实变函数题库集答案.doc

实变函数题库集答案.doc

《实变函数题库集答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实变函数题库集答案.doc（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

实变函数试题库及参考答案本科

一、题

1．设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）

2．设是的子集，则（用描述集合间关系的符号填写）

3．如果中聚点都属于，则称是闭集

4．有限个开集的交是开集

5．设、是可测集，则（用描述集合间关系的符号填写）

6．设是可数集，则=

7．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测

8．可测函数列的上极限也是可测函数

9．设，，则

10．设在上可积，则在上可积

11．设为集合，则（用描述集合间关系的符号填写）

12．设，则=（其中表示自然数集的基数）

13．设，如果中没有不属于，则称是闭集

14．任意个开集的并是开集

15．设、是可测集，且，则

16．设中只有孤立点，则=

17．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，则称在上可测

18．可测函数列的下极限也是可测函数

19．设，，则

20．设是上的单调增收敛于的非负简单函数列，则

21．设为集合，则

22．设为有理数集，则=（其中表示自然数集的基数）

23．设，如果中的每个点都是内点，则称是开集

24．有限个闭集的交是闭集

25．设，则0

26．设是中的区间，则=的体积

27．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测集，则称在上可测

28．可测函数列的极限也是可测函数

29．设，，则

30．设是上的非负可测函数列，且单调增收敛于，由勒维定理，有

31．设为集合，则=

32．设为无理数集，则=（其中表示自然数集的基数）

33．设，如果中没有不是内点的点，则称是开集

34．任意个闭集的交是闭集

35．设，称是可测集，如果，

36．设是外测度为零的集合，且，则=

37．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，（）则称在上可测

38．可测函数列的上确界也是可测函数

39．设，，则

40．设，那么由黎斯定理，有子列，使于

41.设为两个集合,则.（等于）

42.设,如果满足（其中表示的导集）,则是闭.

43.若开区间为直线上开集的一个构成区间,则满（i）（ii）

44.设为无限集.则的基数（其中表示自然数集的基数）答案：

45.设为可测集,,则.答案：

46.设是定义在可测集上的实函数,若对任意实数,都有是可测集上的可测函数.

47.设是（）的内点,则.答案

48.设为可测集上的可测函数列,且,则由____黎斯__定理可知得,存在的子列,使得.

49.设为可测集（）上的可测函数,则在上的积分值不一定存在且在上不一定可积.

50.若是上的绝对连续函数,则是上的有界变差函数.

