初中数学圆的技巧及练习题附答案.docx

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初中数学圆的技巧及练习题附答案

初中数学圆的技巧及练习题附答案

一、选择题

1．下列命题中哪一个是假命题（　　）

A．8的立方根是2

B．在函数y＝3x的图象中，y随x增大而增大

C．菱形的对角线相等且平分

D．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等

【答案】C

【解析】

【分析】

利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

A、8的立方根是2，正确，是真命题；

B、在函数的图象中，y随x增大而增大，正确，是真命题；

C、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；

D、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，

故选C．

【点睛】

考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．

2．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（　　）

A．6B．8C．10D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可．

【详解】

设P（x，y），

∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，

∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，

∵OP2＝x2+y2，

∴PA2+PB2＝2OP2+2，

当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，

∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2，

∴PA2+PB2最小值为2×22+2＝10．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大．

3．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．4.5B．4C．3D．2

【答案】B

【解析】

【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：

AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．

【详解】连接AI、BI，

∵点I为△ABC的内心，

∴AI平分∠CAB，

∴∠CAI=∠BAI，

由平移得：

AC∥DI，

∴∠CAI=∠AID，

∴∠BAI=∠AID，

∴AD=DI，

同理可得：

BE=EI，

∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，

即图中阴影部分的周长为4，

故选B．

【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．

4．已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（）

A．30cm2B．15cm2C．30πcm2D．15πcm2

【答案】D

【解析】

试题解析：

根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：

S＝＝

故选D.

5．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）

A．2B．C．2﹣D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=2可得答案．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝30°，DC＝1，

∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，

则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝2，

∴⊙O的半径为，

故选：

B．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．

6．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB2=BC2+AC2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，于是得到△ABC的内切圆半径==1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．

【详解】

解：

∵AB=5，BC=4，AC=3，

∴AB2=BC2+AC2，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC的内切圆半径==1，

∴S△ABC=AC•BC=×4×3=6，

S圆=π，

∴小鸟落在花圃上的概率=，

故选B．

【点睛】

本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.

7．已知线段如图，

（1）以线段为直径作半圆弧，点为圆心；

（2）过半径的中点分别作，交于点；

（3）连接．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据作图可知,据此对每个选项逐一判断即可.

【详解】

根据HL可判定,得，A正确；

∵过半径的中点分别作，连接AE，

CE为OA的中垂线，

在半圆中，

∴,为等边三角形，,C正确；

∴圆心角相等，所对应的弧长度也相等，，B正确

∵,

∴，D错误

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于证明.

8．如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（）．

A．22.5°B．30°C．45°D．60°

【答案】C

【解析】

【分析】

设圆心为，连接，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数．

【详解】

解：

设圆心为，连接，如图，

∵弦的长度等于圆半径的倍，

即，

∴，

∴为等腰直角三角形，，

∴°．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（　　）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD的值．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ABD=∠ABC．

根据勾股定理求得AB=5，

∴sin∠ABD=sin∠ABC=．

故选D．

【点睛】

此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．

10．如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（）cm．

A．8B．8C．3πD．4π

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1，圆心角是90°的弧长，然后进行计算即可解答．

【详解】

解：

∵正方形ABCD的边长为cm，

∴对角线的一半＝1cm，

则连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长＝8×＝4π．

故选：

D．

【点睛】

本题考查了弧长的计算，审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键．

11．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）

A．B．C．D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．

【详解】

圆锥的底面周长是：

π；

设圆锥的底面半径是r，则2πr=π．

解得：

r=．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

12．如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．

【详解】

解：

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=8，∠ADC=180°60°=120°，

∵DF是菱形的高，

∴DF⊥AB，

∴DF=AD•sin60°=，

∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积扇形DEFG的面积

=．

故选：

C.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．

13．如图，点A、B、C、D、E、F等分⊙O，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（　　）

A．+B．-C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB，根据扇形面积公式计算．

【详解】

连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，

∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，

∴∠AOB=60°，又OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB=1，∠ABO=60°，

∴OH==，

∴“三叶轮”图案的面积=（-×1×）×6=π-，

故选B．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．

14．如图，四边形内接于圆，，，的大小为（）

A．130°B．100°C．20°D．10°

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出∠ABC的大小，根据内接四边形角度关系，得到∠ADC的大小，从而得出∠C的大小，最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD的大小.

【详解】

∵∠CBE=50°

∴∠ABC=130°

∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠ADC=50°

∵AD=DC

∴在△ADC中，∠C=∠DAC=65°

∴∠AOD=2∠C=130°

故选：

A

【点睛】

本题考查圆的性质，主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍，解题中，我们要充分利用圆的性质进行角度转换，以便得到我们需要的角度.

15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（　　）

A．86°B．94°C．107°D．137°

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：

∵∠BOD=86°，

∴∠BAD=86°÷2=43°，

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠BCD=180°-43°=137°，

即∠BCD的度数是137°．

故选D．

【点睛】

本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

16．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=4，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）

A．2B．4C．D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出B