解析：
选A.P2＝2a＋13＋2，
Q2＝2a＋13＋2，
所以P2>Q2，又因为P>0，Q>0，所以P>Q.
2．（选修2 2P91B组T2改编）设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则＋＝________．
解析：
由题意，得x＝，y＝，b2＝ac，
所以xy＝，
＋＝＝
＝＝
＝＝
＝＝2.
答案：
2
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．（ ）
（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．（ ）
（3）反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．（ ）
（4）用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．（ ）
（5）常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）× （4）× （5）√
二、易错纠偏
（1）利用反证法证明“至少”“至多”问题时反设不正确；
（2）利用分析法证明时寻求的条件不充分，造成最后所求索的原因错误；
（3）用反证法证明时对含有逻辑联结词“且”“或”的结论否定出错．
1．用反证法证明命题：
“三角形的内角中至少有一个不大于60度”，假设正确的是（ ）
A．假设三个内角都不大于60度
B．假设三个内角都大于60度
C．假设三个内角至多有一个大于60度
D．假设三个内角至多有两个大于60度
解析：
选B.根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60度．故选B.
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明（ ）
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0D．（a2－1）（b2－1）≥0
解析：
选D.a2＋b2－1－a2b2≤0⇔（a2－1）（b2－1）≥0.
3．利用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤1或y≤1”时，正确的反设是________________________________________________________________________．
答案：
若x＋y≤0，则x>1且y>1
综合法（师生共研）
数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
（1）证明：
数列是等差数列；
（2）（一题多解）求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>.
【解】
（1）证明：
因为an＋1＝，
所以＝，
化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由
（1）知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2.
法一：
＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝＋＋…＋（－）＝1－＝.
法二：
＋＋…＋＝＋＋…＋>1，
又因为1>，
所以＋＋…＋>.
综合法的证题思路
（1）综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
（2）综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.
（1）求证：
a，b，c成等差数列；
（2）若C＝，求证：
5a＝3b.
证明：
（1）由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，
因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，
由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．
（2）由C＝，c＝2b－a及余弦定理得（2b－a）2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b.
2．（一题多解）在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：
△ABC是直角三角形．
证明：
法一：
由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2B－sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．
法二：
由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，
由余弦定理，得a·＝b·，
所以a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），
所以c2（a2－b2）＝（a2＋b2）（a2－b2），
所以（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.
若a＝b，则两直线重合，不符合题意，
故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．
分析法（师生共研）
已知a，b∈R，a>b>e（其中e是自然对数的底数），用分析法求证：
ba>ab.
【证明】 因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证alnb>blna，只需证>.
取函数f（x）＝，因为f′（x）＝，所以当x>e时，f′（x）<0，所以函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减．
所以当a>b>e时，有f（b）>f（a），
即>.得证．
分析法的证题思路
（1）分析法的证题思路：
先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题（定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证．
（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价（或充分）的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
[提醒] 要注意书写格式的规范性．
已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明：
要证－≥a＋－2，只要证＋2≥a＋＋.
因为a>0，故只要证≥，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只要证2≥，
只要证4≥2，即证a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
反证法（多维探究）
角度一 证明否定性命题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
【解】
（1）当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
（2）证明：
假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1（p＜q＜r，且p，q，r∈N*），
则2·＝＋，
所以2·2r－q＝2r－p＋1.（*）
又因为p＜q＜r，
所以r－q，r－p∈N*.
所以（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立．
所以假设不成立，原命题得证．
角度二 证明存在性问题
已知四棱锥SABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
（1）求证：
SA⊥平面ABCD；
（2）在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？
若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解】
（1）证明：
由已知得SA2＋AD2＝SD2，
所以SA⊥AD.
同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，
AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥平面ABCD.
（2）假设在棱SC上存在异于S，C的点F，
使得BF∥平面SAD.
因为BC∥AD，BC⊄平面SAD，AD⊂平面SAD.
所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，
所以平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
所以假设不成立．
所以不存在这样的点F，
使得BF∥平面SAD.
角度三 证明唯一性问题
已知f（x）＝ln（1＋ex）－mx（x∈R），对于给定区间（a，b），存在x0∈（a，b），使得＝f′（x0）成立，求证：
x0唯一．
【证明】 假设存在x′0，x0∈（a，b），且x′0≠x0，使得＝f′（x0），＝f′（x′0）成立，
即f′（x0）＝f′（x′0）．
因为f′（x）＝－m，记g（x）＝f′（x），
所以g′（x）＝>0，即f′（x）是（a，b）上的单调递增函数．所以x0＝x′0，这与x′0≠x0矛盾，所以x0是唯一的．
用反证法证明数学命题需把握的三点
（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．
（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证．
（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
1．设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋.证明：
a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：
假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4.
由a2＋b2＝＋，得a2b2＝1，
因为a>0，b>0，所以ab＝1.
因为a2＋b2≥2ab＝2（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
a＋b≥2＝2（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
这与假设矛盾，故假设错误．
所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
2．设{an}是公比为q的等比数列．
（1）推导{an}的前n项和公式；
（2）设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
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