厦门市度高一下学期质量检测数学试题终稿.docx

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厦门市度高一下学期质量检测数学试题终稿

厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知为第四象限角，，则等于

A．B．C．D．

2．已知直线，，，平面，则下列结论错误的是

A.若，，则B.若，，则

C.若，，则D.若，，则

3．已知扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的面积为

A．B．C．D．

4．已知，，若与的方向相反，则实数的值为

A．B．C．或D．或

5．已知点和到直线的距离相等，则实数的值为

A．或B．或C．或D．或

6．已知点，，则在轴正方向上的投影为

A．B．C．D．

7．如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在秒时相对于平衡位置的

高度厘米由关系式确定．下列结论正确的是

A．小球的最高点和最低点相距厘米

B．小球在时的高度

C．每秒钟小球往复运动的次数为

D．从到，弹簧长度逐渐变长

8．榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件．图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积为

A．B．C．D．

9．若圆与轴的交点位于原点同侧，则实数的取值范围是

A．B．

C．D．

10．如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点，则直线与所成角的正弦值是

A.B.

C.D.

11．如图，在中，，平分，过点作的垂线，分别交，于，．若，，则

A．B．

C．D．

12．已知的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是．当时，的值域为，则的值是

A.B.C.D.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．过圆上的点作切线，则的方程是________．

14．已知，则________．

15．已知，，均是单位向量，若，则与的夹角为________．

16．正方体的棱长为，过的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是________．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知中，点，，点在直线：

上．

（1）若为与轴的交点，求的面积；

（2）若是以为底边的等腰三角形，求点的坐标．

18．（12分）

如图，直四棱柱中，底面是菱形，，是的中点，.

（1）证明：

；

（2）求直线与平面所成角的大小．

19．（12分）

如图，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，锐角的终边与单位圆交于点.

（1）若点的坐标为，绕原点逆时针旋转，与角的终边重合，求；

（2）已知点，，角终边的反向延长线与单位圆交于点，求当角取何值时，四边形的面积最大？

并求出这个最大面积．

20．（12分）

一木块如图所示，点是的重心，过点将木块锯开，使截面平行于侧面．

（1）在木块上画出符合要求的线，并说明理由；

（2）若底面为等边三角形，，求截面与平面之间的几何体的体积．

21．（12分）

已知函数的周期为，其图象关于直线对称．

（1）求的解析式，并画出其在区间上的图象；

（2）将图象上的点的横坐标缩短至原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移个单位得到的图象．当时，求函数的零点个数．

22．（12分）

如图，圆与轴交于点，，其在轴下方的部分和半圆组成曲线．过点的直线与的其它两个交点为，，且点在轴上方．当在轴上时，．

（1）求的方程；

（2）延长交于点．求证：

的面积为定值．

厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测

数学参考答案

一、选择题

1~5；6~10；11~12

第12题参考解答：

，，，

又，当时，取最小值，

则，，

．依题意，

若，，与矛盾，舍去；

若，则在上单调，，即．

，，

则，，．

二、填空题

13．14．15．16．

三、解答题

17．本题考查直线平行与垂直的性质、点到直线的距离、两点距离公式以及三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合的数学思想．本题满分10分．

解：

（1）法一：

点在直线上，

当时，，1分

，直线的方程为，2分

到直线的距离3分

，4分

5分

法二：

点在直线上，

当时，，1分

，直线的方程为，2分

令，则，3分

5分

（2）中点的坐标为，6分

的中垂线方程为，即7分

联立，8分

得，点10分

18．本题考查线面的位置关系、线面角等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力，考查化归转化的数学思想．本题满分12分．

解：

（1）证明：

连结，

四边形是菱形

1分

平面

2分

又3分

平面5分

6分

（2）法一：

取中点，连结，则7分

与平面所成角等于与平面所成角

又平面

为与平面所成角9分

又，

10分

11分

即与平面所成角为12分

法二：

，且

分别延长与，相交于点7分

且平面

为与平面所成角9分

又，

10分

又

11分

与平面所成角为12分

法三：

平面平面

与平面所成角等于与平面所成角7分

连结，又平面

为与平面所成角9分

又，

10分

11分

，与平面所成角为12分

19．本题考查三角函数定义、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归转化、数形结合等数学思想．本题满分12分．

解：

（1）依题意得1分

角的终边绕原点逆时针转与角的终边重合，

2分

3分

4分

5分

（2）设，则，

由三角函数的定义得，，

，，7分

四边形的面积

9分

10分

，11分

当时，即时，四边形的面积达到最大值12分

20．本题考查线面、面面位置关系、空间几何体体积公式等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归转化与数形结合等数学思想．本题满分12分．

解：

（1）如图所示，过点作直线，分别交，于，两点，

再过点作直线，交于点，连接.2分

，，

，同理，4分

又，，

，.

，，即为所求．6分

（2）法一：

，即，7分

同理，，

又，故，8分

9分

由

（1）知，，所以，.

点G是的重心，，

11分

12分

即截面与平面SBC之间的几何体的体积.

法二：

同法一得，

11分

12分

即截面与平面SBC之间的几何体的体积.

法三：

取的中点,连接，过点作于点，再过点作于点.依题意可知三棱锥是正三棱锥.7分

于点，点是的重心，

从而.

，

，

.9分

点G是的重心，，，

，

又由的易得，，

也是等边三角形，且，

三棱锥也是正三棱锥，

，，

11分

12分

即截面与平面SBC之间的几何体的体积.

21．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解与推理论证等能力；考查函数与方程、分类讨论、数形结合等思想．本题满分12分．

解：

（1），；1分

函数图象关于对称，

法一：

，，3分

法二：

，，3分

函数的解析式为

5分

（不列表格不扣分，在图中找到5个关键点1分，图象1分）

（2）依题意得6分

7分

　8分

令，或9分

在上有2个实根，在上有20个实根，

（）当时，又，函数在区间上有20个零点．

10分

（）当时，在上有2个根，则在有20个根，又在上有21个实根，函数在区间上有41个零点．11分

（）当或时，在上有2个实根，在上有20个实根，又函数在区间上有40个零点．

12分

22．本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系、两点距离公式以及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合等数学思想．本题满分12分．

解：

（1）法一：

由题意，当在轴上时，坐标为，设，

，，，，

，．2分

圆过，两点，圆心位于的中垂线上，即点在轴上，

设，则半径，设圆方程为，

圆过，，4分

圆方程为.5分

法二：

同法一，得2分

易知线段的中垂线与线段中垂线的交点为圆心．

的中点为，直线的斜率，

中垂线的方程为，3分

又的中垂线为，

，半径，4分

圆方程为.5分

（2）法一：

设直线的方程为，

联立直线与圆方程，得，

即，解得或，6分

所以，点在轴下方，，即；

将代入直线，的横坐标为，

点坐标为；7分

同理，设直线的方程为：

，

与圆方程联立，得到

解得或，所以点的纵坐标为，8分

点在轴下方，，即；

将代入直线，的横坐标为；

点坐标为9分

11分

为等腰三角形，的高，

为定值．12分

法二：

注意到为圆内接四边形中的外角，

故由圆内接四边形的几何性质知，

同理，；∽，8分

联结，，

又与均为直角三角形，，10分

，，，为定值11分

以下同法一．12分