高中数学竞赛辅导证明两直线垂直或平行.docx

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高中数学竞赛辅导证明两直线垂直或平行

高中数学竞赛辅导（证明两直线垂直）

一、利用三角形中的基本定理

（1）勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若，则AB⊥AC;

（2）在△ABC中，D在边BC所在的直线上，若，则AD⊥BC；（3）在Rt△ABC中，∠BAC=90，D是边BC上一点，若，则AD⊥BC。

1．已知⊙O和⊙O相交于点A、B过点A的直线分别交⊙O和⊙O于点P、Q，且AP=AQ，又M为（不含点A的）中点，N为（不含点A的）中点，求证：

MN⊥AB。

2．圆内接四边形ABCD中，延长AB、DC交于点E，延长AD、BC交于F，EM、FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K，求证：

EK⊥KF。

3．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，PA=AB，D为BP的三等分点（即2BD=DP），求证：

AD⊥PO。

二、利用全等、相似或圆的性质，直接计算

4．△ABC的内心为I，内切圆分别切BC、CA于点D、E，如果BI交DE于点G，求证：

AG⊥BG。

5．已知两个半径不相等的⊙O和⊙O相交于M、N两点，且⊙O和⊙O分别与⊙O内切于S、T两点，又S、N、T三点共线，求证：

OM⊥MN。

6．半圆圆心为O，直径为AB，一直线交圆周于C、D，交AB于M（MB

∠MKO=90

三、利用另外的线作“桥”

7．已知⊙O和⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上的点，PA、PB分别交⊙O于C、D，求证：

PO⊥CD

8．已知⊙O和⊙O相交于A、D两点，过点D作直线BC垂直于AD，分别交⊙O、⊙O于C、B两点，K是BC中点，过点A的任一直线QP交⊙O、⊙O于Q、P两点，M是PQ的中点，求证：

MK⊥PQ。

9．AB是⊙O非直径的弦，过AB中点P作两弦，过点作⊙O的切线得交点，过点作⊙O的切线得交点，求证：

OP⊥。

四、利用垂心、等腰三角形或矩形、菱形等

10．M是等腰△ABC底边AC的中点，MH⊥BC于H，P是MH的中点，求证：

AH⊥BP

11．△ABC的外接圆为⊙O，∠C=60，N是的中点，H是垂心，求证：

CN⊥OH。

12．圆内接四边形ABCD的一组对边AD和BC的延长线相交于点P，另一组对边AB、DC的延长线相交于点Q，∠P和∠Q的平分线相交于点R，对角线AC与BD相交于点K，∠DKC的平分线交CP于M，求证：

（1）PR⊥QR；

（2）QR⊥KM。

13．⊙O和⊙O相交于P、Q两点，⊙O的弦PA与⊙O相切，⊙O的弦PB与⊙O相切，设△PAB的外心为O，证明：

OQ⊥PQ。

14．证明：

如果一个凸四边形既有内切圆，又有旁切圆，则这个四边形的对角线相互垂直（这里四边形的旁切圆是指与四边形各边的延长线相切的圆）

五、利用同一法（利用这一点作已知直线的垂线是唯一的或某些几何量是唯一的平面几何的特性，用同一法来证明两直线垂直）

15．AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC与BD，设AC、BD相交于E，又过C、D引圆的切线交于点P，连接PE，证明：

PE⊥AB。

16．在矩形ABCD中，AB=3AD，E、F为AB边上的两点，且AE=EF=FB，AC与DF交于点G，求证：

EG

⊥DF。

17．以△ABC的边为直径作半圆，与AB、AC分别交于D和E，过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G，线段DG、EF交于点M，求证：

AM⊥BC。

六、利用旋转变换（旋转变换中，利用对应线段的夹角等于旋转角的性质证明两直线垂直，即如果两个全等或相似的三角形中，有一组对应边互相垂直，那么另外的对应边互相垂直，对应线（如对应角的角平分线，对应边上的中线或高线）亦互相垂直）

18．在凸四边形ABCD中，AC=BD=AB，且AC⊥BD，垂足为E，设I为△AEB的内心，M为AB的中点，求证：

MI⊥CD，且CD=2MI。

高中数学竞赛辅导（证明两直线平行）

一、利用两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行

1．等要△ABC（AC=BC），O是它的外心，I是它的内心，点D在BC上，且OD⊥BI，证明：

ID∥AC。

2．设H为△ABC的垂心，P为该三角形外接圆上的点，E是高BH的垂足，并设PAQB与PARC都是平行四边形，AQ与HR交于X，证明：

EX∥AP。

3．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在上分别作圆O的切线，交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：

MQ∥NP。

二、利用平行线截线段成比例逆定理

4．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线，作BG⊥AD，分别交AM和AD的延长线于F、G，求证：

FD∥AB。

三、利用别的线作中介（

（1）平行于同一直线的两直线平行；

（2）垂直于同一直线的两直线平行，（平面内））

5．四边形ABCD对角线AC的中点为O，连接OB、OD，过O作∠ACB，∠BOC，∠COD和∠DOA的平分线分别交AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H，求证：

EF∥GH

6．设A、B、C、D是同一圆上顺次四点，L、M、N分别是的中点，弦AM与CL相交于P，弦BN与DM相交于Q，求证：

PQ

∥LN。

四、利用平行四边形等特殊图形的性质

7．在△ABC中，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，过点A的直线分别交DE及FD的延长线于点G、H，求证：

CG∥BH。

五、利用面积法

8．若四边形ABCD一双对边BC、AD中点M、N的直线将这四边形面积二等分，则AD∥BC。

9．在△ABC中，M为BC的中点，P、R分别在AB、AC上，Q为AM与PR的交点，且PQ=QR，求证：

PR∥BC。

六、利用同一法

10．在△ABC中，∠A=，以AB为直径作圆，D在这圆上，CD是切线，E在线段AB上，DE与BC相交于M，且DM=ME，求证：

DE∥AC。

11．已知△ABC的外接圆上三点P、Q、R分别是圆弧BC、AC、AB的中点，弦PR交AB于D，弦PQ交AC于E，求证：

DE∥BC。

七、其他证法

12．在锐角△ABC中，BD是AC边上的高，E是AB边上一点，满足∠AEC=，BD=2CE，求证：

DE∥BC的充要条件是CE=AC+AD。

13．在△ABC中，∠ACB=，CH⊥AB，AD=DC，CE平分∠ACH，DE与CH的延长线相交于F，求证：

BF∥CE

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