵四边形ABCD的对角线互相平分，

∴四边形为平行四边形.

∴当AB=BC时，四边形ABCD是菱形.

点拨：

根据定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可得到答案.

2、如图，菱形ABCD中，已知∠ABD=20°

，则∠C的度数为__________.

140°

.

∵菱形是轴对称图形，对角线所在直线是对称轴，

∴对角线平分对角，

∴∠ABC=2∠ABD=40°

.又因为菱形邻角互补，可得∠C=180°

-∠ABC=140°

根据菱形的轴对称性得到菱形对角线平分对角，从而得出∠ABC的度数，进而得到相邻的角的度数.

二、解答题

3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长和菱形的面积.

6cm，24cm2.

∵菱形对角线互相垂直，所以∠AOB=90°

，

∴在Rt△AOB中，

∴BD=2OB=6cm.

∵菱形是轴对称图形，BD所在直线是一条对称轴，

∴△ABD≌△CBD，

∴S菱形ABCD=2S△ABD=

cm2.

根据菱形对角线互相垂直和勾股定理，可求得OB的长，从而得BD的长；

根据菱形的轴对称性将菱形分成两个全等三角形，利用三角形面积公式可求菱形得面积.

（或点击“课前预习-名师预习”，选择“《菱形的性质与判定

（1）》预习自测”）

（二）课堂设计

1、情境引入

内容：

在日常生活中，常看到各种各样的几何图形和由它们组成的精美图案，请同学们观察下面的几幅图片，看一看图案是有哪些基本图形组成的？

学生：

观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片.

教师：

同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？

你认为它们有什么样的共同特征呢？

学生1：

图片中有八年级学过的平行四边形.

请同学们观察，彩图中的平行四边形与

ABCD相比较，有什么不同点吗？

这种图形就叫做菱形.

设计意图：

通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力.上课时让学生观察图形，从直观上初步感受菱形的形状和性质，同时，要让学生体会到数学来源于生活，数学就在我们身边，并不是高不可攀的道理.

注意事项及效果：

学生在通过观察对比体会菱形的形状和性质的过程中，会给出一些与定义无关的结论，教师需要对正确的结论加以肯定，并从菱形的定义方面加以引导.

2、探究发现

探究1：

菱形的概念

师：

上面几幅图片的基本图形都是平行四边形吗？

这些基本图形还有什么共同特征？

（一眼可以看出来的）

生：

它们都是平行四边形，而且四条边都相等.

上面说过这类图形叫做菱形，那同学们能类比平行四边形的概念给出菱形的定义吗？

师生总结：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

让学生再举一些生活中常见的菱形的例子.

（登录优教同步学习网，搜索“动画演示：

菱形及其性质”，看菱形的概念及实例部分）

通过这个环节，培养了学生的总结概括能力.学生通过对菱形定义的概括，不但掌握了菱形的特征，也为下一步学习菱形的性质打下良好的基础.

注意事项与效果：

学生在通过总结概括得到菱形定义的过程中，会有一些不同的想法，如四条边都相等的四边形叫做菱形、四条边都相等的平行四边形叫做菱形等等，教师要对学生的答案进行积极有效的评价分析，激发学生的学习积极性，同时又要从类比学习的角度给出菱形的定义，强调菱形不仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形的定义和与平行四边形的关系，又为下面的教学内容做好了铺垫.

探究2：

想一想：

（1）教师：

菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.

（2）教师：

同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？

请你与同伴交流.

学生活动：

分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果.

教师活动：

教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生.

（3）师生总结：

①与平行四边形相同的性质：

对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分.

②与平行四边形不同的性质：

一组邻边相等（或四条边都相等）.

做一做：

请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

（3）菱形的对角线有什么关系？

分小组折纸探索，并讨论、交流，组长组织汇总结果.

教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学.

①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直.

②菱形的四条边相等.

③菱形的对角线互相垂直.

注：

学生还可能会发现下面一些性质，应鼓励学生多说.

菱形的对角线平分一组对角；

菱形的对角线互相垂直并平分；

菱形及其性质”，看菱形的性质部分）

证一证：

通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的了解，那么上面得到的结论正确吗？

你能证明这些结论吗？

展示题目

已知：

如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证：

（1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD.

师生共析：

①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了.

②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；

又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了.

独立写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理.

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.

又∵AB=AD，

∴AB=BC=CD=AD.

（2）∵AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形.

又∵四边形ABCD是菱形

∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

∵OB=OD

∴AO⊥BD，

即AC⊥BD.

展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象.

学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难.