51．设为集合，则答案=

52．设，如果满足（其中表示的内部），则是开集

53．设为直线上的开集，若开区间满足且，则必为的构成区间

54．设，则的基数=（其中表示自然数集的基数）

55．设为可测集，且，则答案=

56．设是可测集上的可测函数，则对任意实数，都有是可测集

57．若是可数集，则答案=

58．设为可测集上的可测函数列，为上的可测函数，如果，则不一定成立

59．设为可测集上的非负可测函数，则在上的积分值一定存在

60．若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）

多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设，则（ACD）

是不可数集是闭集中没有内点

2．设是无限集，则（AB）

可以和自身的某个真子集对等

（为自然数集的基数）

3．设是上的可测函数，则（ABD）

函数在上可测

在的可测子集上可测

是有界的

是简单函数的极限

4．设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC）

在上可测

在上可积

在上几乎处处连续

在上几乎处处等于某个连续函数

5．设，如果至少有一个内点，则（BD）

可以等于可能是可数集不可能是可数集

6．设是无限集，则（AB）

含有可数子集不一定有聚点含有内点是无界的

7．设是上的可测函数，则（BD）

函数在上可测

是非负简单函数列的极限

是有界的

在的可测子集上可测

8．设是上的连续函数，则（ABD）

在上可测

在上可积，且

在上可积，但

在上有界

9．设是狄利克莱函数，即，则（BCD）

几乎处处等于几乎处处等于

是非负可测函数是可积函数

10．设，，则（ABD）

是可测集的任何子集是可测集是可数集不一定是可数集

11．设，，则（AB）

当是可测集时，是可测函数

当是可测函数时，是可测集

当是不可测集时，可以是可测函数

当是不是可测函数时，不一定是可测集

12．设是上的连续函数，则（BD）

在上有界

在上可测

在上可积

在上不一定可积

13．设在可测集上可积，则（AC）

，都是上的非负可积函数

和有一个在上的非负可积

在上可积

在上不一定可积

14．设是可测集，则（AD）

是可测集的子集是可测集的可数子集是可测集

15．设，则（CD）

几乎处处收敛于

一致收敛于

有子列，使于

可能几乎处处收敛于

16．设是上有界函数，且可积，则（BD）

在上黎曼可积

在上可测

在上几乎处处连续

在上不一定连续

17.设,则（CD）

（A）是可数集　（B）是闭集　（C）中的每个点均是聚点　（D）

18.　若（）至少有一个内点，则（BD）

（A）可以等于０　（B）　（C）可能是可数集　（D）不可能是可数集

19．设是可测集，则的特征函数是（ABC）

　　（A）上的符号函数　　（C）上的连续函数

（B）上的可测函数（D）上的连续函数

20．设是上的单调函数，则（ACD）

（A）是上的有界变差函数　（B）是上的绝对连续函数　

（C）在上几乎处处收敛　　（D）在上几乎处处可导

21．设，则（AC）

（A）是可数集（B）是闭集

（C）（D）中的每一点均为的内点

22．若的外测度为0，则（AB）

（A）是可测集（B）

（C）一定是可数集（D）一定不是可数集

23．设，为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，如果，则下列哪些结果不一定成立（ABCD）

（A）存在（B）在上-可积

（C）（D）

24．若可测集上的可测函数在上有积分值，则（AD）

（A）与至少有一个成立

（B）且

（C）在上也有-积分值　

（D）

三、单项选择

1．下列集合关系成立的是（A）

2．若是开集，则（B）

4．设是上一列非负可测函数，则（B）

5．下列集合关系成立的是（A）

6．若是闭集，则（C）

7．设为无理数集，则（C）

为闭集是不可测集

9．下列集合关系成立的是（B）

10．设，则（A）

11．设为康托集，则（B）

是可数集是不可数集是开集

13．下列集合关系成立的是（A）

若则若则

若则若则

14．设，则（A）

15．设，则（B）

是中闭集是中完备集

16．设，是上的可测函数，则（B）

不一定是可测集

是可测集

是不可测集

不一定是可测集

１7．下列集合关系成立的是（A）

（A）　（B）　

（C）　　　（D）

18.若是开集，则（B）

（A）的导集（B）的开核

（C）（D）的导集

19.设的康托集，则（C）

（A）为可数集（B）为开集

（C）（D）

20、设是中的可测集，是上的简单函数，则（D）

（A）是上的连续函数（B）是上的单调函数

（C）在上一定不可积（D）是上的可测函数

21．下列集合关系成立的是（A）

（A）　（B）　

（C）　　　（D）

22.若是闭集，则（B）

（A）（B）

（C）（D）

23.设的有理数集，则（C）

（A）（B）为闭集

（C）（D）为不可测集

24.设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（A）

（A）在上，不一定恒为零（B）在上，

（C）在上，（D）在上，

四、判断题

1.可数个闭集的并是闭集.（×）

2.可数个可测集的并是可测集.（√）

3.相等的集合是对等的.（√）

4.称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集.（√）

5.可数个集的交是集.（×）

6.可数个可测函数的和使可测函数.（√）

7.对等的集合是相等的.（×）

8.称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（×）

9.可数个集的并是集.（√）

10.零测集上的函数是可测函数.（√）

11.对等的集合不一定相等.（√）

12.称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（√）

13.可数个开集的交是开集（×）

14.可测函数不一定是连续函数.（√）

15.对等的集合有相同的基数.（√）

16.称在上几乎处处相等是指使的全体的测度大于（×）

17.可列个闭集的并集仍为闭集（×）

18.任何无限集均含有一个可列子集