学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分理解了菱形的本质特征.本环节让学生进行猜想探究和证明，符合学生的认知规律.同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华.

在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法，明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对角线，以便于学生正确迅速找出菱形中的对称关系.掌握数学知识，离不开“实践→认识→再实践→认识”这个重要的数学学习过程，通过说理论证可以使学生充分理解菱形的本质并掌握，在这个过程中，教师要充分关注学生使用几何语言的规范性，进一步规范学生的证明步骤的规范性和严谨性.

3、知识运用

通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题.

（1）例题如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°

，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.

①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°

，这样就可以得到等边△ABD，BD=6，菱形的边长也是6.

②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；

菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；

再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC.

解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的四条边都相等）

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

OB=OD=BD=×

6=3（菱形的对角线互相平分）

∵∠BAD=60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB=BD=6

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB.

（2）练习如图1-3，在菱形ABCD中，∠BAD=120°

，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）

B

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA.又∵AC是对角线，∠BAD=120°

，∴∠BAC=∠DAC=60°

.∴AB=BC=CA=5.∴菱形的周长是5×

4=20.故选B.

思路点拨：

由菱形对角线平分对角和菱形一组邻边相等，得等边三角形，进一步得边长，从而得菱形周长.

通过例题的讲解和练习题的巩固，让学生灵活运用菱形的性质求解，达到学以致用的目标，同时进一步规范解题步骤，

在此活动中，教师应重点关注以下方面：

（1）学生能否提出不同的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么；

（2）学生的几何语言是否准确、规范、严谨；

（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识.

4、随堂检测

一、选择题

1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直?

?

D.对角线相等

C

∵菱形具有的性质：

对角相等，四条边都相等，对角线相互垂直且平分；

一般平行四边形的性质：

对角相等，对边相等，对角线互相平分.∴对角线相互垂直是一般平行四边形不具有的，故选C

菱形具有一般平行四边形的所有性质外，还有自己的特殊性质：

四条边都相等，对角线互相垂直.据此即可得出答案

二、填空题

2、描述有一角度数为60°

的菱形特殊性_____________

较短的对角线长与菱形的边长相等

如图，有AB=BC，

∵∠ABC=60°

，则△ABC为等边三角形

∴AC=AB.

根据菱形和等边三角形的性质可解答该题.

3、一般的菱形共有________条对称轴．

2

菱形是轴对称图形，它的对称轴是对角线所在直线，菱形有两条对角线，故有两条对称轴，

根据菱形的轴对称性和对称轴的概念、性质解题。

三、判断题

4、两组邻边分别相等的四边形是菱形.（）

×

如图，有两组邻边分别相等，但它不是菱形.

根据定义解题

5、菱形的对角线互相垂直平分．（）

√

菱形的其中两条性质是：

菱形的对角线互相垂直，菱形对角线互相平分，也即菱形的对角线互相垂直平分，所以这句话是对的.

利用菱形的性质即可解答.

四、解答题

6、如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周长．

答案见解析

∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm，

∴AC⊥BD，OA=

AC=4cm，OB=

BD=3cm，

∴AB=

=5cm，

∴菱形ABCD的周长为：

5×

4=20cm.

由菱形ABCD中，AC=8cm，BD=6cm，根据菱形的性质可得：

AC⊥BD，OA=

BD=3cm，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．

（或点击“随堂训练”，选择“《菱形想性质与判定

（1）》随堂检测”）

6、课堂小结

自由发言谈本节课的困惑、收获和体会.

1.知识点

（1）菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

（2）菱形的性质：

①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的对角线互相垂直平分.

（3）菱形具有平行四边形的所有性质，能应用菱形的性质可以进行计算和推理.

2.布置作业

课本习题1.1知识技能　1、2、3数学理解4

7、分层作业

基础型：

1、菱形的周长为8cm，高为

cm，则该菱形两邻角度数比为（?

）

A．2：

1B．3：

1C．4：

1D．5：

1

如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，

∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°

∵AE=

，AE⊥BC，

∴由勾股定理得：

BE=

∴AE=BE，

∴∠B=45°

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB+∠B=180°

∴∠DAB=135°

∴菱形两邻角的度数比为135°

：

45°

=3：

1．

故选B．

先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据勾股定理求出BE，求出AE=BE，求出∠B=45°

，∠DAB=135°

，即可求出答案．

2、如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则对角线AC的长为_______cm.

连接DB，

∵E是AB中点，且DE⊥AB，

∴AD=BD.

∵菱形ABCD的边长是2cm，∴AD=BD=AB=2cm.

∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°

∵DE⊥AB，

∴AE=

2=1cm，DE=

cm

∴菱形ABCD的面积=DE?

AB=

∴

AC?

BD=

∴AC=

cm，

故答案为：

．

连接DB，因为E是AB中点，DE⊥AB，所以可得AD=DB，利用勾股定理可求得DE的长，进而可得菱形ABCD的面积，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出AC的长．

3、如图，在边长为6cm的菱形中∠DAB=60°

，E为AC上一动点，当E运动到某个位置时，BE+DE有最小值，这个最小值是_______

6cm

连接BD交AC于点E'

，此时BE+DE有最小值，

∵∠A=60°

，AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AD=6cm，即BE+DE的最小值为6cm．

故答案为6cm．

由两点之间线段最短，从而可得BD的连线与AC的交点即是点E的位置，从而根据菱形的性质可得出最小值．解答本题的关键是根据题意确定点E的位置．

能力型：

1、菱形不一定具有的性质是（）

A．对角线相等B．四条边相等C．轴对称图形D．对角线互相平分

A

∵菱形的性质有：

对角相等，四条边都相等，对角线相互垂直且平分，是轴对称图形也是中心对称图形；

其中对角线相等不是菱形特有的性质，故选A.

根据菱形的性质即可解答此题.

2、菱形ABCD的周长20cm，∠A:

∠B=2:

1，则顶点A到对角线BD的距离是（）?

A.5cm?

B.4cm?

C.3cm?

D

∵菱形ABCD的周长20cm，

∴菱形的边长是5cm.

∵∠A:

1，

∴∠B=60°

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=5cm,

∴A0=2.5cm.

∵菱形对角线互相垂直，所以顶点A到对角线BD的距离即AO=2.5cm.故选D

根据菱形的性质：

四条边都相等，对角相等，邻角互补可解答此题.

3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．

（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；

（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长

∴AD∥BC，AO=OC，

＝1，

∴OM=ON．

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，

∴BO=

∴BD＝2BO＝2×

=

∵DE∥AC，AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴DE=AC=8，AD=CE=6

∴△BDE的周长是：

BD+DE+BE

=BD+AC+（BC+CE）

+8+（6+6）

=20+

即△BDE的周长是20+

（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．

（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的长；

然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=8，AD=CE=6，即可求出△BDE的周长是多少．

探究型：

一、解答题

1、如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，则称该四边形为“筝形”．连接对角线AC、BD，交于点O．

（1）写出关于筝形对角线的一个性质______________________，并说明理由；

（2）给出下列四个条件：

①OA=OC，②AC⊥BD，③∠ABD=∠CBD，④AB∥CD．从中选择一个条件_______（填序号），使该筝形为菱形，并证明之．

（1）BD⊥AC，且AC平分BD．

理由如下：

在△ABC与△ADC中，

AB＝AD

AC＝AC

BC＝DC，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC．

∴AC⊥BD，OB=OD；

故答案是：

BD⊥AC，且AC平分BD；

（2）选择①，理由如下：

∵BD⊥AC，OA=OC，

∴BC=AB．

又∵AB=AD，BC=CD，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD为菱形．

故①是答案．

（1）证明△ABC≌△ADC，即可证得BD⊥AC，且AC平分BD；

（2）答案不唯一，选择①，根据“四条边相等的四边形为菱形”进行证明．

2、如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．

（1）证明：

∠APD=∠CBE；

（2）若∠DAB=60°

，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

，为什么？

∴BC=CD，AC平分∠BCD.

∵CE=CE.

∴△CBE≌△DCE.

∴∠EBC=∠CDE.

又∵AB∥DC，

∴∠APD=∠CDE.

∴∠CBE=∠APD.

（2）解：

当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=

S菱形ABCD．

理由：

连接DB

∵∠DAB=60°

∴△ABD是等边三角形.

∵P是AB边的中点，

∴DP⊥AB.

∴S△ADP=

AP?

DP，S菱形ABCD=AB?

DP.

∵AP=

AB，

AB?

DP=

S菱形ABCD

即△ADP的面积等于菱形ABCD面积的

（1）可先证△BCE≌△DCE得到∠CBE=∠CDE，再根据AB∥DC,得∠APD=∠CDE.即可利用等量代换得到结论．

（2）证明当P点运动到AB边的中点时，S△ADP=

S菱形ABCD即可.

（或点击“课后作业”，选择“《菱形想性质与判定

（1）》基础型”、“《菱形想性质与判定

（1）》能力型”、“《菱形想性质与判定

（1）》探究型”）